Afgeleide functies (Wiskunde B havo), les 1: Uitleg

• New lesson editor
• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 4,5

Introduction

Uitleg over afgeleide functies voor havo wiskunde B: van differentiequotiënt naar de helling in een punt, de hellinggrafiek, en differentiëren met de machtsregel, somregel en kettingregel. Met eigen grafieken en zeven controlevragen.

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · AFGELEIDE

Afgeleide functies

Examenstof wiskunde B havo

Les 1 van 3: uitleg. Les 2 is de examentraining, les 3 de terugblik met quiz. Syllabus: Subdomein D2 Afgeleide functies en D3 Bepaling afgeleide functies, met het differentiequotiënt uit D1 als opstap.

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · AFGELEIDE

Wat ga je kunnen?

Ik kan een helling in een punt benaderen, een hellinggrafiek lezen en de afgeleide bepalen met de machtsregel, de somregel en de kettingregel.

Waar denk je aan bij het woord helling?

Verwacht: steil, berg, fietsen, schuin, stijgen, dalen, snelheid, richtingscoëfficiënt. Koppel richtingscoëfficiënt aan een rechte lijn: die heeft overal dezelfde helling. Bij een kromme grafiek verandert de helling per punt, en daar gaat deze les over.

g(x) = x²: koorde AB op het interval [1, 3]

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · AFGELEIDE

Gemiddelde helling op een interval

• Het differentiequotiënt Δy/Δx is de gemiddelde verandering op een interval.

• Op [1, 3] bij g(x) = x²: Δy/Δx = (9 − 1)/(3 − 1) = 4.

• Dat is de helling van de koorde AB: de rechte lijn door A en B.

Herhaling uit subdomein D1. Laat zien dat de grafiek tussen A en B eerst minder steil en dan steiler loopt dan de koorde: 4 is een gemiddelde. Veelgemaakte fout: Δy en Δx omdraaien, of Δy vergeten te delen door Δx. Image credit: Eigen figuur

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · AFGELEIDE

Interval steeds kleiner

• Neem het interval vanaf x = 1 steeds kleiner: Δx wordt 2, dan 0,1, dan 0,01.

• Het differentiequotiënt nadert dan een vast getal: de helling in het punt x = 1.

Reken samen één stap na: g(1,1) = 1,21, dus Δy = 0,21 en Δy/Δx = 0,21/0,1 = 2,1. Zo benader je een lokale afgeleide met differentiequotiënten met afnemende intervalgrootte (D2, vaardigheid 1). Het getal waar het naartoe gaat heet het differentiaalquotiënt.

g(x) = x² met de raaklijn in x = 1

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · AFGELEIDE

Helling in een punt: de raaklijn

• De helling in een punt is de helling van de raaklijn in dat punt.

• Notatie: g′(1) = 2 of [dy/dx] voor x = 1 is 2.

• Dit getal heet het differentiaalquotiënt.

• g′(x) zelf heet de afgeleide functie.

De raaklijn in (1, 1) heeft richtingscoëfficiënt 2: y = 2x − 1. Benadruk het verschil: g′(1) is een getal (de helling in één punt), g′(x) is een functie (de helling in elk punt). Notaties uit de syllabus: f′(x), dy/dx en [dy/dx] voor x = a. Image credit: Eigen figuur

Bereken het differentiequotiënt van f(x) = x² op het interval [2, 5].

A

21

B

3

C

7

D

4,2

Δy = 25 − 4 = 21 en Δx = 5 − 2 = 3, dus Δy/Δx = 21/3 = 7. Wie 21 kiest, vergeet te delen door Δx; 3 is alleen Δx; 4,2 is 21 gedeeld door 5 (de rechtergrens in plaats van Δx).

Neem f(x) = x³. Benader f′(2) met het interval van x = 2 tot x = 2,001. Rond af op 2 decimalen.

f(2,001) = 8,012006001, dus Δy = 0,012006001 en Δy/Δx = 0,012006001/0,001 = 12,006001, afgerond 12,01. De echte helling is f′(2) = 3 · 2² = 12: het differentiequotiënt komt daar dicht bij. Verwachte fout: Δy niet delen door 0,001.

f(x) = x³ − 3x en de hellinggrafiek f′ (gestippeld)

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · AFGELEIDE

De hellinggrafiek

• Bij elke x hoort een helling f′(x). Samen vormen ze de hellinggrafiek.

• f stijgt: f′ ligt boven de x-as. f daalt: f′ ligt onder de x-as.

• In een top of dal van f geldt f′(x) = 0.

f(x) = x³ − 3x heeft een top in (−1, 2) en een dal in (1, −2). De hellinggrafiek f′(x) = 3x² − 3 snijdt de x-as precies bij x = −1 en x = 1. Laat leerlingen met de vinger over f lopen en bij elk stuk zeggen: stijgt, daalt, plat. Veelgemaakte fout: denken dat f′ hoog is waar f hoog is. Image credit: Eigen figuur

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · AFGELEIDE

Van f′ terug naar f

• f′ positief: f stijgt. f′ negatief: f daalt.

• f′ gaat van positief naar negatief: f heeft daar een top.

• f′ gaat van negatief naar positief: f heeft daar een dal.

• Hoe groter f′(x), hoe steiler f daar stijgt.

Dit is D2, vaardigheden 3 en 4: de grafiek van f′ schetsen bij f, en andersom. Let op het verschil tussen 'f′ is nul' en 'f′ wisselt van teken': alleen bij een tekenwissel is er een top of dal.

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · AFGELEIDE

Helling met de GR

• Een helling in een punt mag je ook numeriek bepalen: gebruik de optie voor de afgeleide op je GR (dy/dx of d/dx).

• Staat er in de vraag exact of algebraïsch? Dan mag dat niet en differentieer je zelf.

• Bij aantonen mag het wel, maar laat zien welke stappen je zet.

Volgens de lijst met examenwerkwoorden (syllabus wiskunde B havo 2027): bij algebraïsch geen specifieke opties van de GR, maar benaderde tussenantwoorden mogen; bij exact ook geen benaderde tussenantwoorden of eindantwoord. Bij aantonen moet uit de uitwerking blijken welke stappen zijn gezet. De naam van de optie verschilt per type GR; laat leerlingen hem op hun eigen GR opzoeken.

Hieronder staat de grafiek van f′. Bij welke x heeft f een top?

A

x = 2

B

x = −2

C

x = 0

D

x = 4

f′ gaat bij x = 2 van positief naar negatief, dus daar heeft f een top. Bij x = −2 gaat f′ van negatief naar positief: dat is een dal. x = 0 is de top van f′ (daar stijgt f het steilst), geen top van f. Wie x = 4 kiest, leest f′(0) = 4 af als x-waarde. Image credit: Eigen figuur

Vul in

In een top van f is f′(x) = 0 en verandert f′ van positief naar negatief.

0

positief

1

negatief

In een top is de raaklijn horizontaal (helling 0). Links van de top stijgt f (f′ positief), rechts daalt f (f′ negatief).

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · AFGELEIDE

De machtsregel

• Voor elke macht van x, ook met een negatieve of gebroken exponent.

• Een constante factor blijft gewoon staan.

Voorbeelden om samen te doen: x⁵ geeft 5x⁴, 3x² geeft 6x, x geeft 1. Volgens de syllabus (D3) gaat het om machtsfuncties met rationale exponenten: dus ook x⁻² en x tot de macht ½.

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · AFGELEIDE

Eerst herschrijven tot een macht

• Wortels en breuken met x schrijf je eerst als macht van x.

• Daarna gebruik je de machtsregel.

Veelgemaakte fouten: √x als x² schrijven, of 1/x² als x⁻½. Bij de exponent ½ wordt de nieuwe exponent ½ − 1 = −½. Een negatieve exponent mag je terugschrijven als breuk.

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · AFGELEIDE

Somregel: per term differentiëren

• Bij een som of verschil differentieer je elke term apart.

• Een losse constante valt weg: de afgeleide van 7 is 0.

Laat leerlingen per term zeggen wat er gebeurt: 2x³ wordt 6x², −5x wordt −5, 7 wordt 0. Een constante verschuift de grafiek alleen omhoog of omlaag: de helling verandert niet. Dat is ook het verband tussen de afgeleide van f(x) en van c · f(x) + d (D3, vaardigheid 4).

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · AFGELEIDE

De kettingregel

• Staat er een lineaire vorm binnen een macht, zoals (3x − 1)⁴?

• Differentieer de macht en vermenigvuldig met de factor voor x binnen de haakjes.

Op havo wiskunde B is de binnenste functie bij de kettingregel altijd lineair (ax + b) en de buitenste een macht (syllabus D3, vaardigheid 3). Haakjes uitwerken is niet nodig en kost tijd. Veelgemaakte fout: de factor 3 vergeten.

Wat is de afgeleide van f(x) = x² − 8/x?

A

f′(x) = 2x − 8/x²

B

f′(x) = 2x + 8/x

C

f′(x) = 2x − 8

D

f′(x) = 2x + 8/x²

−8/x = −8x⁻¹, dus de afgeleide is −8 · −1 · x⁻² = 8x⁻² = 8/x². Samen: f′(x) = 2x + 8/x². Wie 2x − 8/x² kiest, vergeet dat min keer min plus is. 2x − 8 komt van het weglaten van de x in de noemer.

Wat is de afgeleide van f(x) = (2x + 5)³?

A

f′(x) = 3(2x + 5)²

B

f′(x) = 6(2x + 5)²

C

f′(x) = 6x(2x + 5)²

D

f′(x) = 24x²

Kettingregel: 3(2x + 5)² · 2 = 6(2x + 5)². 3(2x + 5)² vergeet de factor 2; 6x(2x + 5)² vermenigvuldigt met 2x in plaats van met 2; 24x² is de afgeleide van (2x)³ en vergeet de +5.

Wat vind je nu het lastigst?

1

Differentiequotiënt berekenen

2

Hellinggrafiek lezen

3

Wortels en breuken herschrijven

4

De kettingregel

Gebruik de uitslag om te kiezen welk vraagtype je in les 2 als eerste bespreekt.

Leg in je eigen woorden uit wat f′(3) = 5 betekent.

Een goed antwoord: de helling van de grafiek van f in het punt met x = 3 is 5, of: de raaklijn in dat punt heeft richtingscoëfficiënt 5, of: rond x = 3 neemt f ongeveer 5 toe per 1 in x. Verwachte fout: f(3) = 5 (de functiewaarde in plaats van de helling).

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · AFGELEIDE

Begrippen (1/2)

• interval: een stuk van de x-as tussen twee grenzen, bijvoorbeeld [1, 3]

• differentiequotiënt: Δy/Δx: de gemiddelde verandering op een interval

• differentiaalquotiënt: de helling in één punt, bijvoorbeeld f′(1)

• raaklijn: de lijn die de grafiek in één punt raakt, met dezelfde helling

• afgeleide functie: f′(x): geeft bij elke x de helling van de grafiek van f

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · AFGELEIDE

Begrippen (2/2)

• hellinggrafiek: de grafiek van de afgeleide f′

• differentiëren: de afgeleide bepalen

• machtsregel: x tot de macht n wordt n keer x tot de macht n − 1

• somregel: bij een som differentieer je elke term apart

• kettingregel: bij (ax + b) tot een macht vermenigvuldig je ook nog met a