Samenvatting H3 - 4M

• Wiskunde
• Middelbare school
• vmbo g, t, mavo
• Leerjaar 3

Goniometrie

Pythagoras

Gelijkvormigheid

Hellingspercentage

Bewoording

• De stelling van Pythagoras luidt:
  Kz² + kz² = lz² 
• Deze kreten kz en lz gebruiken we om het begrip te verhogen vanaf klas 2. Officieler is de stelling:
  rechthoekszijde² + rechthoekszijde² = schuine zijde²
  

Rhz altijd vast aan de rechte hoek.

sz zit nooit vast aan de rechte hoek

Zijden berekenen

De zijden van een driehoek kun je berekenen met:

1. Pythagoras: zowel een korte zijde als een lange zijde berekenen. 

    Bij rechthoekige driehoeken, waar je 2 zijden van weet.

2. Goniometrie: tangens, sinus en cosinus.

    Bij rechthoekige driehoeken, waar je een zijde en een hoek van weet.

3. Gelijkvormigheid: met een verhoudingstabel.

    Wanneer je van 2 driehoek weet dat ze gelijk van vorm zijn.
    Dit kun je zien aan gelijke tekens in hoeken en zijden, aan overstaande 
    hoeken en eigenschappen van figuren.

1. Pythagoras - Schema

• Voorbeeld van de methode met het schema.
  Bereken zijde PR.
  
• kz²= PQ² = 12² = 144
    kz²= QR²=   5² =   25   + 
    lz² = PR²=   ...    = 169
  
  PR = V169 = 13          
  Dus PR = 13. 
  

Rechthoekige driehoek 2 zijden bekend

1. Pythagoras -  Verkort

Het kan ook met de verkorte stelling van Pythagoras.

Om een lange zijde te berekenen gebruik je:

Wanneer je een korte zijde uit moet rekenen, gebruik je:

kz=​[?]​​√​lz​2​​−kz​2​​​​​

lz=​[?]​​√​kz​2​​+kz​2​​​​​

Rechthoekige driehoek 2 zijden bekend

1. Pythagoras - Verlengd (schema)

Om de lichaamsdiagonaal uit te rekenen doe je het volgende.

• lengte²   = kz² = AB² = 6² = 36
  breedte² = kz² = BC² = 3² =    9
  hoogte²   = kz² = CG² = 5² = 25   +
  lich.dia²   = lz² =   AG² = ...  = 70 
  AG = V70 = 8,366...                  
  Dus AG is ca. 8,4 
  
  
  

In ruimtefiguren

1. Pythagoras - Verlengd (verkort)

Dus onthoudt de verlengde stelling van Pythagoras:

Wanneer je een korte zijde zou moeten uitrekenen, zou je de volgende formule gebruiken:

kz=​[?]​​√​lz​2​​−kz​2​​−kz​2​​​​​

lz=​[?]​​√​kz​2​​+kz​2​​+kz​2​​​​​

In ruimtefiguren

2. Goniometrie - Ezelsbruggetje

Rhz altijd vast aan de rechte hoek.

sz zit nooit vast aan de rechte hoek

2. Goniometrie: zijden berekenen

Stappenplan:

1. Maak een schets van de situatie, wanneer dit nodig is.
   
2. Bekijk of je de sinus, cosinus of tangens nodig hebt. (SOS,CAS of TOA)
3. Vul de namen van de zijden en de hoek in.
4. Vul de lengte van de zijde(n) en/of de grootte van de hoek in die je weet.
5. Gebruik de 6-3-2-driehoek bij de berekening.
   
6. Rond je antwoord pas af in de Dus-zin.
   

Rechthoekige driehoek

1 zijde en 1 hoek bekend

6-3-2-driehoek

0

6=3X2

3=​2​​6​​

2=​3​​6​​

5

37⁰

Bereken AB

cos∠B=​BC​​AB​​

C=​S​​A​​

cos37°=​5​​AB​​

AB=cos37°⋅5

Dus AB≈4cm

?

=3,993...

3. Gelijkvormigheid

Stappenplan:

1. Maak een schets van de situatie, wanneer dit nodig is.
2. Maak een tabel.
   
3. Bekijk welke hoeken even groot zijn. Vul dit in de tabel in.
4. Schrijf de zijden in je tabel, let er op dat de zijden waarvan de hoeken even groot zijn onder elkaar staan.
5. Bekijk hoe je van de bovenkant op de lengtes in de onderkant kunt komen
   
6. Rond je antwoord pas af in de Dus-zin.
   

2 driehoeken die een zelfde vorm hebben 

∠S   =∠S   (overstaande hoeken)

1              2

∠D=∠B   (Z−hoeken)

∠C=∠A   (Z−hoeken)

1

2

ΔSCD

ΔSAB

SC = 1,5

SA = 6

CD = ...

AB = 7

SD = ...

SB = 4,5

6 : 1,5 = 4, dus vergrotingsfactor = 4.

CD = 7 : 4 = 1,75

SD = 4,5 : 4 = 1,125

Dus CD = 1,75 cm en SD = 1,125 cm

Bereken zijde SD en CD.

Tips: Hoeken berekenen

Een hoek van een rechthoekige driehoek, waarvan je 2 zijden weet, bereken je met Goniometrie.

Tips bij Goniometrie:

• Onthoud SOSCASTOA en waar het voor staat.
• Schrijf de berekening uitgebreid op: overzicht en niks overslaan.
• Weet je de hoek, dan gebruik je de sinus, cosinus en tangens.
• Reken je de hoek uit (weet je die niet), dan gebruik je de inverse sinus (sin^-1), inverse cosinus (cos^-1) en inverse tangens (tan^-1).

Terugblik: Tangens

Nu gaan ze als volgt heten:

• Dus is de formule voor tangens:
  
  
  
  
  
• Onthoud dit met het ezelsbruggetje: TOA
  
  

RC=​Toename.horizontaal​​Toename.verticaal​​

=​horizontale.afstand​​hoogteverschil​​

=tanhellingshoek

tanhoek=​aanliggende.rechthoekszijde​​overstaande.rechthoekszijde​​

tanhellingshoek=​horizontale.afstand​​hoogteverschil​​

tan

tan

Terugblik: Tangens

Met de tangens kun je de grootte van een hoek in graden vinden, mits je weet hoe lang de rechthoekszijden zijn.

Hiervoor gerbuiken we de inverse tangens, op je rekenmachine is dat tan^-1.

Deze vind je door op je rekenmachine shift -> tan te doen.

Staan alle rekenmachines juist ingesteld????

Terugblik: Tangens

• Vul de tangens formule in: 
  
  
• Vul de gegevens in die je weet:
  
  
• Als je de hoek wilt uitreken doe je vervolgens: (officieel foute notatie)
                                                                
  

tan∠A=​AB​​BC​​

tan∠A=​40​​17​​

∠A=tan​−1​​(​40​​17​​)=23,025...

∠A=tan​−1​​(17:40)=23,025...

Bereken∠A

of

Dus

∠A≈23​0​​

Terugblik: Hoekensom

Deze kon ook anders, aangezien we 
Hoek A al wisten voor we C gingen 

berekenen.  Immers:

Dit doen we met de hoekensom van een driehoek. Wat is dit ook alweer? 

• Alle hoeken van een driehoek samen zijn 180^o.
  

Bereken∠C

∠A=23,025...

∠C=180−∠B−∠A(HoeksomΔ)

∠C=180−90−23,025...=66,974...

∠C≈67​0​​

Terugblik: Drieletternotatie

• L A₁=?
• L A₁=L IAB
• L A₂=?
• L A₂ = L BAC
• L A₁₂ = L IAC
  

Terugblik: Goniometrie

Goniometrie

Terugblik: Stappenplan gonio 

1. Maak een schets van de situatie, wanneer dit nodig is.
   
2. SOS,CAS of TOA - wat is bekend van de driehoek en wat moet je weten?
3. Vul de namen van de zijden en de hoek in.
4. Vul de lengte van de zijde(n) en/of de grootte van de hoek in die je weet.
5. - Is de hoek gegeven? Gebruik de 6-3-2-driehoek om de gevraagde hoek 
                                                  uit te  rekenen.
   - Is de hoek niet gegeven? Gebruik de inverse om de gevraagde zijde uit 
                                                           te rekenen.
6. Rond je antwoord pas af in de Dus-zin.
   

Terugblik: Pythagoras of gonio

Hoek gevraagd?

• Weet je twee hoeken --> gebruik hoekensom.
• Weet je twee zijden --> gebruik (inverse) goniometrie. (sin^-1, cos^-1, tan^-1)

Zijde gevraagd?

• Weet je één zijde èn één hoek --> gebruik goniometrie. (sin, cos, tan)
• Weet je twee zijde -->, gebruik pythagoras.

Bij Rechthoekige driehoek

Maak een schets

Terugblik: Stappenplan tan i.d. ruimte

1. Maak een schets van het vlak waar de gevraagde hoek in zit, schrijf hier de afmetingen die je weet bij en zoek de rechthoekige driehoek. 
   
2. - Weet je voldoende van deze driehoek om de tangens te gebruiken? -> 5
   - Mis je nog een zijde van deze driehoek? -> 3
   
3. Schets het vlak waar de missende zijde ook in zit, schrijf hier alle afmetingen bij en zoek de rechthoekige driehoek die je nodig hebt. 
4. Bereken met goniometrie of pythagoras de missende zijde. Schrijf deze in de eerste schets.
   
5. Bereken met de tangens de hoek die in de opgave gevraagd wordt.
6. Rond je antwoord pas af in de Dus-zin, dus tussendoor NIET afronden.
   

Tips: Zijden berekenen

De steilheid van een helling wordt aangegeven met een hellingspercentage.

• Deze bereken je met de tangens:
  hellingspercentage = tan hellingshoek x 100
• Afspraak: hellingspercentage rond je af op gehelen.
• Wanneer je het hellingspercentage hebt, dan kun uitrekenen hoe groot de hoek is door:
  tan hellingshoek = hellingspercentage : 100
  Bij de berekening heb je uiteindelijk de inverse tangens nodig (tan^-1)
  

0

0

0