Demostraciones indirectas

Números racionales.
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AlgebraTertiary Education

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Números racionales.

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Demostraciones indirectas

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¿Qué son?
(¬Q(PQ))¬P
Parten de la contraposición de una implicación.
Puede ser más fácil de comprobar lo contrario.

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Ejemplo
Pruebe que si un número al cuadrado es par, entonces dicho número es par.
n2ParnPar
nParn2Par

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Ejemplo
  • Como queremos comprobar por un método indirecto:
nParn2Par
n=2k1
n2=(2k1)2=4k24k+1
n2=2(2k22k)+1

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Demostraciones indirectas por reducción al absurdo

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¿Qué son?
(¬Q(PQ))P
Parten de la negación condicional, lo que buscan es tratar de probar que la negación es posible.

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Ejemplo
La suma de dos enteros consecutivos es impar.
Vamos a buscar probar que la suma no es impar
a+b2k+1
b=a+1a+b=a+(a+1)=2a+1
2a+12k+1

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Ejemplo
La raíz cuadrada de dos, es un número irracional.
Probemos que la raíz cuadrada es racional
2=baa,bPrimos
2b=a2b2=a2
Como a cuadrada es resultado de una multiplicación por dos, es par, y como ya comprobamos para que a cuadrada sea par, a debe de ser par. 
Para que sea una fracción de números primos, es necesario que b sea impar.

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Ejemplo
Para que sea una fracción de números primos, es necesario que b sea impar.
aPar,bImpar
a=2k
2b2=a22b2=(2k)2
2b2=4k2b2=2k2
De esta forma nosotros comprobamos que b cuadrada y por lo tanto b son pares.

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Ejemplo
La raíz cuadrada de dos, es un número irracional.
Probemos que la raíz cuadrada es racional
2=baa,bPrimos
Hemos comprobado que tanto a y b deben de ser números pares, por lo que no son primos entre sí y llegamos a una contradicción en la definición de un número racional.

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Ejemplo
El conjunto de números primos tiene una cardinalidad infinita.

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