2.2C Differentiequotiënten berekenen bij een functievoorschrift

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 4

Maken 36, 41

Differentiequotiënt berekenen bij een functievoorschrift

• Weet je van een functie het voorschrift, dan kun je daarmee differentiequotiënt berekenen.
• Je hebt de grafiek dan niet nodig.
• Zo is bij de functie f(x) = x² het differentiequotiënt van f(x) op [-3, 1] gelijk aan 

​Δx​​Δy​​=​1−−3​​f(1)−f(−3)​​=​4​​1​2​​−(−3)​2​​​​=​4​​−8​​=−2

Differentiequotiënt berekenen bij een functievoorschrift

Het differentiequotiënt van f(x) op het interval                                      [a, b] is gelijk aan

​Δx​​Δy​​=​b−a​​f(b)−f(a)​​

Voorbeeld

Gegeven is de functie                                                        

Bereken het differentiequotiënt van f(x) op [-1, 4].

f(x)=−​2​​1​​x​2​​+3x−1

Aan het werk...

vierkant: 37, 38, 39, 41 + nakijken

cirkel: 38, 39, 41 + nakijken

ster: 39, 40, 41 + nakijken

Snelheid op één moment

• De tijd-afstandgrafiek in figuur 2.37 hooft bij                                    de formule 
•  Hierin is s de afgelegde afstand in meter na                                  t seconden.
• Je hebt al heel wat keren gemiddelde snelheden berekend op een gegeven tijdsinterval.

s=​2​​1​​t​3​​

Snelheid op één moment

• Maar hoe kom je aan de snelheid op één moment,
• bijvoorbeeld op t = 4?
• Om dit probleem op te lossen, bekijk je de gemiddelde snelheid op steeds kleiner wordende intervallen [4, 5],            [4; 4,5], [4; 4,1], [4; 4,01], ...
• Zo krijg je een steeds betere benadering van de snelheid op t=4. 

Snelheid op één moment

De gemiddelde snelheid         op het interval
[4,5] is                                                   m/s 

[4;4,5] is                                       m/s 

[4;4,1] is                                     m/s

[4;4,01] is                                   m/s 

​Δt​​Δs​​

​5−4​​​2​​1​​⋅5​3​​−​2​​1​​⋅4​3​​​​=​1​​62,5−32​​=30,5

​0,5​​​2​​1​​⋅4,5​3​​−32​​=27,125

​0,1​​​2​​1​​⋅4,01​3​​−32​​=24,605

​0,01​​​2​​1​​⋅4,01​3​​−32​​≈24,060

Snelheid op één moment

• De gemiddelde snelheid op het intervalletje [4; 4,01] geeft een goede benadering van de snelheid op t = 4.
• Je krijgt het vermoeden dat de snelheid op t = 4 gelijk is aan 24 m/s.

Snelheid op één moment

• Dit vermoeden wordt bevestigd als je  ^∆s/_∆t berekent op een nog kleiner interval bijvoorbeeld [4; 4,001].
• Je krijgt                                             m/s

​Δt​​Δs​​=​0,001​​​2​​1​​⋅4,001​3​​−32​​≈24,006

Snelheid op één moment

Bij een tijd-afstandformule benader je de snelheid op het tijdstip t = a met het differentiequotiënt op het interval [a, a+∆t], met bijvoorbeeld ∆t = 0,01 of ∆t = 0,001.

Voorbeeld

Gegeven is de formule                                    . Hierin is s de afgelegde afstand in meter na t seconden.

Benader in m/s de snelheid op t = 5. Neem ∆t = 0,01 en rond af op twee decimalen.

s=√​t+1​​​

Vragen over het hw?

vierkant : 29, 30, 31, 32, 33, 34 + nakijken

cirkel : 29, 30, 31, 32, 33, 34 + nakijken

ster : 29, 30, 31, 34, 35 + nakijken

Aan het werk...

vierkant: 37, 38, 39, 42, 43, 44, 45 + nakijken

cirkel: 38, 39, 43, 44, 45 + nakijken

ster: 39, 40, 44, 45, 46  + nakijken

Huiswerk

vierkant: 37, 38, 39, 42, 43, 44, 45 + nakijken

cirkel: 38, 39, 43, 44, 45 + nakijken

ster: 39, 40, 44, 45, 46 + nakijken

PW TW1 H1, H2.1 en H2.2