§6.1 Meetkunde vlakke figuren: theorie (leerjaar 4)
6
Meetkunde vlakke figuren
Paragraaf 6.1
Meetkunde vlakke figuren: theorie
Hoeken, symmetrie, Pythagoras, goniometrie, oppervlakte en schaal: wat moet je kunnen voor het examen?
Gemaakt bij Getal & Ruimte, leerjaar 4, vmbo-kgt (mavo)
Introductie
Onderdelen in deze les
6
Meetkunde vlakke figuren
Paragraaf 6.1
Meetkunde vlakke figuren: theorie
Hoeken, symmetrie, Pythagoras, goniometrie, oppervlakte en schaal: wat moet je kunnen voor het examen?
Gemaakt bij Getal & Ruimte, leerjaar 4, vmbo-kgt (mavo)
Les bij Getal & Ruimte, leerjaar 4, hoofdstuk 6 Meetkunde vlakke figuren, paragraaf 6.1 Meetkunde vlakke figuren: theorie. Ongeveer 40 minuten, mavo. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 6
Paragraaf 6.1
6.1 Meetkunde vlakke figuren: theorie
Leerdoelen
6.1.1
Je kunt hoeken berekenen met de hoekensom, Z-hoeken en F-hoeken.
6.1.2
Je kunt met Pythagoras, sin, cos en tan zijden en hoeken van een driehoek berekenen.
6.1.3
Je kunt oppervlakte en omtrek berekenen, ook van een cirkel.
6.1.4
Je kunt met gelijkvormigheid en schaal lengtes en afstanden berekenen.
De leerdoelen staan in het boek bovenaan de paragraaf. Aan het eind van de les komen ze terug in de checklist. Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 6
Paragraaf 6.1
Hoeken in figuren
Hoeken in een driehoek tellen op tot 180°, in een vierhoek tot 360°. Snijdt een lijn twee evenwijdige lijnen a en b, dan zijn Z-hoeken gelijk en F-hoeken ook. Overstaande hoeken zijn altijd gelijk.
In de figuur is de hoek bij lijn a 55°. De Z-hoek en de F-hoek bij lijn b zijn dan ook 55°. Laat leerlingen per hoek zeggen waarom (Z-vorm, F-vorm). Veelgemaakte fout: de hoek aan de andere kant van de schuine lijn ook 55° noemen, terwijl die 180° − 55° = 125° is. Doorvraag: hoe groot is de derde hoek in een driehoek met hoeken van 55° en 70°? (55°) Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 6
Paragraaf 6.1
Symmetrie
Drie soorten symmetrie die op het examen terugkomen.
Lijnsymmetrie
Vouw langs een lijn en beide helften vallen op elkaar. Een rechthoek heeft 2 symmetrieassen.
Puntsymmetrie
Na een draai van 180° om één punt past de figuur op zichzelf. Een parallellogram heeft dit.
Draaisymmetrie
De figuur past op zichzelf na een draai kleiner dan 360°. Een regelmatige zeshoek: 60°.
Laat voorbeelden zoeken in het klaslokaal: een raam (2 assen, puntsymmetrisch), een gelijkbenige driehoek (1 as), een logo van een auto (draaisymmetrie). Een regelmatige zeshoek past na 60°, 120°, 180°, 240° en 300° op zichzelf en heeft 6 symmetrieassen. Misverstand: een parallellogram heeft geen symmetrieassen, wel puntsymmetrie. Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 6
Paragraaf 6.1
Pythagoras en goniometrie
kwadraat schuine zijde = som kwadraten
a² + b² = c²
Alleen in een rechthoekige driehoek (c is schuin). Verder: sin α = overstaand : schuin, cos α = aanliggend : schuin, tan α = overstaand : aanliggend. Een hoek zoek je met sin⁻¹, cos⁻¹ of tan⁻¹ (rekenmachine op DEG).
Geheugensteun: SOS CAS TOA. Kies eerst welke twee zijden je kent of zoekt, dan pas de formule. Pythagoras gebruik je voor zijden, goniometrie voor hoeken (of een zijde als je een hoek kent). Veelgemaakte fout: a² + b² = c² gebruiken in een driehoek zonder rechte hoek. Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 6
Paragraaf 6.1
Voorbeeldopdracht 1
Een oprijplaat is 6,5 m lang en 2,5 m hoog (figuur). Bereken de horizontale afstand en de hellingshoek α.
gegeven
schuin = 6,5 m
hoogte = 2,5 m
uitwerking
afstand² = 6,5² − 2,5² = 36
afstand = √36 = 6 m
sin α = 2,5 : 6,5
α = sin⁻¹(2,5 : 6,5) ≈ 22,6°
antwoord
Afstand 6 m, hoek α ≈ 22,6°
Twee stappen: eerst Pythagoras voor de zijde, dan goniometrie voor de hoek. De 2,5 m is overstaand aan α en de 6,5 m is de schuine zijde, dus sinus. Wie 6,5² − 2,5² vergeet te wortelen komt op 36 uit. Wie 6,5² + 2,5² doet, zoekt de schuine zijde terwijl die al gegeven is. Controle: cos α = 6 : 6,5 geeft ook 22,6°. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 6
Paragraaf 6.1
Oppervlakte en omtrek
oppervlakte cirkel = π · straal²
A = π · r²
Figuur
Maten
Oppervlakte
Rechthoek
l, b
l · b
Driehoek
b, h
½ · b · h
Trapezium
a, b, h
½ · (a + b) · h
De omtrek is de som van alle zijden. Bij een cirkel is de omtrek 2 · π · r. Oppervlakte in m², omtrek in m. Rond pas aan het eind af.
Laat zien dat een cirkel met straal 3 cm een omtrek van 2 · π · 3 ≈ 18,85 cm en een oppervlakte van π · 3² ≈ 28,27 cm² heeft. Veelgemaakte fouten: de diameter invullen waar de straal moet staan, en omtrek en oppervlakte van de cirkel door elkaar halen. Bij een driehoek meet je de hoogte loodrecht op de basis, niet langs een zijde. Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 6
Paragraaf 6.1
Opdrachten Kennis
1
Welke formule geeft de omtrek van een cirkel met straal r?
π · r²
π · r
2 · π · r
2 · π · r²
De omtrek is 2 · π · r (of π · d). π · r² is de oppervlakte: de meest gemaakte verwisseling. π · r is de halve omtrek. 2 · π · r² is een mengvorm van beide. Doorvraag: hoe zie je aan de eenheid (cm of cm²) welke formule het is?
Hoofdstuk 6
Paragraaf 6.1
Opdrachten Toepassing
2
Bereken de oppervlakte van deze tuin in m², afgerond op 1 decimaal.
Splits de tuin: een rechthoek van 8 · 5 = 40 m² en een halve cirkel met straal 2,5 m (de diameter is 5 m). Halve cirkel: ½ · π · 2,5² ≈ 9,82 m². Totaal 40 + 9,82 ≈ 49,8 m². Wie de diameter van 5 m als straal gebruikt, krijgt ½ · π · 5² ≈ 39,3 en dus 79,3 m². Wie het ½ vergeet, komt op 59,6 m². Image credit: Eigen figuur, LessonUp
Hoofdstuk 6
Paragraaf 6.1
Gelijkvormigheid en schaal
Twee figuren zijn gelijkvormig als de hoeken gelijk zijn en alle zijden in dezelfde verhouding staan. Die verhouding is de vergrotingsfactor k.
Lengtes worden k keer zo groot.
Oppervlaktes worden k² keer zo groot.
Bij schaal 1 : 50.000 is 1 cm op de kaart 500 m in het echt.
Bij gelijkvormige driehoeken vind je k door twee overeenkomstige zijden te delen. Een veelgemaakte fout is de oppervlakte met k vermenigvuldigen in plaats van met k². Voorbeeld: bij k = 3 is de oppervlakte 9 keer zo groot. Bij schaal is het handig eerst naar centimeters te rekenen en dan om te zetten naar meters of kilometers. Image credit: LessonUp
Reken om met de schaal 1 : 50.000.
Hoofdstuk 6
Paragraaf 6.1
Opdrachten Toepassing
3
Op de kaart is een weg 4,2 cm lang. Dat is 210.000 cm in het echt,
dus 2100 m, en dat is 2,1 km.
4,2 · 50.000 = 210.000 cm. Delen door 100 geeft 2100 m, delen door 1000 geeft 2,1 km. Afleiders: 21 en 0,21 zijn fouten met het verschuiven van de komma bij het omrekenen van cm naar km. 4.200 is 4,2 · 1000: de schaal verkeerd gebruikt. Doorvraag: hoe lang is dezelfde weg op een kaart met schaal 1 : 25.000? (8,4 cm)
Hoofdstuk 6
Paragraaf 6.1
Opdrachten Toepassing
★ 4
Bereken de hoogte van de lantaarnpaal in m.
De driehoek met de man en de driehoek met de paal zijn gelijkvormig: ze hebben dezelfde hoek bij het einde van de schaduw. De schaduw van de paal is 6 + 2,4 = 8,4 m. De factor is 8,4 : 2,4 = 3,5, dus de paal is 1,8 · 3,5 = 6,3 m. Wie 6 : 2,4 doet, vergeet de schaduw van de man op te tellen en komt op 4,5 m. Wie 1,8 + 6 rekent, gebruikt optellen in plaats van verhouding. Image credit: Eigen figuur, LessonUp
Hoofdstuk 6
Paragraaf 6.1
V E R D E R K I J K E R
Een rechte hoek met een touw
Bouwers leggen een rechte hoek uit met een touw van 12 gelijke stukken. Maak een driehoek met zijden van 3, 4 en 5 stukken. Omdat 3² + 4² = 5² klopt, is de hoek tussen de zijden 3 en 4 recht. Vind je nog zo'n drietal?
Dit is de omgekeerde stelling van Pythagoras: klopt a² + b² = c², dan is de hoek recht. Andere drietallen zijn 5, 12, 13 en 8, 15, 17, en elk veelvoud zoals 6, 8, 10. Mooie link met het beroep van timmerman of metselaar. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 6
Paragraaf 6.1
Checklist leerdoelen
Welk leerdoel vind je nog het lastigst?
6.1.1 Hoeken berekenen
6.1.2 Pythagoras en goniometrie
6.1.3 Oppervlakte en omtrek
6.1.4 Gelijkvormigheid en schaal
Ik kan ze allemaal
In het boek sluit elke paragraaf af met de checklist leerdoelen. Gebruik de uitslag om te kiezen wat je de volgende les herhaalt.
Image credit: LessonUp
