Demostraciones indirectas

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Demostraciones indirectas

¿Qué son?

$$(\neg Q\wedge (P\to Q))\to \neg P$$

Parten de la contraposición de una implicación.

Puede ser más fácil de comprobar lo contrario.

Ejemplo

Pruebe que si un número al cuadrado es par, entonces dicho número es par.

$$n^2\in Par\to n\in Par$$

$$n\notin Par\to n^2\notin Par$$

Ejemplo

• Como queremos comprobar por un método indirecto:

$$n\notin Par\to n^2\notin Par$$

$$n=2k-1$$

$$n^2=(2k-1{)}^2=4k^2-4k+1$$

$$n^2=2(2k^2-2k)+1$$

Demostraciones indirectas por reducción al absurdo

¿Qué son?

$$(\neg Q\wedge (P\to Q))\to P$$

Parten de la negación condicional, lo que buscan es tratar de probar que la negación es posible.

Ejemplo

La suma de dos enteros consecutivos es impar.

Vamos a buscar probar que la suma no es impar

$$a+b\ne 2k+1$$

$$b=a+1\to a+b=a+(a+1)=2a+1$$

$$2a+1\ne 2k+1$$

Ejemplo

La raíz cuadrada de dos, es un número irracional.

Probemos que la raíz cuadrada es racional

$$\sqrt{2}=\frac{a}{b}\leftrightarrow a,b\in Primos$$

$$\sqrt{2}\cdot b=a\to 2b^2=a^2$$

Como a cuadrada es resultado de una multiplicación por dos, es par, y como ya comprobamos para que a cuadrada sea par, a debe de ser par. 

Para que sea una fracción de números primos, es necesario que b sea impar.

Ejemplo

Para que sea una fracción de números primos, es necesario que b sea impar.

$$a\in Par,b\in Impar$$

$$a=2k$$

$$2b^2=a^2\to 2b^2=(2k{)}^2$$

$$2b^2=4k^2\to b^2=2k^2$$

De esta forma nosotros comprobamos que b cuadrada y por lo tanto b son pares.

Ejemplo

La raíz cuadrada de dos, es un número irracional.

Probemos que la raíz cuadrada es racional

$$\sqrt{2}=\frac{a}{b}\leftrightarrow a,b\in Primos$$

Hemos comprobado que tanto a y b deben de ser números pares, por lo que no son primos entre sí y llegamos a una contradicción en la definición de un número racional.

Ejemplo

El conjunto de números primos tiene una cardinalidad infinita.