wi 4V H4 1C2A

4.1 C Elimineren door substitutie

4.2A Hogeremachtswortels [Examenstand]

4.1A Elimineren door optellen/aftrekken

4.1B Elimineren door vermenigvuldigen

1 / 30

Slide 1: Slide

WiskundeMiddelbare schoolvwoLeerjaar 4

This lesson contains 30 slides, with text slides.

Lesson duration is: 60 min

Items in this lesson

wi 4V H4 1C2A

4.1 C Elimineren door substitutie

4.2A Hogeremachtswortels [Examenstand]

4.1A Elimineren door optellen/aftrekken

4.1B Elimineren door vermenigvuldigen

Slide 1 - Slide

4.1A: Elimineren door optellen / aftrekken

'Slim' oplossen door vergelijkingen op te tellen of af te trekken van elkaar.

vb1 zelf proberen 1

vb2 zelf proberen 2

5 x + 7 y = 38

5 x + 3 y = 22

3 x + 11 y = - 19

- 3 x + 4 y = - 11

- 3 x - 5 y = 21

2 x + 8 y = 78

10 x + 8 y = 102

4 x - 5 y = - 14

(x, y) = (5, - 7 \frac{​ 1 ​ ​}{​ 5 ​})

Slide 2 - Slide

4.1A: Elimineren door optellen / aftrekken

vb1

5 x + 7 y = 38

5 x + 3 y = 22

-

0 x + 4 y = 16

y = 4

5 x + 7 y = 38

5 x + 7 \cdot 4 = 38

5 x + 28 = 38

5 x = 10

x = 2

x = 2

y = 4

Slide 3 - Slide

Elimineren door optellen / aftrekken

zelf proberen 1:

zelf proberen 2:

Je kan oplossingen voor stelsels ook als volgt noteren:

(x, y) = (3, 9)

(x, y) = (5, - 7 \frac{​ 1 ​ ​}{​ 5 ​})

x = 3

y = 9

x = 3 \land y = 9

Slide 4 - Slide

4.1B: Elimineren door vermenigvuldigen

Je kunt ook elimineren door de vergelijkingen te vermenigvuldigen met gekozen getallen
Zo stel je één van de variabelen gelijk en los je daarna op.

Kijk hierbij wat handig is. Moet je optellen/ aftrekken?

vb1 zelf proberen 1

vb2

2 x + 14 y = 9

x + 6 y = 4

3 x - 3 y = 15

5 x - y = 13

- 3 x + 5 y = 18

8 x - 2 y = 20

Slide 5 - Slide

4.1A: Elimineren door vermenigvuldigen

vb1

5 \cdot

+

34 x + 0 y = 136

x = 4

- 3 \cdot 4 + 5 y = 18

- 12 + 5 y = 18

5 y = 30

- 6 x + 10 y = 36

40 x - 10 y = 100

2 \cdot

- 3 x + 5 y = 18

- 3 x + 5 y = 18

8 x - 2 y = 20

y = 6

x = 4

y = 6

Slide 6 - Slide

Theorie C: Elimineren door substitutie

Wanneer optellen/aftrekken omslachtig is, kun je het stelsel altijd oplossen met substitutie.

Maak eerst een variabele vrij (kies slim), en vul in bij de ander om te elimineren.

Nieuw: kwadratische stelsels. Er kunnen dan ook meerdere oplossingen zijn.

vb1 zelf proberen

x^{​ 2 ​ ​} + 3 y = 6

y - x = - 4

y^{​ 2 ​ ​} + 15 = x - 1

2 x - 4 y = 38

Slide 7 - Slide

Theorie C: Elimineren door substitutie

Wanneer optellen/aftrekken omslachtig is, kun je het stelsel altijd oplossen met substitutie.

Maak eerst een variabele vrij (kies slim), en vul in bij de ander om te elimineren.

Nieuw: kwadratische stelsels. Er kunnen dan ook meerdere oplossingen zijn.

vb1 zelf proberen

vb2

x^{​ 2 ​ ​} + 3 y = 6

y - x = - 4

y - x^{​ 2 ​ ​} = 7 - 5 x

4 y - 8 x = - 21

y^{​ 2 ​ ​} + 15 = x - 1

2 x - 4 y = 38

Slide 8 - Slide

Theorie C: Elimineren door substitutie

vb1

x^{​ 2 ​ ​} + 3 y = 6

y - x = - 4

- x = - y - 4

x^{​ 2 ​ ​} + 3 y = 6

Slide 9 - Slide

Theorie C: Elimineren door substitutie

vb1

x^{​ 2 ​ ​} + 3 y = 6

y - x = - 4

- x = - y - 4

x^{​ 2 ​ ​} + 3 y = 6

x = y + 4

x^{​ 2 ​ ​} + 3 y = 6

Slide 10 - Slide

Theorie C: Elimineren door substitutie

vb1

x^{​ 2 ​ ​} + 3 y = 6

y - x = - 4

- x = - y - 4

x^{​ 2 ​ ​} + 3 y = 6

x = y + 4

x^{​ 2 ​ ​} + 3 y = 6

(y + 4)^{​ 2 ​ ​} + 3 y = 6

y^{​ 2 ​ ​} + 8 y + 16 + 3 y = 6

y^{​ 2 ​ ​} + 11 y + 10 = 0

(y + 10) (y + 1) = 0

y + 10 = 0 \land y + 1 = 0

y = - 10 \land y = - 1

Slide 11 - Slide

Theorie C: Elimineren door substitutie

vb1

x^{​ 2 ​ ​} + 3 y = 6

y - x = - 4

- x = - y - 4

x^{​ 2 ​ ​} + 3 y = 6

x = y + 4

x^{​ 2 ​ ​} + 3 y = 6

(y + 4)^{​ 2 ​ ​} + 3 y = 6

y^{​ 2 ​ ​} + 8 y + 16 + 3 y = 6

y^{​ 2 ​ ​} + 11 y + 10 = 0

(y + 10) (y + 1) = 0

y + 10 = 0 \land y + 1 = 0

y = - 10 \land y = - 1

x = y + 4

x = - 6 \land x = 3

(x, y) = (- 6, - 10) \lor (x, y) = (3, - 1)

Slide 12 - Slide

Theorie C: Elimineren door substitutie

Wanneer optellen/aftrekken omslachtig is, kun je het stelsel altijd oplossen met substitutie.

Maak eerst een variabele vrij (kies slim), en vul in bij de ander om te elimineren.

Nieuw: kwadratische stelsels. Er kunnen dan ook meerdere oplossingen zijn.

vb1 zelf proberen

x^{​ 2 ​ ​} + 3 y = 6

y - x = - 4

y^{​ 2 ​ ​} + 15 = x - 1

2 x - 4 y = 38

Slide 13 - Slide

Theorie C: Elimineren door substitutie

Wanneer optellen/aftrekken omslachtig is, kun je het stelsel altijd oplossen met substitutie.

Maak eerst een variabele vrij (kies slim), en vul in bij de ander om te elimineren.

Nieuw: kwadratische stelsels. Er kunnen dan ook meerdere oplossingen zijn.

vb1 zelf proberen

vb2

x^{​ 2 ​ ​} + 3 y = 6

y - x = - 4

y - x^{​ 2 ​ ​} = 7 - 5 x

4 y - 8 x = - 21

y^{​ 2 ​ ​} + 15 = x - 1

2 x - 4 y = 38

Slide 14 - Slide

Theorie C: Elimineren door substitutie

vb2

2 x + 5 \frac{​ 1 ​ ​}{​ 4 ​} - x^{​ 2 ​ ​} = 7 - 5 x

- x^{​ 2 ​ ​} - 3 x - 1 \frac{​ 3 ​ ​}{​ 4 ​} = 0

y = - 10 \land y = - 1

x = y + 4

x = - 6 \land x = 3

(- 6, - 10) \lor (3, - 1)

y - x^{​ 2 ​ ​} = 7 - 5 x

4 y - 8 x = - 21

- 4 y = - 21 - 8 x

y = 2 x + 5 \frac{​ 1 ​ ​}{​ 4 ​}

y - x^{​ 2 ​ ​} = 7 - 5 x

x^{​ 2 ​ ​} + 3 x + 1 \frac{​ 3 ​ ​}{​ 4 ​} = 0

Slide 15 - Slide

Theorie C: Elimineren door substitutie

zelf proberen

y^{​ 2 ​ ​} + 15 = x - 1

2 x - 4 y = 38

(x, y) = (17, - 1) \lor (x, y) = (25, 3)

Slide 16 - Slide

Theorie A: oplossingen van hogeregraadsvergelijkingen

(herhaling)

x^{​ 2 ​ ​} = 5

x = \sqrt ​ 5 ​ ​ ​

x = - \sqrt ​ 5 ​ ​ ​

⋁

Slide 17 - Slide

Theorie A: oplossingen van hogeregraadsvergelijkingen

Waarom voldoet de negatieve oplossing niet?

x^{​ 3 ​ ​} = 5

x = ​ 3 ​ ​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​

⋁

x = - ​ 3 ​ ​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​

Slide 18 - Slide

Theorie A: oplossingen van hogeregraadsvergelijkingen

Nog twee voorbeelden

x^{​ 4 ​ ​} = 5

x^{​ 5 ​ ​} = 5

Slide 19 - Slide

Theorie A: oplossingen van hogeregraadsvergelijkingen

Nog twee voorbeelden

x^{​ 4 ​ ​} = 5

x^{​ 5 ​ ​} = 5

Slide 20 - Slide

Theorie A: oplossingen van hogeregraadsvergelijkingen

We kunnen zeggen dat een even macht twee oplossingen heeft.

En een oneven macht heeft één oplossing.

Slide 21 - Slide

Theorie A: oplossingen van hogeregraadsvergelijkingen

Let op! Een even macht heeft soms twee oplossingen.

Er zijn situaties waarin een even macht één of géén oplossingen heeft.

Zie bijvoorbeeld weer

Voor welke waarden van y heeft deze
vergelijking géén oplossingen?

y = x^{​ 4 ​ ​}

Slide 22 - Slide

Theorie A: oplossingen van hogeregraadsvergelijkingen

Voor welke waarden van y heeft deze
vergelijking géén oplossingen?

voor

Dit komt doordat de uitkomst van een wortel altijd positief moet zijn.

y = x^{​ 4 ​ ​}

y < 0

Slide 23 - Slide

Theorie A: oplossingen van hogeregraadsvergelijkingen

Voorbeeld: geef de oplossing(en) voor

x^{​ 4 ​ ​} = 81

Slide 24 - Slide

Hogeregraadsvergelijkingen oplossen

Slide 25 - Slide

4.2A Hogeremachtswortels

x^{​ n ​ ​} = p

n

x^{​ n ​ ​} = p

met

n = 2, 3, 4, . . .

oneven

geeft

x = ​ n ​ ​ \sqrt ​ p ​ ​ ​

n

n

even

x^{​ n ​ ​} = p

x^{​ n ​ ​} = p

geeft

geeft geen oplossingen

x = ​ n ​ ​ \sqrt ​ p ​ ​ ​

x = - ​ n ​ ​ \sqrt ​ p ​ ​ ​

\lor

p > 0

p < 0

x^{​ 3 ​ ​} = - 27 \Rightarrow ​ 3 ​ ​ \sqrt ​ - 27 ​ ​ ​

x^{​ 4 ​ ​} = 196 \Rightarrow ​ 4 ​ ​ \sqrt ​ 196 ​ ​ ​ \lor - ​ 4 ​ ​ \sqrt ​ 196 ​ ​ ​

x^{​ 4 ​ ​} = - 196 \Rightarrow k . n .

Slide 26 - Slide

4.2A Hogeremachtswortels - 27a, b

x = ​ 3 ​ ​ \sqrt ​ - 216 ​ ​ ​ = - 6

x = ​ 4 ​ ​ \sqrt ​ 196 ​ ​ ​ \lor x = - ​ 4 ​ ​ \sqrt ​ 196 ​ ​ ​

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 4 ​} x^{​ 3 ​ ​} + 60 = 6

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 4 ​} x^{​ 3 ​ ​} = - 54

x^{​ 3 ​ ​} = - 216

100 - 3 x^{​ 4 ​ ​} = 55

- 3 x^{​ 4 ​ ​} = - 45

x^{​ 4 ​ ​} = 15

Slide 27 - Slide

4.2A Hogeremachtswortels - 27a, b

x = ​ 3 ​ ​ \sqrt ​ - 216 ​ ​ ​ = - 6

x = ​ 4 ​ ​ \sqrt ​ 196 ​ ​ ​ \lor x = - ​ 4 ​ ​ \sqrt ​ 196 ​ ​ ​

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 4 ​} x^{​ 3 ​ ​} + 60 = 6

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 4 ​} x^{​ 3 ​ ​} = - 54

x^{​ 3 ​ ​} = - 216

100 - 3 x^{​ 4 ​ ​} = 55

- 3 x^{​ 4 ​ ​} = - 45

x^{​ 4 ​ ​} = 15

Slide 28 - Slide

4.2A Hogeremachtswortels - 27c, d

1 - 2 x = ​ 6 ​ ​ \sqrt ​ 8 ​ ​ ​ \lor 1 - 2 x = - ​ 6 ​ ​ \sqrt ​ 8 ​ ​ ​

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} (4 x - 1)^{​ 5 ​ ​} + 3 = 19

2 \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} (1 - 2 x)^{​ 6 ​ ​} - 6 = 14

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} (4 x - 1)^{​ 5 ​ ​} = 16

(4 x - 1)^{​ 5 ​ ​} = 32

4 x - 1 = ​ 5 ​ ​ \sqrt ​ 32 ​ ​ ​ = 2

2 \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} (1 - 2 x)^{​ 6 ​ ​} = 20

(1 - 2 x)^{​ 6 ​ ​} = 8

4 x = 3

x = \frac{​ 3 ​ ​}{​ 4 ​}

- 2 x = - 1 + ​ 6 ​ ​ \sqrt ​ 8 ​ ​ ​ \lor - 2 x = - 1 - ​ 6 ​ ​ \sqrt ​ 8 ​ ​ ​

x = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} - \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ 6 ​ ​ \sqrt ​ 8 ​ ​ ​ \lor x = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} + \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ 6 ​ ​ \sqrt ​ 8 ​ ​ ​

Slide 29 - Slide

4.2A Hogeremachtswortels - 27c, d

1 - 2 x = ​ 6 ​ ​ \sqrt ​ 8 ​ ​ ​ \lor 1 - 2 x = - ​ 6 ​ ​ \sqrt ​ 8 ​ ​ ​

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} (4 x - 1)^{​ 5 ​ ​} + 3 = 19

2 \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} (1 - 2 x)^{​ 6 ​ ​} - 6 = 14

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} (4 x - 1)^{​ 5 ​ ​} = 16

(4 x - 1)^{​ 5 ​ ​} = 32

4 x - 1 = ​ 5 ​ ​ \sqrt ​ 32 ​ ​ ​ = 2

2 \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} (1 - 2 x)^{​ 6 ​ ​} = 20

(1 - 2 x)^{​ 6 ​ ​} = 8

4 x = 3

x = \frac{​ 3 ​ ​}{​ 4 ​}

- 2 x = - 1 + ​ 6 ​ ​ \sqrt ​ 8 ​ ​ ​ \lor - 2 x = - 1 - ​ 6 ​ ​ \sqrt ​ 8 ​ ​ ​

x = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} - \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ 6 ​ ​ \sqrt ​ 8 ​ ​ ​ \lor x = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} + \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ 6 ​ ​ \sqrt ​ 8 ​ ​ ​

Slide 30 - Slide

wi 4V H4 1C2A

Items in this lesson

Slide 1 - Slide

Slide 2 - Slide

Slide 3 - Slide

Slide 4 - Slide

Slide 5 - Slide

Slide 6 - Slide

Slide 7 - Slide

Slide 8 - Slide

Slide 9 - Slide

Slide 10 - Slide

Slide 11 - Slide

Slide 12 - Slide

Slide 13 - Slide

Slide 14 - Slide

Slide 15 - Slide

Slide 16 - Slide

Slide 17 - Slide

Slide 18 - Slide

Slide 19 - Slide

Slide 20 - Slide

Slide 21 - Slide

Slide 22 - Slide

Slide 23 - Slide

Slide 24 - Slide

Slide 25 - Slide

Slide 26 - Slide

Slide 27 - Slide

Slide 28 - Slide

Slide 29 - Slide

Slide 30 - Slide

More lessons like this

Kwadratische verbanden

Rekenen met Cijfers

Cijfers

Negatieve getallen

Formules Excel

wortels en machten

Letterbreuken

Hoofdstuk 5 les 2 G&R T/Havo leerjaar 2 - 13e editie