Platonische Lichamen

• Wiskunde
• HBO
• Studiejaar 2

Symmetrie Platonische Lichamen

door Bente, Jasper & Mariëtte

Leerdoelen

• Je kan van alle Platonische Lichamen de rotaties bepalen. 
• Je weet wat dualiteit te maken heeft met de  rotaties van Platonische Lichamen.
• Je weet dat je de ene keer een groep van type An krijgt en de andere keer van type Sn.

Planning

1. Terughalen symmetriegroep tetraëder
2. Opfrissen bijzondere soorten groepen
3. Rotatiesymmetrieën kubus
4. Dualiteiten
5. Op weg helpen dodecaëder en icosaëder
6. Huiswerk

Hoeveel rotaties heeft de Tetraëder?

Symmetriegroep Tetraëder

• 12 rotaties 
• 24 rotaties en spiegelingen 

Symmetriegroep Tetraëder

• 12 rotaties 

Voorbeeld:

Rotatie om A met 

120°

Symmetriegroep Tetraëder

• 12 rotaties 

Voorbeeld:

Rotatie om A met

(bdc) = (bc) (bd)  

120°

Opdracht 1

a. Schrijf de 12 rotaties op van de Tetraëder met behulp van het inwendig kraaienpoot.

b. Schrijf de cykels op in transposities.

Bijzondere groepen

• Groep
• Ondergroep
• Orde
• Groep 
• Groep
• Viergroep van Klein
• Symmetrische groep Sn
• Alternerende groep An

Symmetriegroep Tetraëder

• 12 rotaties A4
• 24 rotaties en spiegelingen S4

Hoeveel rotaties zal de kubus (hexaëder) hebben?

Hoeveel totaal aantal symmetrieën zal de kubus (hexaëder) hebben?

Kubus (hexaëder)

Welke rotatie-assen kent de kubus? (Opdracht 2)

Rotatie-assen Kubus

Opdracht 3

a. Schrijf de rotaties op van de kubus met behulp van de diagonalen.

b. Hoeveel rotaties kent de kubus?

c. Schrijf de cykels op in transposities. Wat valt op?

d. Met welke groep zijn de rotaties isomorf?

e. (Extra) Bewijs dat de rotaties samen een groep vormen?

Opdracht 3

• Rotaties van orde vier rond een as die de middelpunten van twee tegenoverliggende zijvlakken verbindt (9x)

        90: (abcd) = (ad)(ac)(ab)        180: (ac)(bd)        270: (adcb) = (ab)(ac)(ad)

Opdracht 3

• Rotaties van orde drie rond de ruimtediagonalen van de kubus (tegenoverliggende hoekpunten). (8x)

       120: (adc) = (ac)(ad)        240: (acd) = (ad)(ac)

Opdracht 3

• Rotaties van orde twee rond assen die de middens van tegenoverliggende ribben verbinden.

       180: (ab) (6x)

Opdracht 3

• Rotaties van orde vier rond een as die de middelpunten van twee tegenoverliggende zijvlakken verbindt (9x)

        90: (abcd) = (ad)(ac)(ab)        180: (ac)(bd)        270: (adcb) = (ab)(ac)(ad)

• Rotaties van orde drie rond de ruimtediagonalen van de kubus (tegenoverliggende hoekpunten). (8x)

       120: (adc) = (ac)(ad)        240: (acd) = (ad)(ac)

• Rotaties van orde twee rond assen die de middens van tegenoverliggende ribben verbinden.

       180: (ab) (6x)

• Niets doen (1x)

Opdracht 3

• Rotaties van orde vier rond een as die de middelpunten van twee tegenoverliggende zijvlakken verbindt (9x)

        90: (abcd) = (ad)(ac)(ab)        180: (ac)(bd)        270: (adcb) = (ab)(ac)(ad)

• Rotaties van orde drie rond de ruimtediagonalen van de kubus (tegenoverliggende hoekpunten). (8x)

       120: (adc) = (ac)(ad)        240: (acd) = (ad)(ac)

• Rotaties van orde twee rond assen die de middens van tegenoverliggende ribben verbinden.

       180: (ab) (6x)

• Niets doen (1x)
• Oneven: 6 + 6 = 12
• Even: 3 + 8 + 1 = 12
  

Symmetriegroep Kubus

• Rotaties gelijk met S4 
• Hoe zit het met het totaal aantal symmetrieën van de kubus?(huiswerk)

Maken opdracht 4

Dualiteit

Maken opdracht 5

Dualiteiten

Formule van Euler voor veelvlakken: H – R + Z = 2 

Dualiteiten

• the tetrahedral group T

• the octahedral group O   (octaëder, kubus, afgeknotte kubus, etc) 

• the icosahedral group I (icosaëder, dodecaëder, afgeknotte icosaëder)

www.geogebra.org

Rotatie Dodecaëder

Assen door:

• Tegenoverliggende vlakken
• Tegenoverliggende hoekpunten (diagonalen)
• Tegenoverliggende ribben
• Maak slim gebruik van de tabel!

Huiswerk

• Werkblad opdracht 6 en 7
• Inleveren in de map in Teams, uiterlijk 8 juni.
• In de map vind je ook de slides terug.

Leerdoelen

• Je kan van alle Platonische Lichamen de rotaties bepalen.
  
• Je weet wat dualiteit te maken heeft met de rotaties van Platonische Lichamen.
• Je weet dat je de ene keer een groep van type An krijgt en de andere keer van type Sn.