§5.6 Hoeken berekenen in ruimtefiguren (leerjaar 3)

• New lesson editor
• Wiskunde
• Middelbare school
• vmbo t

Introduction

Leerlingen zoeken in een balk, kubus of piramide de rechthoekige driehoek en berekenen daarmee de hoek tussen een lijn en het grondvlak. Les bij Getal & Ruimte vmbo-kgt (mavo) leerjaar 3, hoofdstuk 5 Goniometrie, paragraaf 5.6. Met startvraag, theorie, opdrachten Kennis en Toepassing, een Verderkijker en de checklist leerdoelen.

5

Goniometrie

Paragraaf 5.6

Hoeken berekenen in ruimtefiguren

Hoe steil loopt een draad door een kamer? Je vindt de hoek met een driehoek die in de ruimte verstopt zit.

Gemaakt bij Getal & Ruimte, leerjaar 3, vmbo-kgt (mavo)

Les bij Getal & Ruimte, leerjaar 3, hoofdstuk 5 Goniometrie, paragraaf 5.6 Hoeken berekenen in ruimtefiguren. Ongeveer 40 minuten, mavo. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 5

Paragraaf 5.6

5.6  Hoeken berekenen in ruimtefiguren

Leerdoelen

5.6.1

Je kunt in een ruimtefiguur de rechthoekige driehoek bij een gevraagde hoek vinden.

5.6.2

Je kunt de diagonaal van het grondvlak berekenen en daarna de hoek met sin, cos of tan.

5.6.3

Je kunt de hoek tussen een diagonaal of ribbe en het grondvlak berekenen.

De leerdoelen staan in het boek bovenaan de paragraaf. Aan het eind van de les komen ze terug in de checklist. Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 5

Paragraaf 5.6

Startvraag

Een draad in de kamer

In een kamer span je een draad van een hoek op de vloer naar de tegenoverliggende hoek bij het plafond. Wat heb je eerst nodig om de hoek met de vloer te berekenen?

A

De inhoud van de kamer

B

De omtrek van het plafond

C

De diagonaal van de vloer

D

Het aantal hoeken van de kamer

Laat leerlingen de situatie eerst in de lucht tekenen. De draad is de schuine zijde van een driehoek met de diagonaal van de vloer en de hoogte van de kamer. Zonder de diagonaal van de vloer heb je geen twee zijden. Wie de inhoud kiest, verwart de vraag met een andere ruimtemeetkundevraag. Verwijs terug naar de lichaamsdiagonaal.

Hoofdstuk 5

Paragraaf 5.6

Zoek de rechthoekige driehoek

In elke ruimtefiguur zit een rechthoekige driehoek verstopt. De hoek tussen een lijn en het grondvlak meet je tussen die lijn en zijn schaduw op het grondvlak. Teken die driehoek los, zet de maten erbij en gebruik sin, cos of tan.

Maak het concreet: houd een potlood schuin boven de tafel. De schaduw op het tafelblad is de projectie. De hoek tussen potlood en tafel is de hoek tussen de lijn en zijn schaduw. In een balk zijn die driehoeken makkelijk te vinden. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 5

Paragraaf 5.6

Driehoek ACG los getekend

De diagonaal AG en zijn schaduw AC op het grondvlak vormen samen met CG de driehoek ACG. Die heeft een rechte hoek bij C, want CG staat loodrecht op het grondvlak. AC reken je uit met Pythagoras in het grondvlak.

Loop door: AG loopt van A naar G, de schaduw ervan op het grondvlak is AC. In de balk is AB = 8, BC = 6 en CG = 5. AC is de diagonaal van de rechthoek ABCD: √(8² + 6²) = 10. Dit is het hart van de les. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 5

Paragraaf 5.6

Voorbeeldopdracht 1

Een balk ABCD.EFGH heeft AB = 8 cm, BC = 6 cm en BF = 5 cm. Bereken de hoek tussen diagonaal AG en het grondvlak.

gegeven

AB = 8, BC = 6, CG = BF = 5 (cm)

Gevraagd: hoek GAC

uitwerking

AC = √(8² + 6²) = 10 cm

tan(GAC) = CG : AC = 5 : 10

GAC = tan⁻¹(0,5) ≈ 26,6°

antwoord

De hoek is ongeveer 26,6°

Eerst de driehoek aanwijzen, dan Pythagoras in het grondvlak, dan de tangens. CG is overstaand aan de hoek bij A en AC is aanliggend. Wie AG = 5 en AC = 6 combineert, kijkt niet goed naar de driehoek. Doorvraag: hoe lang is AG zelf? (√125 ≈ 11,2 cm.) Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 5

Paragraaf 5.6

Stappenplan ruimtefiguren

Elke hoekvraag in een ruimtefiguur werkt zo.

1. Zoek de driehoek

Welke lijn en welke schaduw op het grondvlak horen bij de hoek?

1. Bereken zijden

Mist er een zijde? Gebruik Pythagoras in het grondvlak.

1. Kies en reken

Kies sin, cos of tan met de twee zijden die je kent.

Dit stappenplan is hetzelfde als in de vorige les, met stap 1 en 2 als nieuwe onderdelen. Veel fouten ontstaan doordat leerlingen de verkeerde driehoek kiezen; laat ze die driehoek altijd los tekenen. Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 5

Paragraaf 5.6

Opdrachten Kennis

1

Welke driehoek hoort bij de hoek tussen AG en het grondvlak ABCD?

A

Driehoek ABC

B

Driehoek ACG

C

Driehoek AEG

D

Driehoek BCG

AG en zijn schaduw AC op het grondvlak liggen in driehoek ACG. Driehoek ABC ligt helemaal in het grondvlak. In driehoek AEG zit de hoek bij A tussen AG en de ribbe AE, dus niet met het grondvlak. Driehoek BCG bevat het punt A niet. Image credit: Eigen figuur, LessonUp

Hoofdstuk 5

Paragraaf 5.6

Opdrachten Toepassing

2

Bereken de hoek tussen diagonaal AF en het grondvlak (hele graden).

AF is de diagonaal van het voorvlak ABFE; zijn schaduw op het grondvlak is AB (8 cm). BF = 5 cm staat loodrecht op AB. tan(FAB) = 5 : 8 = 0,625, dus FAB = tan⁻¹(0,625) ≈ 32,0°, afgerond 32°. Wie 26,6° antwoordt, gebruikt de diagonaal van het grondvlak AC (10 cm) in plaats van AB: dat is de hoek van AG, niet van AF. Image credit: Eigen figuur, LessonUp

Hoofdstuk 5

Paragraaf 5.6

Opdrachten Toepassing

3

Een kubus heeft ribben van 6 cm. Hoek tussen AG en het grondvlak?

A

35,3°

B

54,7°

C

45,0°

D

26,6°

AC = √(6² + 6²) = √72 ≈ 8,49. tan(GAC) = 6 : 8,49, dus GAC ≈ 35,3°. 54,7° is de andere scherpe hoek in driehoek ACG (hoek AGC). 45,0° geldt alleen als AC even lang is als CG, maar de diagonaal van het vierkant is langer dan de ribbe. 26,6° komt uit AC = 6 + 6 = 12 (optellen in plaats van Pythagoras). Image credit: Eigen figuur, LessonUp

Vul de ontbrekende getallen en woorden in.

Hoofdstuk 5

Paragraaf 5.6

Opdrachten Toepassing

4

De diagonaal AC van het grondvlak is √(8² + 6²) = 10 cm.

De hoek tussen AG en het grondvlak ligt in driehoek ACG.

Daarin is CG de overstaande zijde van de hoek bij A.

10

ACG

overstaande

AEG

aanliggende

14

Wie 14 invult, telt 8 en 6 op in plaats van Pythagoras te gebruiken. AEG is de driehoek met de ribbe AE, niet met het grondvlak. Aanliggend is de zijde AC; CG staat tegenover de hoek bij A.

Hoofdstuk 5

Paragraaf 5.6

Opdrachten Toepassing

★ 5

Kamer van 6 bij 4 m en 3 m hoog. Hoek tussen ruimtediagonaal en vloer, in 1 decimaal?

Eerst de diagonaal van de vloer: √(6² + 4²) = √52 ≈ 7,21 m. Dan tan(α) = 3 : 7,21, dus α = tan⁻¹(0,416) ≈ 22,6°. Wie 26,6° antwoordt, heeft de diagonaal 6 m genomen of 3 : 6 gebruikt. Wie 36,9° antwoordt, heeft 3 : 4 gebruikt, dus de verkeerde zijde van de vloer. Image credit: Eigen figuur, LessonUp

Hoofdstuk 5

Paragraaf 5.6

V E R D E R K I J K E R

Ook bij een piramide

Bij een vierkante piramide met grondvlak 6 bij 6 cm en hoogte 4 cm ligt de top boven het midden. De halve diagonaal van het grondvlak is dan 6√2 : 2 ≈ 4,24 cm. De hoek tussen een ribbe en het grondvlak is tan⁻¹(4 : 4,24) ≈ 43,3°.

Hier zit dezelfde driehoek: hoogte, halve diagonaal van het grondvlak en de ribbe. Laat leerlingen de piramide van Gizeh opzoeken: de hellingshoek van de zijkant is ongeveer 51°. Dat is een andere hoek dan die van de ribbe: waarom? Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 5

Paragraaf 5.6

Checklist leerdoelen

Welk leerdoel vind je nog het lastigst?

1

5.6.1 Rechthoekige driehoek in de ruimte

2

5.6.2 Diagonaal en hoek berekenen

3

5.6.3 Hoek met het grondvlak berekenen

4

Ik kan ze allemaal

In het boek sluit elke paragraaf af met de checklist leerdoelen. Gebruik de uitslag om te kiezen wat je de volgende les herhaalt.

5.6

Klik hier

voor meer kant-en-klare themalessen

Image credit: LessonUp