Goniometrie

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 3

Goniometrie

Wat gaan we vandaag doen:

Vandaag ga je ontdekken wat de sinus nu eigenlijk is. Wat kun je ermee? En wat doet die knop op je rekenmachine nu eigenlijk? Astronomen en wiskundigen uit verschillende culturen hebben er duizenden jaren over gedaan om de sinus te ontdekken en er mee te kunnen rekenen zoals we vandaag de dag doen. De ontwikkeling van driehoeksmeting, dat noemen we goniometrie, en het rekenen met sinus, cosinus en tangens zijn van groot belang geweest voor de gehele wiskunde. Driehoeksmeting is onderdeel van van alles. Van het meten van hoeken, astronomie, landmeting, bouwkunde tot navigatie. En zelfs vandaag de dag nog is het de basis voor gps-systemen.

Hoe gaan we dat doen:

• hoeken meten (kan je al)
  

• lijnstukken meten (kan je ook)
  
• Uitrekenen hoeveel graden een hoek heeft.
  
• Uitrekenen hoe lang een lijnstuk is.

• Werken in drietallen.
  

Wat hebben we daar voor nodig:

• Geodriehoek
• Passer
• Schaar
• Potlood
• Papier
• (rekenmachine)
  

Teken deze afbeelding.

Teken deze afbeelding.

Teken deze afbeelding.

Teken deze afbeelding.

Knip de rode driehoeken uit.

Knip de groene driehoek uit.

Meten

Meet de driehoeken en vul de tabel in:

	Lengte langste zijde	Lengte kortste rechthoek zijde	Lengte langste rechthoek zijde	Kortste rechthoek zijde : Langste zijde	Graden scherpe Hoek 1	Graden scherpe Hoek 2
Groene driehoek
Grote Rode driehoek
Kleine Rode driehoek

Meten

• Is er iets wat je opvalt nu je de tabel hebt ingevuld?

• Wat zijn deze driehoeken van elkaar?
  

Hoe lang zou de diameter kunnen zijn?

kortste rechthoekzijde : langste zijde = 0,45

Meet de driehoek en vul de tabel in.

	Lengte langste zijde	Lengte kortste rechthoek zijde	Lengte langste rechthoek zijde	Kortste rechthoek zijde : Langste zijde	Graden scherpe Hoek 1	Graden scherpe Hoek 2
Driehoek				0,45

Pak je rekenmachine.

Rekenmachine

• Sinus (graden van scherpe hoek 1) = ?

• Sinus (graden van scherpe hoek 2) = ?

• Welke hoek geeft als uitkomst 0,45?
• Wat is de positie van de kortste rechthoekzijde ten opzichte van deze hoek?
  

Toets in:

overstaande zijde

langste zijde

B

C

A

α

Sinus α = Overstaande zijde / Langste zijde

Kan je de lengte van zijde AB uitrekenen met behulp van de Sinus?

27˚

lengte 9cm

lengte 20cm

B

C

A

Wat heb je nu gevonden?

De Sinus

• De Sinus van een hoek = de verhouding tussen de zijde tegenover de hoek (overstaande zijde) en de langste zijde.

Kan je de lengte van zijde AB uitrekenen met behulp van de Sinus?

• Hoe groot is de andere hoek?
• Reken uit: Lengte langste rechthoekzijde : Lengte langste zijde =?
• Komen de getallen overeen?
• Wat kan je zeggen over de positie van de langste rechthoekzijde ten opzichte van deze hoek?
  

Wat hebben we vandaag geleerd.

• Gelijkvormige rechthoekige driehoek hebben vaste verhoudingen.
  
• De verhouding tussen de kortste rechthoek zijde en de langste rechthoekzijde van een rechthoekige driehoek is het verhoudingsgetal behorende bij de tegenover liggende hoek.

• Bij een gegeven verhouding tussen een rechthoek zijde en de langste zijde, kan je de lengte van de tegenover liggende rechthoek zijde en de langste zijde van een rechthoekige driehoek bepalen.

Wat hebben we vandaag geleerd.

• Dat de sinus van een hoek de verhouding is tussen de (tegen)overstaande en langste zijde van een rechthoekige driehoek.
  
• Hoe je met de Sinus de graden van een hoek kan uitrekenen.
  
• Hoe je met de Sinus de lengte van zijden van een driehoek kan uitrekenen.
  

😒🙁😐🙂😃

1100

Goniometrie

lengte 9cm

lengte 20cm

B

C

A

α

27˚

lengte 9cm

lengte 20cm

B

C

A