H7.4

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 4

Gegeven zijn de cirkel c: x² + y² - 10x - 6y + 18 = 0 en de punten P(1, 6) en Q(6, -2).

Van c is het middelpunt M(5, 3) en de straal r = 4.

a Toon dit aan.

Gegeven zijn de cirkel c: x² + y² - 10x - 6y + 18 = 0 en de punten P(1, 6) en Q(6, -2).

Van c is het middelpunt M(5, 3) en de straal r = 4.

P en Q liggen buiten c.

b. Toon dit aan.

Gegeven zijn de cirkel c: x² + y² - 10x - 6y + 18 = 0 en de punten P(1, 6) en Q(6, -2).

Van c is het middelpunt M(5, 3) en de straal r = 4.

P en Q liggen buiten c.

c. Is de afstand van P tot c groter of kleiner dan de afstand van Q tot c? Licht toe. 

succescriteria

• d(A, B) = wortel( (x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² )  
• binnen, buiten en op de cirkel

De afstand van een punt tot een cirkel

• De afstand van een punt tot een kromme is de lengte van de kortste verbindingslijnstuk tussen het punt en de kromme.
• De afstand van een punt tot een cirkel c met middelpunt M en straal r
• Voor punt A binnen c geldt d(A, c) = r - d(A, M)
• Voor punt B buiten c geldt d(B, c) = d(B, M) - r

Gegeven zijn de cirkel c: x² + y² - 6x - 4y + 3 = 0 en de punten A(2, 1), B(-1, 5) en C(9, 4).

Bereken exact.

1. d(A, c)
2. d(B, c)
3. d(C, c)

Gegeven zijn de cirkel c: (x - 2)² + (y - 1)² = 10 en het punt A(5,2) op c. De lijn k raakt c in A. Zie figuur 7.25.

a. Hoe kun je controleren dat A op c ligt?

Gegeven zijn de cirkel c: (x - 2)² + (y - 1)² = 10 en het punt A(5,2) op c. De lijn k raakt c in A. Zie figuur 7.25.

De lijn l gaat door M en A.

b. Bereken de richtingscoëfficiënt rc_l van l

Gegeven zijn de cirkel c: (x - 2)² + (y - 1)² = 10 en het punt A(5,2) op c. De lijn k raakt c in A. Zie figuur 7.25.

De lijn l gaat door M en A.

De lijn k staat loodrecht op l.

c. Stel een vergelijking van k op.

succescriteria

• rc =  Δy/Δx
• k ⊥ l, rc_k . rc_l = -1
• lijn l: y = ax + b opstellen 

Raaklijnen aan cirkels

Werkschema: opstellen van een vergelijking van een raaklijn k aan een cirkel c met middelpunt M in een gegeven punt A op c.

1. Bereken de richtingscoëfficiënt rc_l van de lijn l door M en A.
2. Gebruik k ⊥ l, dus rc_k . rc_l = -1, om de richtingscoëfficiënt rc_k van  k te berekenen.
3. Gebruik rc_k en de coördinaten van A om een vergelijking van k op te stellen.

Gegeven is de cirkel c: x² + y² - 6x - 2y + 5 = 0. De lijn k raakt c in het punt A met x_A = 2 en y_A > 0.

Stel van k een vergelijking op.

Gegeven zijn de cirkel c: x² + y² -10x + 15 = 0 en de lijn k: y = x - 1.

Door y = x - 1 te substitueren in de cirkelvergelijking krijg je de vergelijking x² - 6x + 8 =0.

a. Toon dit aan.

Gegeven zijn de cirkel c: x² + y² -10x + 15 = 0 en de lijn k: y = x - 1.

b. Los de vergelijking x² - 6x + 8 = 0 op en bereken de coördinaten van de snijpunten A en B van k en c

succescriteria

• abc-formule
• discriminant
• substitueren 

Snijpunten van lijnen met cirkels

• c: x² + y² - 10x + 15 = 0
• k: y = x -1 met c heeft 2 snijpunten
• c met l: y = x + 1, 
• heeft geen snijpunten
• c met m: y = 3x - 5,
• heeft één snijpunt

Snijpunten van lijnen met cirkels

De ligging van de lijn y = ax + b ten opzichte van een cirkel

Ontstaat na substitutie van y=ax+b in de cirkelvergelijking een tweedegraadsvergelijking waarvan de discriminant

• groter is dan nul, dan zijn er twee snijpunten
• gelijk is aan nul, dan raakt de lijn de cirkel
• kleiner is dan nul, dan zijn er geen snijpunten.

Voorbeeld

Gegeven is de cirkel c: (x - 5)2 + (y - 1)2 = 17.

Bereken voor welke waarden van q de lijn 4x - y = q de cirkel raakt.

Aan het werk

Maken 59, 65, 60, 66, 61, 67, 68, 69 + nakijken

Aan het werk

Maken 59, 65, 60, 66, 61, 67, 68, 69 + nakijken

Huiswerk

Maken 61, 68, 69 + nakijken