Les 12: H5 en H10: Samenvatten en combineren Gonio, Pythagoras, hellingspercentage - 3M

Leerdoelen-formulier
voor je!

Lesplanning:

Lesdoel bespreken
Terugblik:
Alle theorie H5 en H10
Afsluiting

1 / 49

Slide 1: Slide

WiskundeMiddelbare schoolvmbo g, t, mavoLeerjaar 3

This lesson contains 49 slides, with text slides and 8 videos.

Lesson duration is: 60 min

Items in this lesson

Leerdoelen-formulier
voor je!

Lesplanning:

Lesdoel bespreken
Terugblik:
Alle theorie H5 en H10
Afsluiting

Slide 1 - Slide

Wat ga je leren?

Je kunt alle geleerde vaardigheden gecombineerd gebruiken!

Slide 2 - Slide

Terugblik: Instellen rekenmachine

Zorg er voor dat je rekenmachine goed
is ingesteld als je goniometrie gaat gebruiken.
In je schermpje staat een kleine D.
Wanneer dit niet het geval is, reset je je rekenmachine.
Shift -> CLR -> 3 -> = -> =

Slide 3 - Slide

Terugblik: Pythagoras - Schema

Bij welk figuur gebruik je de stelling van Pythagoras?
Hoe luidt de stelling van Pythagoras?
kz² + kz²= lz²
Deze pasten we in een schema toe:
kz²= PQ²= 12²= 144 kz²= QR²= 5² = 25 + lz²= PR²= ... = 169
PR = V169 = 13 Dus PR = 13.

Slide 4 - Slide

Terugblik: Pythagoras - Verkort

Dus onthoudt de verkorte stelling van Pythagoras:

Wanneer je een korte zijde uit moet rekenen, gebruik je de volgende formule:

k z = ​ [?] ​ ​ \sqrt ​ l z^{​ 2 ​ ​} - k z^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

l z = ​ [?] ​ ​ \sqrt ​ k z^{​ 2 ​ ​} + k z^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

Slide 5 - Slide

Slide 6 - Slide

Terugblik: Pythagoras - Verlengd

In hoofdstuk 2 leerden we de verlengde stelling van Pythagoras

Wanneer gebruikten we deze ook alweer?

Om de lichaamsdiagonaal uit te rekenen.
lengte²= kz²= AB² = 6²= 36
breedte² = kz² = BC² = 3² = 9
hoogte²= kz² = CG² = 5² = 25 +
lich.dia²= lz² = AG² = ... = 70AG = V70 = 8,366... Dus AG is ca. 8,4

Slide 7 - Slide

Terugblik: Pythagoras - Verlengd

Dus onthoudt de verlengde stelling van Pythagoras:

(hebben jullie eigenlijk niet nodig, maar om jullie wat te verreiken... )Wanneer je een korte zijde uit moet rekenen, gebruik je de volgende formule:

k z = ​ [?] ​ ​ \sqrt ​ l z^{​ 2 ​ ​} - k z^{​ 2 ​ ​} - k z^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

l z = ​ [?] ​ ​ \sqrt ​ k z^{​ 2 ​ ​} + k z^{​ 2 ​ ​} + k z^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

Slide 8 - Slide

Terugblik: Bewoording

Kz² + kz²= lz²
Deze kreten kz en lz gebruiken we om het begrip te verhogen vanaf klas 2. Officieler is de stelling:
rechthoekszijde² + rechthoekszijde² = schuine zijde²
Wij gaan in dit hoofdstuk naar de meer
officielere termen.

Slide 9 - Slide

Rhz altijd vast aan de rechte hoek.

sz zit nooit vast aan de rechte hoek

Slide 10 - Slide

Terugblik: van RC naar HP

Met de RC bereken je hoe steil een grafiek loopt, ofwel
Met de RC bereken je hoe steil een helling is.
Dit, de hellingshoek, kun ook geven in graden en procenten.
Voor 't meten van de hellingshoek in graden gebruik de geo.
Het berekenen van de hellingshoek leren jullie later periode.
De hellingshoek in %, het hellingspercentage, bereken je door de RC x 100 te doen.

Slide 11 - Slide

Terugblik: van RC naar HP

Algemeen gelden de formules:
Deze laatste wordt iets anders opgeschreven,
om het later makkelijker te maken:

= \frac{​ T o e n a m e . v e r t i c a a l ​ ​}{​ T o e n a m e . h o r i z o n t a a l ​}

R C = \frac{​ 2 ​ ​}{​ 3 ​} \approx 0, 7

= \frac{​ T o e n a m e . v e r t i c a a l ​ ​}{​ T o e n a m e . h o r i z o n t a a l ​} X 100

= \frac{​ H o o g t e v e r s c h i l ​ ​}{​ H o r i z o n t a l e . a f s t a n d ​} X 100

het hellingspercentage bereken je door RC X 100 te doen

Slide 12 - Slide

Slide 13 - Slide

Terugblik: van RC en HP naar tan

Zoals gezegd is de RC de verhouding tussen toename verticaal en toename horizontaal, ofwel tussen hoogteverschil en horizontale afstand.
Deze verhouding noemen we de tangens van de hellingshoek.
Op je rekenmachine staat dit afgekort naar tan.
Deze gebruik je wanneer je weet hoeveel graden de hellingshoek is.
Dus er zijn 2 formules voor het hellingspercentage:

R C = \frac{​ T o e n a m e . v e r t i c a a l ​ ​}{​ T o e n a m e . h o r i z o n t a a l ​}

Hoek bekend

H P = tan h e l l i n g s h o e k X 100

H P = \frac{​ h o o g t e v e r s c h i l ​ ​}{​ h o r i z o n t a l e . a f s t a n d ​} X 100

= \frac{​ h o o g t e v e r s c h i l ​ ​}{​ h o r i z o n t a l e . a f s t a n d ​}

= tan h e l l i n g s h o e k

tan

zijden bekend

Slide 14 - Slide

Terugblik: Tangens

Zoals gezegd is de tangens de verhouding tussen toename verticaal en toename horizontaal, ofwel tussen hoogteverschil en horizontale afstand.
Echter noemen we dit bij de tangens anders, hiervoor kijken we even terug naar dit figuur:

R C = \frac{​ T o e n a m e . v e r t i c a a l ​ ​}{​ T o e n a m e . h o r i z o n t a a l ​}

= \frac{​ h o o g t e v e r s c h i l ​ ​}{​ h o r i z o n t a l e . a f s t a n d ​}

= tan h e l l i n g s h o e k

Slide 15 - Slide

Rhz altijd vast aan de rechte hoek.

sz zit nooit vast aan de rechte hoek

Slide 16 - Slide

Terugblik: Tangens

Nu gaan ze als volgt heten:

Dus is de formule voor tangens:
Onthoud dit met het ezelsbruggetje: TOA

R C = \frac{​ T o e n a m e . v e r t i c a a l ​ ​}{​ T o e n a m e . h o r i z o n t a a l ​}

= \frac{​ h o o g t e v e r s c h i l ​ ​}{​ h o r i z o n t a l e . a f s t a n d ​}

= tan h e l l i n g s h o e k

tan h o e k = \frac{​ o v e r s t a a n d e . r e c h t h o e k s z i j d e ​ ​}{​ a a n l i g g e n d e . r e c h t h o e k s z i j d e ​}

tan h e l l i n g s h o e k = \frac{​ h o o g t e v e r s c h i l ​ ​}{​ h o r i z o n t a l e . a f s t a n d ​}

tan

Slide 17 - Slide

Terugblik: Tangens

Met de tangens kun je de grootte van een hoek in graden vinden, mits je weet hoe lang de rechthoekszijden zijn.

Hiervoor gerbuiken we de inverse tangens, op je rekenmachine is dat tan^-1.

Deze vind je door op je rekenmachine shift -> tan te doen.

Staan alle rekenmachines juist ingesteld????

Slide 18 - Slide

Terugblik: Tangens

Vul de tangens formule in:
Vul de gegevens in die je weet:
Als je de hoek wilt uitreken doe je vervolgens: (officieel foute notatie)

tan ∠ A = \frac{​ B C ​ ​}{​ A B ​}

tan ∠ A = \frac{​ 1 7 ​ ​}{​ 4 0 ​}

∠ A = tan^{​ - 1 ​ ​} (\frac{​ 1 7 ​ ​}{​ 4 0 ​}) = 23, 025 . . .

∠ A = tan^{​ - 1 ​ ​} (17 : 40) = 23, 025 . . .

B e r e k e n ∠ A

Dus

∠ A \approx 2 3^{​ 0 ​ ​}

Slide 19 - Slide

Slide 20 - Slide

Slide 21 - Slide

Terugblik: Hoekensom

Deze kon ook anders, aangezien we
Hoek A al wisten voor we C gingen

berekenen. Immers:

Dit doen we met de hoekensom van een driehoek. Wat is dit ook alweer?

Alle hoeken van een driehoek samen zijn 180^o.

B e r e k e n ∠ C

∠ A = 23, 025 . . .

∠ C = 180 - ∠ B - ∠ A (H o e k s o m Δ)

∠ C = 180 - 90 - 23, 025 . . . = 66, 974 . . .

∠ C \approx 6 7^{​ 0 ​ ​}

Slide 22 - Slide

Terugblik: Drieletternotatie

L A₁=?
L A₁=L IAB
L A₂=?
L A₂ = L BAC
L A₁₂= L IAC

Slide 23 - Slide

Slide 24 - Slide

Terugblik: Goniometrie

Slide 25 - Slide

Goniometrie

Slide 26 - Slide

Terugblik: 6-3-2-driehoek

6 = 3 X 2

3 = \frac{​ 6 ​ ​}{​ 2 ​}

2 = \frac{​ 6 ​ ​}{​ 3 ​}

Slide 27 - Slide

Terugblik: Stappenplan gonio

Maak een schets van de situatie, wanneer dit nodig is.
SOS,CAS of TOA - wat is bekend van de driehoek en wat moet je weten?
Vul de namen van de zijden en de hoek in.
Vul de lengte van de zijde(n) en/of de grootte van de hoek in die je weet.
- Is de hoek gegeven? Gebruik de 6-3-2-driehoek om de gevraagde hoek
uit te rekenen.
- Is de hoek niet gegeven? Gebruik de inverse om de gevraagde zijde uit
te rekenen.
Rond je antwoord pas af in de Dus-zin.

Slide 28 - Slide

Slide 29 - Slide

Slide 30 - Slide

Slide 31 - Slide

Slide 32 - Slide

Terugblik: Stappenplan tan i.d. ruimte

Maak een schets van het vlak waar de gevraagde hoek in zit, schrijf hier de afmetingen die je weet bij en zoek de rechthoekige driehoek.
- Weet je voldoende van deze driehoek om de tangens te gebruiken? -> 5
- Mis je nog een zijde van deze driehoek? -> 3
Schets het vlak waar de missende zijde ook in zit, schrijf hier alle afmetingen bij en zoek de rechthoekige driehoek die je nodig hebt.
Bereken met goniometrie of pythagoras de missende zijde. Schrijf deze in de eerste schets.
Bereken met de tangens de hoek die in de opgave gevraagd wordt.
Rond je antwoord pas af in de Dus-zin, dus tussendoor NIET afronden.

Slide 33 - Slide

Slide 34 - Slide

Slide 35 - Slide

Terugblik: Pythagoras of gonio

Hoek gevraagd?

Weet je twee hoeken --> gebruik hoekensom.
Weet je twee zijden --> gebruik (inverse) goniometrie. (sin^-1, cos^-1, tan^-1)

Zijde gevraagd?

Weet je één zijde èn één hoek --> gebruik goniometrie. (sin, cos, tan)
Weet je twee zijde -->, gebruik pythagoras.

Bij Rechthoekige driehoek

Maak een schets

Slide 36 - Slide

Slide 37 - Slide

Slide 38 - Slide

Slide 39 - Slide

Deze les en volgende les

Maken:

H5: opgave 60 t/m 63

H10: opgave 41 t/m 49

Nakijken:

Alle huiswerk en aftekenen

timer

10:00

Slide 40 - Slide

Hoe ging het?

Welke leerdoelen ga jij nog aan werken?

Slide 41 - Slide

Slide 42 - Video

Slide 43 - Video

Slide 44 - Video

Slide 45 - Video

Slide 46 - Video

Slide 47 - Video

Slide 48 - Video

Slide 49 - Video