H1: Functies en grafieken

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 4

Functies en grafieken

Wat ga je deze les leren?

Je kent de relatie tussen richtingscoëfficiënt en het snijpunt met de y-as en de vorm van een lineaire functie.

y = ax + b

a: richtingscoëfficiënt (of helling)

b: snijpunt met de y-as (of beginwaarde)

Lineaire lijnen

a) Wat weet je van de lijnen y = 3x + 8 en y = 3x - 12?

b) Hoe ziet de lijn y = 5 eruit? Wat is de richtingscoëfficiënt van deze lijn?

Kwadratische vergelijkingen in de praktijk

Om een zwembad van 8 bij 18 meter komt een 

tegelpad te liggen van x meter breed. De 

oppervlakte van het tegelpad is 5/6 van de 

oppervlakte van het zwembad.

Stel een formule op bij deze situatie en 

bereken de breedte van het pad.

Zelf aan de slag

Basis: 2, 3, 4, 6

Midden: 3, 4, 6, 8

Uitdagend: 5, 6, 7, 8

Twijfel je nog over de route? Kies dan voor 'midden'

Lineaire lijn door 2 punten

Wat ga je deze les leren?

Je kunt een formule opstellen van een lineaire lijn door 2 gegeven punten

Voorbeeldvraag

Gegeven zijn de punten A (3, 10) en B (8, 20). Stel hierbij een formule op. Ga uit van een lineair verband. 

Samenvattend

y = ax + b opstellen door 2 punten

Stap 1: a berekenen door 

Stap 2: a, x en y invullen

Stap 3: b uitrekenen en formule geven

​Δx​​Δy​​

Nu zelf

Herinnering: evenwijdige lijnen (lijnen die elkaar nooit snijden) hebben dezelfde richtingscoëfficiënt.

Lijn k loopt evenwijdig met lijn m: y = 3x-7. Lijn k gaat door het punt A (3, 5). Stel de formule op van lijn k.

Uitwerkingen

Lijn k loopt evenwijdig, dus k: y = 3x + b.

Coördinaten van punt A invullen geeft:

5 = 3 * 3 + b

b = -4

Dus k : y = 3x - 4

Zelf aan de slag

Basis: 12, 13, 14, 16

Midden: 13, 14, 16, 17 

Uitdagend: 15, 16, 17, 18

Extreme waarden en tweedegraadsvergelijkingen oplossen

Wat ga je deze les leren?

1. Je kunt bij een kwadratische formule de top van de grafiek bepalen.

2. Je kunt een kwadratische vergelijking oplossen met ontbinden in factoren.

3. Je kunt een kwadratische vergelijking oplossen met de abc-formule.

4. Je weet welke type kwadratische vergelijking je met welke aanpak moet oplossen.

4 type kwadratische vergelijkingen

5x​2​​−5x=0

3x​2​​−30=0

x​2​​=x+6

2x​2​​−5x−7=0

Top van een parabool 

Extreme waarde, minimum, maximum en nulpunt

Kwadratische formule: 

x​Top​​=−​2​​b​​a

y​Top​​=f(x​Top​​)

f(x)=ax​2​​+bx+c

Zelf aan de slag

Basis: 20, 21, 29, 31 

Midden: 21, 22, 32, 33

Uitdagend: 21, 22, 33, 34

Discriminanten en extremen met een parameter

Wat ga je deze les leren?

1. Je kunt werken met de discriminant van een kwadratische vergelijking met een parameter.

2. Je kunt de extreme waarde van een kwadratische functie met een parameter berekenen.

                                                                             Eerst: parameters en variabelen

Oefenvraag

Gegeven is de formule

Vanaf welke p heeft deze formule een positief maximum?

f(x)=−x​2​​−px−9

Nu jullie

Gegeven is de formule 

Bereken voor welke waarde van p het minimum gelijk is aan 1.

f(x)=2x​2​​+px+3

Uitwerking

Het minimum is de y-top. We willen dus weten wanneer de y-top gelijk is aan 1.

We kennen een formule voor de x-top, namelijk 

De x-top hier is dus

De y-top moet dus zijn: 

Voor y-top is 1 geldt: 

Dus p = 4 of p = -4

−​2a​​b​​

−​4​​p​​

2⋅(−​4​​1​​p)​2​​+p⋅−​4​​1​​p+3=​8​​1​​p​2​​−​4​​1​​p​2​​+3=−​8​​1​​p​2​​+3

−​8​​1​​p​2​​+3=1

−​8​​1​​p​2​​=−2

p​2​​=16

Zelf aan de slag

Basis: 37, 39, 43, 44 

Midden: 39, 40, 44, 45 

Uitdagend: 40, 41, 45, 46

Vergelijkingen met een parameter

Wat ga je deze les leren?

Je kunt vergelijkingen met een parameter oplossen.

Bereken voor welke waarde(n) van p deze vergelijking 2 oplossingen heeft.

px​2​​+3x+1=0

Zelf aan de slag

Basis: 49, 50, 51, 52

Midden: 50, 51, 52, 54

Uitdagend: 51, 52, 53, 54

  

Kromme door toppen

Wat ga je deze les leren?

Je kunt de formule bepalen van de grafiek waar alle toppen op liggen bij een kwadratische functie met een parameter.

Herhaling:

1. Druk de x-top uit in p. 

2. Druk de y-top uit in p.

Nieuw:

3. Druk p uit in de x-top.

4. Druk de y-top uit in de x-top.

f​p​​(x)=​4​​1​​x​2​​+px−5

Oefenvraag

Stel de formule op van de kromme waarop alle toppen liggen van de grafieken van

f​p​​(x)=​2​​1​​x​2​​−px−5

Antwoord

                                               dus p = -0,5x

p invullen in f(x) geeft:

f​−0,5x​​(x)=​4​​1​​x​2​​−0,5x​2​​−5=−0,25x​2​​−5

x​top​​=​2⋅0,25​​−p​​=−2p

Zelf aan de slag

Voor alle routes: 57 en 58

Domein en bereik

Wat ga je deze les leren?

Je kent de begrippen domein en bereik .

Je kunt het domein en bereik bepalen bij verschillende functies en formules.

Domein en bereik

Domein: alle waarden voor x waarvoor de functie een uitkomst heeft. 

Bereik: alle waarden van y die uit de functie kunnen komen. 

f(x)=x​2​​

g(x)=​x​​1​​

h(x)=√​x−2​​​

k(x)=3x−2

Nu zelf

Geef het domein en het bereik

f(x)=1−√​x+4​​​

Zelf aan de slag

Basis: 60, 61

Midden: 60, 62

Uitdagend: 61, 62

Modulusfunctie

Wat ga je deze les leren?

Je kent de definitie van de modulus-functie.

Je kunt een functie met een modulus-deel opsplitsen in de schrijfwijzen zonder modulus strepen en aangeven welk(e) domein(en) daarbij horen.

Wat is een modulusfunctie?

en

∣−3∣=3

∣3∣=3

Teken de grafiek bij

f(x)=∣3x−6∣

Grafieken tekenen bij modulusfuncties

Stap 1: bepaal de 'knik' (het nulpunt)

Stap 2: stel de 2 formules op

Stap 3: teken de 2 lijnen 

Zelf aan de slag

Basis: 64, 65, 66

Midden: 65, 66, 67

Uitdagend: 66, 67, 68, 69

  

Grafisch-numeriek oplossen

Wat ga je deze les leren?

Je kent de betekenis van algebraïsch en exact oplossen.

Je weet wat er met de termen plotten, schetsen en tekenen bedoeld wordt.

Je kunt de toppen en nulpunten van een grafiek bepalen met je GR.

Je kunt de snijpunten van twee grafieken bepalen met je GR.

Je kent het stappenplan voor het oplossen van ongelijkheden (exact en met GR).

Grafische rekenmachine

Plotten: alleen in de GR.

Schetsen: benoem formule en assen en maak een ruwe schets.

Tekenen: benoem formule en assen, geef roosterpunten duidelijk aan en maak een nette tekening.

Opties

Maximum

Minimum

Snijpunt / ongelijkheid

f(x)=​3​​1​​x​3​​−x​2​​−4x+3

Wat noteer je?

1: voer in y = [noteer formule]

2: optie [noteer optie] geeft [noteer antwoord]

3: dus [geef antwoord op de vraag] 

Zelf aan de slag

Basis: 72, 73, 74, 75, 79

Midden: 73, 74, 75, 76, 79

Uitdagend: 74, 75, 76, 77, 80

  

  Tijdens de herhalingsles is er tijd om dit af te maken.