combinaties en permutaties

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 4

Handig tellen

Als er geen herhaling toegestaan is dan blijven er twee opties over:

Volgorde is WEL van belang

Volgorde is NIET van belang

Quiz...

Pak je mobiel en volg de instructies....

Permutaties en Combinaties

Als er geen herhaling toegestaan is dan blijven er twee opties over:

Volgorde is WEL van belang: Bedrukken van Polo-shirt

Volgorde is NIET van belang: Fruit  als een Cadeau geven 

Als je 7 kleuren van de regenboog hebt voor een vlag met drie banen.
Hoeveel vlaggen kun je maken?

1. 7​3​​
2. 7⋅6⋅5
3. 3​7​​
4. 3⋅7

8 vrouwen lopen de 100m finale.
Hoeveel uitslagen (Goud, Zilver, Brons) zijn er?

1. 336
2. 210
3. 512
4. 6561

Permutatie

Het rangschikken van 3 dingen uit 7  heet

een Permutatie 

Het berekenen van 7*6*5 kan met de knop nPr

OPTN > PROB > 7P3 = 210

probeer eens

Kies uit 10 nummers jouw favoriete top-3
dat kan op ... manieren

1. 3x2x1 = ...
2. 3​3​​=
3. 10x9x8 = ...
4. 10​3​​=

Kies uit 10 CD's er 3 uit die je cadeau geeft
dat kan op ... manieren

1. ​3​​10⋅9⋅8​​
2. ​3⋅2⋅1​​10​3​​​​
3. ​3⋅2⋅1​​10⋅9⋅8​​
4. ​3​​10​3​​​​

Faculteit

Een vermenigvuldiging vanaf een getal t/m 1  heet Faculteit

vb: 7 faculteit

Het berekenen van 7*6*5*4*3*2*1 kan met de knop x!

OPTN > PROB > 7! = 5040

Maak uit 5 rock-nummers en 3 dance nummers een playlist
dat kan op ... manieren

1. 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
2. 5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅3⋅3⋅3
3. 5⋅4⋅3⋅2⋅1⋅3⋅2⋅1
4. 8!

Combinaties

Als de volgorde WEL van belang is dan kies je 3 van de 8 CD's die je hebt:

Als de volgorde NIET van belang is:

Een verkorte schrijfwijze is                (8 boven 3)  

8⋅7⋅6

​3⋅2⋅1​​8⋅7⋅6​​

(​3​8​​)

Combinaties

Het berekenen van 

 

kan met de knop nCr 

OPTN > PROB > 8 nCr 3 = 56

(​3​8​​)

Kies uit 18 meisjes en 15 jongens
2 meisjes en 2 jongens die mee gaan naar de bioscoop

1. 40920
2. 982080
3. 258
4. 16065

1. Op hoeveel manieren kan je 7 boeken stapelen, zodat één bepaald boek (bijvoorbeeld boek B) op de derde plaats ligt?

Verwijder het boek B. Maak nu alle mogelijke stapels van 6 boeken. Dit kan op 6! (=720) manieren. Plaats achteraf het boek B op de derde plaats.

2. Op hoeveel verschillende manieren kun je 3 knikkers pakken uit een doos met 15 verschillende knikkers?

3 elementen nemen uit een verzameling van 15 elementen kan op 15 nCr 3 (=455) verschillende manieren

3. In een bedrijf zijn er 20 mannen en 10 vrouwen. Op hoeveel manieren kan men een vergadering samenstellen met 3 mannen en 2 vrouwen.​

Eerst kiezen we de drie Mannen. ​

Dit kan op 20 nCr 3 (=1140) manieren. ​

Dan kiezen we de 2 vrouwen. ​

Dit kan op 10 nCr 2 (=45) manieren. ​

De vergadering kan samengesteld worden op ​

20 nCr 3 ∙ 10 nCr 2 = 1140∙45=51300 manieren​

5. Op hoeveel manieren kan je een groep van 13 personen verdelen in 3 personen en 10 personen? ​

Het is voldoende de drie personen te kiezen om de groep te splitsen. ​

Daar de volgorde van die drie personen geen rol speelt, kan dit op 13 nCr 3 manieren.​ (=286)

7. Hoeveel getallen van 3 cijfers kan je vormen met de cijfers 0,1,2,3,4 ?​

Voor het eerste cijfer zijn er 4 mogelijkheden. Voor het tweede en derde cijfer zijn er 5 mogelijkheden.​

Totaal = 4∙5∙5 ​=100

8. 1011011101 is een voorbeeld van een binair getal met lengte 10.​ Hoeveel binaire getallen met lengte 10 en eindigend op 111 bestaan er zodat er juist 2 nullen in voorkomen. ​(bedenk dat elk binair getal met 1 begint)

Het getal ligt volledig vast als we de plaats van de twee nullen kennen.​ Een binair getal dat aan de gevraagde voorwaarden voldoet start met 1 en eindigt met 111. Er zijn dan nog 6 plaatsen over. Van zodra we twee plaatsen voor de nullen aanwijzen ligt het getal vast.​ Het aantal mogelijkheden om 2 plaatsen te kiezen uit de zes is 6 nCr 2. ​(=15)

9. Er staan 7 boeken in de kast: K, L, M, N, O, P en Q. In de kerstvakantie lees ik één van deze boeken, daarna nog één en daarna nog één (nooit twee keer dezelfde natuurlijk). Bijvoorbeeld: eerst P, dan K, dan M. Hoeveel van zulke mogelijkheden zijn er?​

Vraag jezelf af: is er een verschil tussen:​

 ​

“Eerst P, dan K, dan M” en​

“Eerst M, dan K, dan P”?​

 ​

Ja, dat zijn twee verschillende mogelijkheden. Dus je gebruikt hier permutaties, dus 7 nPr 3=210 ​

10. In een kamer hangen 5 TL-buizen. Twee hiervan branden. Hoeveel mogelijkheden zijn er?​

Noem de lampen bijvoorbeeld 1, 2, 3, 4 en 5. Twee branden er, bijvoorbeeld 3 en 5.​

Vraag jezelf af: is er een verschil tussen:​

“TL-buizen 3 en 5 branden” en​

“TL-buizen 5 en 3 branden”?​

 Nee, dat komt op hetzelfde neer. Dus je gebruikt hier combinaties, dus 5 nCr 2 .​(=10)

11. Uit een groep van 8 mensen worden 2 mensen gekozen. Eentje om de zaal te versieren, eentje om de geluidsapparatuur aan te sluiten (bijvoorbeeld Jan voor de versiering, Kees voor de geluidsapparatuur). Hoeveel mogelijkheden zijn er?​

De volgorde is van belang: Jan voor de versiering, Kees voor de geluidsapparatuur is iets anders dan Jan voor de geluidsapparatuur, Kees voor de versiering. Dus 8 nPr 2 = 56.​

12. Een muziekband heeft een repertoire van 10 liedjes. Voor een optreden mogen ze drie liedjes uitkiezen. Hoeveel mogelijkheden zijn er voor die keuze?​

De volgorde is niet van belang: Liedje A, B en C uitkiezen, is hetzelfde als liedje C, A en B uitkiezen. ​

Dus 10 nCr 3=120. Nota bene: als gevraagd wordt naar hoeveel mogelijkheden er voor het optreden zijn, dan kun je nog onderscheid maken tussen “eerst C spelen, dan A, dan B” en “Eerst A, dan B, dan C” of “Eerst B, dan C, dan A” enzovoorts. ​

In dat geval is het dus 10 nPr 3=720.​

13. Hoeveel nummerplaten kunnen er gevormd worden met 3 letters vooraan en 3 cijfers achteraan ?​

We kiezen eerst drie letters, dan 3 cijfers , zoals JMB 007. Dit kan gebeuren op​

26⋅26⋅26⋅10⋅10⋅10 =17576000manieren.​

14. Hoeveel nummerplaten kunnen er gevormd worden met 3 verschillende letters en 3 verschillende cijfers, indien de letters vooraan moeten staan ?​

Er zijn 26 nPr 3 ⋅ 10 nPr 3 = 26⋅ 25⋅ 24⋅10⋅9⋅8 =11232000 mogelijkheden.​ (Iets minder dan in de vorige vraag)