H5 Lineare verbanden

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 5

H5 Lineare verbanden

HAVO A examenjaar

Inleiding

Je leert in dit onderwerp:

• Een linear verband tussen twee variablen herkennen;
  
• Een passende formule bij een in woorden beschreven lineair verband opstellen;
  
• De grafiek van een linear verband tekenen.
  

Wat weet je over lineare formules? Schrijf zo veel mogelijk op.

Lineare formules

• Gelijke toename/afname
  
• Rechte lijn
  
• y= ax+b
  
• Hellingsgetal en begingetal
  

 formules opstellen

Formule opstellen

Laat we even kijken naar de volgende video..

Wat is het startgetal bij de tabel?

1. 35
2. 60
3. 34
4. 10

Wat is het hellingsgetal bij de tabel

1. 25/60=0,416667
2. 13/26=0,5
3. 26/13=2
4. 34/12=2,8333

welke formule hoort bij de grafiek in de foto?

Als een loodgieter een reparatie bij iemand uitvoert, vraagt hij voorrijkosten, een uurtarief en materiaalkosten. Een loodgieter vraagt € 35,00 aan voorrijkosten en het uurtarief is € 28,50. Als je niet op de materiaalkosten let, zijn de arbeidskosten A in euro's alleen afhankelijk van de gewerkte tijd
t in uren. Welke formule klopt bij deze verhaalsom.

1. y=28,50x+35
2. A=35t+28,50
3. A=28.50t+35
4. x=35y+28,50

De temperatuur van de buitenlucht hangt onder sommige omstandigheden lineair af van de hoogte boven de zeespiegel. Zeker bij een wandeling in de bergen of bij een ballonvaart kun je dat goed merken. Een vuistregel is dat elke 100 meter stijging een temperatuurdaling van 0,6°C betekent. Stel je voor dat het op 0 meter hoogte 24°C is. Welke formule kun je opstellen voor de temperatuur (°C) afhankelijk van de hoogte (meter)? Bepaal met de grafische rekenmachine op welke hoogte de temperatuur voor het eerst onder 0°C komt.

1. T=0.6h+24,h=4000m
2. T=−0.006h+24,h=24m
3. T=−0.06h+4000,h=24
4. T=−0.006h+24,h=4000

formule opstellen uit text:

je heb 1 van de twee nodig :

• R.C en  snijpunt met de verticale as

of

• R.C en een punt op je lijn 

Formules vergelijken

Je leert in dit onderwerp:

• problemen te beschrijven als lineaire vergelijking of ongelijkheid;
  
• lineaire vergelijkingen en ongelijkheden systematisch oplossen.

Je hebt een loodgieter nodig. Bedrijf A rekent € 20,00 per uur en € 50,00 voorrijkosten. Bedrijf B rekent € 37,50 per uur en € 15,00 voorrijkosten. De materiaalkosten zijn bij beide loodgieters even hoog.

De klus lijkt minstens een dagdeel te duren; welke van beide bedrijven is het voordeligst? Om te berekenen vanaf hoeveel uur bedrijf A goedkoper is dan bedrijf B kun je een lineaire ongelijkheid oplossen. Welke ongelijkheid hoort bij dit probleem?

Hoe los je ongelijkheden op met je GR?

• Voer beide formules in, kies de juiste vensterinstellingen.

•  Het snijpunt van beide grafieken vind je door 'CALC' en kies je voor optie 5 (intersect).
• De rekenmachine vraagt dan ‘First curve?’. Druk op ‘ENTER’. Daarna vraagt hij ‘Second curve?’, waarbij je weer op ‘ENTER’ mag drukken. Als je meer dan 2 formules hebt ingevuld, druk je alleen op ‘ENTER’ bij de twee grafieken waarvan je het snijpunt wilt weten. Bij de andere grafieken kun je verder scrollen met de pijltjestoetsen.

• Als laatste vraagt de GR ‘Guess?’. Ga hierbij met je cursor op het snijpunt staan en druk op ‘ENTER’. Nu worden de coördinaten van het snijpunt voor je berekend!

Hoe los je vergelijkingen algebraïsch op? (Zonder GR)

• Gebruik de balans methode. 
• Heb je haakjes? Werk die als eerste weg.
• Staan er breuken? werk ze weg.
• Breng alle termen met x naar het linkerlid en de rest naar het rechterlid.
• Herleid beide leden en deel door het getal dat voor x staat.

50 + 20a = 15+ 37,5a

Heb ik het leerdoel behaald?

Ik kan een vergelijking oplossen met de balansmethode.
Ook als in de vergelijking haakjes of breuken zitten.

1. Nee, snap er niks van!
2. Nee, ik kan meestal de vergelijking niet oplossen.
3. Ja,de meeste vergelijkingen kan ik oplossen.
4. Ja, ik kan alle vergelijkingen oplossen.

Herhaling

Een fabriek produceert een artikel dat voor € 12,50 per stuk wordt verkocht. Het maken van een exemplaar kost € 7,50 en de vaste maandelijkse productiekosten zijn € 10000,00. Voor de bedrijfsleiding is de vraag van belang: "Hoeveel exemplaren van dit artikel moeten er maandelijks worden verkocht om winst te maken?" Bereken ook de kosten als er net geen winst, maar ook geen verlies gemaakt wordt.

Uitwerking

Gegeven zijn de lineaire verbanden

y
1 en  y2. Gebruik de balansmethode en los op:   

y
1 ≥ y
2

Uitwerking

Lineaire vormen 

Je leert in dit onderwerp:

• wat recht evenredig betekent;
• situaties waarin de éne variabele recht evenredig is met de andere weergeven in een grafiek; 

• situaties waarin de éne variabele recht evenredig is met de andere beschrijven met een formule;
• berekeningen uitvoeren met recht evenredige variabelen.

In welke van de volgende gevallen is het verband tussen beide variabelen recht evenredig?
(Probeer er steeds een mogelijke formule bij te bedenken, meerdere natwoorden mogelijk)

1. Je beltegoed afhankelijk van je gebelde minuten bij een prepaid abonnement.
2. De omtrek van een cirkel afhankelijk van de diameter.
3. Het bedrag dat je betaalt voor het kopen van dollars met euro's.
4. De temperatuur van het water afhankelijk van de diepte onder water.

Als een verband tussen
x en  y recht evenredig is, dan gelden de volgende eigenschappen:

• De formule kan worden geschreven als:

( a noem je de evenredigheidsconstante, ook de hellingsgetal)

• De grafiek is een rechte lijn door
•  De tabel is een verhoudingstabel.
• Als x bijvoorbeeld 2 keer zo groot wordt, wordt y ook 2 keer zo groot; dit geldt ook voor alle andere waarden van x en y.

Als een van deze eigenschappen geldt, gelden de andere eigenschappen ook. Als een van deze eigenschappen niet geldt, gelden de andere eigenschappen ook niet.

y=a.x

(0,0)

Als een verband tussen
x en  y recht evenredig is, dan gelden de volgende eigenschappen:

• De formule kan worden geschreven als:

( a noem je de evenredigheidsconstante, ook de hellingsgetal)

• De grafiek is een rechte lijn door
•  De tabel is een verhoudingstabel.
• Als x bijvoorbeeld 2 keer zo groot wordt, wordt y ook 2 keer zo groot; dit geldt ook voor alle andere waarden van x en y.

Als een van deze eigenschappen geldt, gelden de andere eigenschappen ook. Als een van deze eigenschappen niet geldt, gelden de andere eigenschappen ook niet.

y=a.x

(0,0)

Als een verband tussen
x en  y recht evenredig is, dan gelden de volgende eigenschappen:

• De formule kan worden geschreven als:

( a noem je de evenredigheidsconstante, ook de hellingsgetal)

• De grafiek is een rechte lijn door
•  De tabel is een verhoudingstabel.
• Als x bijvoorbeeld 2 keer zo groot wordt, wordt y ook 2 keer zo groot; dit geldt ook voor alle andere waarden van x en y.

Als een van deze eigenschappen geldt, gelden de andere eigenschappen ook. Als een van deze eigenschappen niet geldt, gelden de andere eigenschappen ook niet.

y=a.x

(0,0)

Een fietser rijdt met een constante snelheid van A naar B. Op tijdstip t=0 start hij bij A en 12 minuten later heeft hij precies 5km afgelegd. Met hoeveel kilometer per uur fietst hij? Geef een formule voor de afgelegde afstand a vanaf A in kilometers afhankelijk van de tijd t in uren.

Bij welke van de formules is y recht evenredig met x? Geef in die gevallen de evenredigheidsconstante. (meerdere antwoorden mogelijk)

1. y=3x+1
2. y=3x
3. y=x+3
4. y=​3​​x​​

Lineaire vergelijkingen met twee variabelen