Gravitatie (Natuurkunde vwo), les 2: Examentraining

• newEditor
• Natuurkunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 4-6

Introduction

Examentraining met 4 vraagtypen en 8 vragen in examenstijl: Fmpz en baansnelheid, g en evenredigheden, banen om de aarde, Eg en ontsnappen. Met stappenplan en tips.

Aarde boven de maan, Apollo 8, 1968 (foto: Bill Anders, NASA, publiek domein)

EXAMENSTOF · C3 · GRAVITATIE

Examentraining

Gravitatie: zo pak je examenvragen aan

Les 2 van 3. Laat leerlingen in tweetallen overleggen bij de open vragen. Image credit: Bill Anders, NASA / Wikimedia Commons, publiek domein

EXAMENSTOF · C3 · GRAVITATIE

Wat ga je kunnen?

Ik kan rekenen en redeneren met Fmpz, Fg, Eg en de ontsnappingssnelheid.

EXAMENSTOF · C3 · GRAVITATIE

Zo pak je een examenvraag aan

• 1. Teken: welke kracht wijst naar het middelpunt? Is het er maar één?

• 2. Kies: v = 2π·r/T, Fmpz = m·v²/r, Fg = G·m·M/r², g = G·M/r², Eg = −G·m·M/r.

• 3. Stel gelijk: bij een baan Fmpz = Fg, bij ontsnappen Ek + Eg = 0.

• 4. Reken: in m, s en kg, r vanaf het middelpunt, juiste significante cijfers.

EXAMENSTOF · C3 · GRAVITATIE

Vraagtype 1: Fmpz en baansnelheid

• Fmpz = m·v²/r en v = 2π·r/T, met T in s.

• Bij gelijke m en r geldt Fmpz = 4π²·m·r/T².

• Je rekent met Fmpz als één kracht die rol heeft.

Syllabus C3.1: cirkelbewegingen met constante baansnelheid en de middelpuntzoekende kracht.

Kogel 0,50 kg, touw 1,2 m, glad vlak, touw breekt bij 50 N. Bereken de kleinste T.

A

0,11 s

B

0,47 s

C

0,97 s

D

0,69 s

De spankracht is de Fmpz: Fmpz = 4π²·m·r/T², dus T = 2π·√(m·r/Fmpz) = 2π · √(0,50 · 1,2 / 50) = 2π · 0,1095 = 0,688 s, afgerond 0,69 s (50 N heeft twee cijfers). Controle: v = √(Fmpz·r/m) = √(120) = 10,95 m/s; T = 2π · 1,2 / 10,95 = 0,688 s. Bij een kortere T is de spankracht groter, dus dit is de kleinste T. Fouten: 2π vergeten (0,11 s), wortel vergeten (0,47 s) en r = 2,4 m gebruikt (0,97 s). Syllabus C3.1.

Bij gelijke m en r wordt T 3 keer zo lang. Wat gebeurt er met Fmpz?

A

Fmpz wordt 9 keer zo klein

B

Fmpz wordt 3 keer zo klein

C

Fmpz wordt 9 keer zo groot

D

Fmpz wordt 3 keer zo groot

Fmpz = 4π²·m·r/T²: 3·T geeft 3² = 9 keer zo klein. Fouten: lineair verband (3 keer) en omgekeerde richting. Syllabus C3.1.

EXAMENSTOF · C3 · GRAVITATIE

Vraagtype 2: g en evenredigheden

• G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kg² (informatieboek).

• g = G·M/r², met r de straal van de planeet.

• Een bol met dichtheid ρ heeft M = ρ·(4/3)π·r³.

Syllabus C3.2: uitleggen hoe g afhangt van massa en straal van de planeet.

Planeet met diameter 1,22·10⁷ m en M = 4,9·10²⁴ kg. Bereken g aan het oppervlak.

A

2,2 m/s²

B

5,4·10⁷ m/s²

C

8,8 m/s²

D

1,3·10¹¹ m/s²

r = 1,22·10⁷ / 2 = 6,10·10⁶ m; g = G·M/r² = 6,67·10⁻¹¹ · 4,9·10²⁴ / (6,10·10⁶)² = 3,268·10¹⁴ / 3,721·10¹³ = 8,8 m/s² (controle: 8,78 · 3,721·10¹³ / 4,9·10²⁴ = 6,67·10⁻¹¹). Fouten: diameter als straal (2,2), r niet kwadrateren (5,4·10⁷) en G vergeten (1,3·10¹¹). Syllabus C3.2.

Planeet B heeft dezelfde dichtheid als A en 2 keer zo grote straal. Wat is gB/gA?

A

gB is 4 keer zo groot als gA

B

gB is gelijk aan gA

C

gB is 2 keer zo groot als gA

D

gB is 2 keer zo klein als gA

M = ρ·(4/3)π·r³, dus g = G·M/r² = (4/3)π·G·ρ·r: evenredig met r, dus 2 keer zo groot. Fouten: alleen r² meetellen of M en r² laten wegvallen. Syllabus C3.2.

EXAMENSTOF · C3 · GRAVITATIE

Vraagtype 3: banen om de aarde

• G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kg² (informatieboek).

• Baan: Fmpz = Fg, dus v = √(G·M/r) en r³ = G·M·T²/(4π²).

• r is de afstand tot het middelpunt: R + h.

Syllabus C3.1 en C3.2: baan van een satelliet, omlooptijd en baanstraal.

Satelliet 3,0·10² km boven de aarde (M = 5,97·10²⁴ kg, R = 6,37·10⁶ m). Bereken v.

A

7,7·10³ m/s

B

3,6·10⁴ m/s

C

7,9·10³ m/s

D

6,0·10⁷ m/s

r = 6,37·10⁶ + 3,0·10⁵ = 6,67·10⁶ m; v = √(G·M/r) = √(3,982·10¹⁴ / 6,67·10⁶) = √(5,970·10⁷) = 7,7·10³ m/s (controle: (7,73·10³)² · 6,67·10⁶ = 3,98·10¹⁴ = G·M). Fouten: r gelijk aan de hoogte (3,6·10⁴), hoogte niet omgerekend (7,9·10³) en de wortel vergeten (6,0·10⁷). Syllabus C3.2.

Satelliet met T = 12 h om de aarde (M = 5,97·10²⁴ kg). Bereken de baansnelheid.

A

6,2·10² m/s

B

3,1·10³ m/s

C

5,9·10⁴ m/s

D

3,9·10³ m/s

T = 12 · 3600 = 4,32·10⁴ s; r³ = G·M·T²/(4π²) = 3,982·10¹⁴ · 1,866·10⁹ / 39,48 = 1,882·10²² m³, dus r = 2,66·10⁷ m; v = 2π·r/T = 2π · 2,66·10⁷ / 4,32·10⁴ = 3,9·10³ m/s (controle: √(G·M/r) = 3,87·10³ m/s). Fouten: 2π vergeten (6,2·10²), T van 24 h gebruiken (3,1·10³) en T niet omrekenen (5,9·10⁴). Syllabus C3.2.

EXAMENSTOF · C3 · GRAVITATIE

Vraagtype 4: Eg en ontsnappen

• G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kg² (informatieboek).

• Eg = −G·m·M/r. ΔEg = Eg,eind − Eg,begin.

• Ontsnappen: ½·m·v² − G·m·M/R = 0, dus ve = √(2·G·M/R).

Syllabus C3.2: gravitatie-energie en ontsnappingssnelheid.

1,0·10³ kg gaat van r = 1,0·10⁷ m naar 4,0·10⁷ m. Bepaal ΔEg met het diagram.

A

5,0·10¹⁰ J

B

3,0·10¹⁰ J

C

−3,0·10¹⁰ J

D

1,0·10¹⁰ J

Uit het diagram: Eg = −4,0·10¹⁰ J bij 1,0·10⁷ m en −1,0·10¹⁰ J bij 4,0·10⁷ m. ΔEg = −1,0·10¹⁰ − (−4,0·10¹⁰) = 3,0·10¹⁰ J (controle met de formule: 3,982·10¹⁷ · (1/1,0·10⁷ − 1/4,0·10⁷) = 2,99·10¹⁰ J). Fouten: de waarden optellen (5,0·10¹⁰), het teken (−3,0·10¹⁰) en alleen de eindwaarde (1,0·10¹⁰). Syllabus C3.2 en A12. Image credit: Eigen figuur

Planeet met M = 3,3·10²³ kg en R = 2,44·10⁶ m. Bereken de ontsnappingssnelheid.

A

4,2·10³ m/s

B

3,0·10³ m/s

C

1,8·10⁷ m/s

D

2,7 m/s

ve = √(2·G·M/R) = √(2 · 6,67·10⁻¹¹ · 3,3·10²³ / 2,44·10⁶) = √(1,804·10⁷) = 4,2·10³ m/s (controle: (4,25·10³)² · 2,44·10⁶ / (2 · 3,3·10²³) = 6,67·10⁻¹¹). Fouten: factor 2 vergeten (3,0·10³), wortel vergeten (1,8·10⁷) en R² in plaats van R (2,7). Syllabus C3.2.

Welk vraagtype vind jij het lastigst?

1

Fmpz en baansnelheid

2

g en evenredigheden

3

Banen om de aarde

4

Eg en ontsnappen

Bespreek het meest gekozen type nog een keer met een tekening van de krachten en een rekenvoorbeeld.

EXAMENSTOF · C3 · GRAVITATIE

Tips voor op het examen

• Rekenen: zet km en uren eerst om naar m en s, anders klopt de eenheid van je antwoord niet.

• r is de afstand tot het middelpunt: straal plus hoogte, bij een diameter eerst delen door 2.

• Redeneren: in Fmpz staat v in het kwadraat, in Fg en g staat r in het kwadraat, in Eg staat r niet in het kwadraat.