Les 16: Goniometrie - Toepassen - 3M

Start geen nieuwe vergadering

Welkom wiskunde!

Leerdoelenformulier voor je pakken.

Wat gaan we doen?
● Lesdoel bespreken

● Terugblik

● Oefenen met toepassen
van goniometrie.

bij

We gaan zo starten.

Leg je
wiskunde-
spullen op tafel.

Telefoon in de telefoontas

1 / 35

Slide 1: Tekstslide

WiskundeMiddelbare schoolvmbo g, t, mavoLeerjaar 3

In deze les zitten 35 slides, met interactieve quiz en tekstslides.

Lesduur is: 60 min

Onderdelen in deze les

Start geen nieuwe vergadering

Welkom wiskunde!

Leerdoelenformulier voor je pakken.

Wat gaan we doen?
● Lesdoel bespreken

● Terugblik

● Oefenen met toepassen
van goniometrie.

bij

We gaan zo starten.

Leg je
wiskunde-
spullen op tafel.

Telefoon in de telefoontas

Slide 1 - Tekstslide

Deze slide heeft geen instructies

Lesdoel

Goniometrie:

● Voorkennis voor Goniometrie

● Hoeken

● Drieletternotatie

● Doorsneden

● Stelling van Pythagoras

● Helling(spercentage)

● Hoeken met de tangens

● Hoeken met sinus en cosinus

● Zijden met tangens, sinus en
cosinus

● Tangens in de ruimte

● Goniometrie toepassen

H3 (Boek 1): §3.5, §3.6

H4 (Boek 1): voorkennis

H2 Meetkunde (Boek 1):

voorkennis, §2.3, §2.5

H5 Goniometrie (Boek 1):
Hele hoofdstuk, behalve §5.2D

H10 Goniometrie (Boek 2):
Hele hoofdstuk

Slide 2 - Tekstslide

Deze slide heeft geen instructies

Instellingen rekenmachine

Is het bij jou goed?

Slide 3 - Tekstslide

Deze slide heeft geen instructies

Voorkennis: Afrondregels

Vk4

blz. 170-171 Boek 1

Slide 4 - Tekstslide

Het laatste plaatje staat niet in het boek.

Je kent de hoekensom van een driehoek en een vierhoek.

Hoekensom driehoek = alle hoeken zijn samen 180o
Hoekensom vierhoek = alle hoeken zijn samen 3600

Slide 5 - Tekstslide

Deze slide heeft geen instructies

Je kunt de derde hoek van een driehoek uitrekenen als je er 2 weet m.b.v. de hoekensom.

Bereken LT en LR.

LT = LS = 68o (gelijkbenige ∆)
LR = 180 - LS - LT (hoekensom ∆)
= 180 - 68 - 68
= 44
Dus LT = 68o en LR = 44o

Slide 6 - Tekstslide

Deze slide heeft geen instructies

Gelijkvormige driehoeken

∠ C e n ∠ E z i j n F - h o e k e n, d u s e v e n g r o o t

∠ T e n ∠ Q z i j n Z - h o e k e n, d u s e v e n g r o o t

∠ P 1 e n ∠ P 2 z i j n o v e r s t a a n d e h o e k e n, d u s e v e n g r o o t

Slide 7 - Tekstslide

Deze slide heeft geen instructies

Slide 8 - Tekstslide

Deze slide heeft geen instructies

Verkorte stelling van Pyhtagoras

Ingevuld is dit:
Dus PR = 13

s z = \sqrt ​ r h z^{​ 2 ​ ​} + r h z^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

P R = \sqrt ​ P Q^{​ 2 ​ ​} + Q R^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

= \sqrt ​ 12^{​ 2 ​ ​} + 5^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​ = \sqrt ​ 144 + 25 ​ ​ ​ = \sqrt ​ 169 ​ ​ ​ = 13

Slide 9 - Tekstslide

Deze slide heeft geen instructies

Verkorte stelling van Pyhtagoras

Ingevuld is dit:
Dus PQ

r h z = \sqrt ​ s z^{​ 2 ​ ​} - r h z^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

P Q = \sqrt ​ P R^{​ 2 ​ ​} - Q R^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

\approx 6, 3

= \sqrt ​ 7^{​ 2 ​ ​} - 3^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​ = \sqrt ​ 49 - 9 ​ ​ ​ = \sqrt ​ 40 ​ ​ ​ = 6, 324 . . . \approx 6, 3

Slide 10 - Tekstslide

Deze slide heeft geen instructies

Samenvatting
Verkorte Stelling van Pythagoras

Schuine zijde is onbekend, moet je uitrekenen:

Een rechthoekszijde is onbekend, moet je uitrekenen:

r h z = \sqrt ​ s z^{​ 2 ​ ​} - r h z^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

s z = \sqrt ​ r h z^{​ 2 ​ ​} + r h z^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

Slide 11 - Tekstslide

Deze slide heeft geen instructies

Diagonaalvlakken

Slide 12 - Tekstslide

Besprek wat een diagonaalvlak is.

Doorsnede ware grootte

Teken de doorsnede PCGQ op ware grootte.

G Q = \sqrt ​ F Q^{​ 2 ​ ​} + F G^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

= \sqrt ​ 2, 5^{​ 2 ​ ​} + 4^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

= \sqrt ​ 6, 25 + 16 ​ ​ ​

= \sqrt ​ 22, 25 ​ ​ ​ = 4, 716 . . .

G Q \approx 4, 7 c m

Slide 13 - Tekstslide

Dit is de uitleg uit het boek blz 89 Boek 1 H2, aangepast naar de verkorte Pythagoras

Op 1 decimaal afronden, omdat je niet nauwkeuriger kunt tekenen.

Verlengde Stelling van Pythagoras

lengte²= rhz²= AB² = 6²= 36
breedte² = rhz² = BC² = 3² = 9
hoogte²= rhz² = CG² = 5² = 25 +
lich.dia²= sz² = AG² = ?. = 70
AG = = 8,366...
Dus AG is ca. 8,4

\sqrt ​ 70 ​ ​ ​

_________________________

Slide 14 - Tekstslide

Deze slide heeft geen instructies

Verlengde stelling

Deze toepassen:

Dus AG is ca. 8,4

A G = \sqrt ​ A B^{​ 2 ​ ​} + B C^{​ 2 ​ ​} + C G^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

= \sqrt ​ 6^{​ 2 ​ ​} + 3^{​ 2 ​ ​} + 5^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

s z = \sqrt ​ r h z^{​ 2 ​ ​} + r h z^{​ 2 ​ ​} + r h z^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

= \sqrt ​ 36 + 9 + 25 ​ ​ ​

= \sqrt ​ 36 + 9 + 25 ​ ​ ​ = \sqrt ​ 70 ​ ​ ​ = 8, 366 . . .

Slide 15 - Tekstslide

Deze slide heeft geen instructies

Samenvatting:

Verlengde stelling van Pythagoras (verkort)

(hebben jullie eigenlijk niet nodig, maar om jullie wat te verreiken... )
Wanneer je een korte zijde uit moet rekenen, gebruik je de volgende formule:

r h z = \sqrt ​ s z^{​ 2 ​ ​} - r h z^{​ 2 ​ ​} - r h z^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

s z = \sqrt ​ r h z^{​ 2 ​ ​} + r h z^{​ 2 ​ ​} + r h z^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

Slide 16 - Tekstslide

De onderste is dus niet nodig

Richtingscoefficient

Als de RC niet direct duidelijk is, gebruiken we

In dit geval

Dus RC is ongeveer 0,7

De RC is dus de verhouding tussen -> toename verticaal en horizontaal.

R C = \frac{​ T o e n a m e v e r t i c a a l ​ ​}{​ T o e n a m e h o r i z o n t a a l ​}

R C = \frac{​ T o e n a m e v e r t i c a a l ​ ​}{​ T o e n a m e h o r i z o n t a a l ​} = \frac{​ 2 ​ ​}{​ 3 ​} = 0, 666 . . .

Slide 17 - Tekstslide

Deze slide heeft geen instructies

Van richtingscoëfficiënt naar hellingspercentage

Met de RC bereken je hoe steil een grafiek loopt, ofwel

Met de RC bereken je hoe steil een helling is.

De hellingshoek is de hoek die de helling met de horizontale lijn maakt.
Deze kan gegeven worden in graden en in procenten.

doen.

De zijden zijn bekend, dus de horizontale afstand en het hoogteverschil =>

Hellingspercentage

De hellingshoek in graden is bekend.

H P = \frac{​ H o o g t e v e r s c h i l ​ ​}{​ H o r i z o n t a l e a f s t a n d ​} X 100

H P = tan h e l l i n g s h o e k X 100

Slide 18 - Tekstslide

Deze slide heeft geen instructies

Hellingspercentage bij bekende zijden
=> Gebruik de RC

Het hellingspercentage van de hellingshoek
berekenen we met:

Hellingspercentage = richtingscoëfficiënt x 100

Dus het hellingspercentage is ca. 67%

2 cm

3 cm

\frac{​ h o o g t e v e r s c h i l ​ ​}{​ H o r i z o n t a l e a f s t a n d ​}

R C = \frac{​ h o o g t e v e r s c h i l ​ ​}{​ H o r i z o n t a l e a f s t a n d ​}

= \frac{​ 2 ​ ​}{​ 3 ​} X 100 = 66, 666 . . .

(Afronden op helen is afspraak bij HP)

Slide 19 - Tekstslide

mondeling formule invullen: 2/3 ongeveer 0,7
Eerder in deze les ook gezien.

Hellingspercentage bij bekende graden

=> Gebruik de tangens

Welk hellingspercentage hoort er bij een

hellingshoek van 13o?

Dus het hellingspercentage is circa 23o

= tan \frac{​ ​ ​}{​ ​} 1 3^{​ 0 ​ ​} X 100

H e l l i n g s p e r c e n t a g e = tan \frac{​ ​ ​}{​ ​} h e l l i n g s h o e k X 100

= 23, 086 . . .

Slide 20 - Tekstslide

Deze slide heeft geen instructies

Van richtingscoëfficiënt naar hellingspercentage

Met de RC bereken je hoe steil een grafiek loopt, ofwel

Met de RC bereken je hoe steil een helling is.

De hellingshoek is de hoek die de helling met de horizontale lijn maakt.
Deze kan gegeven worden in graden en in procenten.

doen.

Voor 't meten van de hellingshoek in graden gebruik je de geodriehoek of koershoekmeter.

Het berekenen van de hellingshoek leren jullie na de meivakantie, wanneer we met goniometrie aan de slag gaan.

Slide 21 - Tekstslide

Deze slide heeft geen instructies

Rhz altijd vast aan de rechte hoek.

sz zit nooit vast aan de rechte hoek

Bekeken vanuit de hoek met het vraagteken, de hoek die je wilt uitrekenen.

Overstaande

Aanliggende

Slide 22 - Tekstslide

Deze slide heeft geen instructies

Rhz altijd vast aan de rechte hoek.

sz zit nooit vast aan de rechte hoek

Bekeken vanuit de hoek met het vraagteken, de hoek die je wilt uitrekenen.

Aanliggende

Overstaande

Slide 23 - Tekstslide

Niet de hellingshoek, maar deze hoek kunnen we ook berekenen.

Goniometrie

Slide 24 - Tekstslide

Deze slide heeft geen instructies

Zijde of hoek met gonio berekenen

Maak een schets van de situatie, wanneer dit nodig is.
SOS, CAS of TOA - wat is bekend van de driehoek en wat moet je weten?
Vul de namen van de zijden en de hoek in.
Vul de lengte van de zijde(n) en/of de grootte van de hoek in die je weet.
- Is de hoek gegeven? Gebruik de 6-3-2-driehoek om de gevraagde zijde
uit te rekenen.
- Is de hoek gevraagd? Gebruik de inverse om de gevraagde hoek uit
te rekenen.
Rond je antwoord pas af in de Dus-zin.

Slide 25 - Tekstslide

Deze slide heeft geen instructies

tan ∠ B = \frac{​ A C ​ ​}{​ A B ​}

tan ∠ B = \frac{​ 3 ​ ​}{​ 5 ​}

∠ B = tan^{​ - 1 ​ ​} (\frac{​ 3 ​ ​}{​ 5 ​}) = 30, 963 . . .

B e r e k e n ∠ B

D u s ∠ B \approx 3 1^{​ 0 ​ ​}

T = \frac{​ O ​ ​}{​ A ​}

Dit zijn de stappen die je MOET opschrijven.

1. Sin, cos of tan

2. Letters invullen

3. Invullen wat je weet

4. Uitrekenen en ONafgerond antwoord

5. Afgerond antwoord

Slide 26 - Tekstslide

Deze slide heeft geen instructies

Slide 27 - Tekstslide

Deze slide heeft geen instructies

Slide 28 - Tekstslide

Deze slide heeft geen instructies

Een stapje moeilijker

Een hoek in het diagonaalvlak berekenen

Slide 29 - Tekstslide

Het zou ook kunnen dat de leerlingen de lichaamsdiagonaal HB uitrekenen en dan de sinus gaan gebruiken. Maar dit komt vast niet vaak voor.

s z = \sqrt ​ r h z^{​ 2 ​ ​} + r h z^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

A H = \sqrt ​ A D^{​ 2 ​ ​} + D H^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

A H = \sqrt ​ 4^{​ 2 ​ ​} + 5^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​ = 6, 403 . . .

Niet tussentijds afronden

T = \frac{​ O ​ ​}{​ A ​}

i n Δ A B H

i n Δ A D H

tan ∠ A H B = \frac{​ A B ​ ​}{​ A H ​}

tan ∠ A H B = \frac{​ 6 ​ ​}{​ 6 , 4 0 3 . . . ​}

∠ A H B = tan^{​ - 1 ​ ​} (\frac{​ 6 ​ ​}{​ 6 , 4 0 3 . . . ​})

∠ A H B = 43, 138 . . .

D u s ∠ A H B \approx 4 3^{​ o ​ ​}

Slide 30 - Tekstslide

Deze slide heeft geen instructies

Officiële formules slide 1 van 2

Verkorte stelling van Pythagoras: en
Verlengde stelling van Pythagoras:

Richtingscoefficient:

Hellingspercentage
bekende zijden:

Hellingspercentage

bekende hoek:

l i c h a a m s d i a g o n a a l = s z = \sqrt ​ r h z^{​ 2 ​ ​} + r h z^{​ 2 ​ ​} + r h z^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

H e l l i n g s p e r c e n t a g e = \frac{​ H o o g t e v e r s c h i l ​ ​}{​ H o r i z o n t a l e a f s t a n d ​} X 100

r h z = \sqrt ​ s z^{​ 2 ​ ​} - r h z^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

s z = \sqrt ​ r h z^{​ 2 ​ ​} + r h z^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

R C = \frac{​ t o e n a m e v e r t i c a a l ​ ​}{​ t o e n a m e h o r i z o n t a a l ​} = \frac{​ H o o g t e v e r s c h i l ​ ​}{​ H o r i z o n t a l e a f s t a n d ​}

H e l l i n g s p e r c e n t a g e = tan h e l l i n g s h o e k X 100

Slide 31 - Tekstslide

Dus dit zijn de formules die we tot nu toe hebben verzameld.

Officiële formules slide 2 van 2

Hoek berekenen in rechthoekige driehoek

twee rechthoekszijden bekend:
overstaande rechthoekszijde en
schuine zijde bekend:
aanliggende rechthoekszijde en
schuine zijde bekend:

tan h o e k = \frac{​ O v e r s t a a n d e r e c h t h o e k s z i j d e ​ ​}{​ A a n l i g g e n d e r e c h t h o e k s z i j d e ​}

sin h o e k = \frac{​ O v e r s t a a n d e r e c h t h o e k s z i j d e ​ ​}{​ s c h u i n e z i j d e ​}

cos h o e k = \frac{​ A a n l i g g e n d e r e c h t h o e k s z i j d e ​ ​}{​ s c h u i n e z i j d e ​}

TOA

SOS

CAS

Slide 32 - Tekstslide

Deze slide heeft geen instructies

Huiswerk:

blz. 111-112 -> D-toets H2: opg. 6, 8 en 12

blz. 214-216 -> H10: opg. 53, 54 en 60

Nakijken en verbeteren:
Alles wat je gemaakt hebt.

Huiswerk

timer

1:00

Slide 33 - Tekstslide

De verlengde stelling mag altijd met de verkorte manier worden gebruikt.

Oefenen

De komende twee lessen zijn bedoeld om jullie zo goed mogelijk voor te bereiden op het SE 340.

Wat hebben jullie nog nodig?

voorbeelden:

Bepaald onderwerp oefenen samenwerken
Examenopgaven oefenen zelfstandig oefenen

Slide 34 - Tekstslide

Deze slide heeft geen instructies

Wat moeten we de volgende lessen doen bij wiskunde voor het SE340?

Slide 35 - Woordweb

Deze slide heeft geen instructies

Les 12: H5 en H10: Samenvatten en combineren Gonio, Pythagoras, hellingspercentage - 3M

Juni 2023 - Les met 49 slides

WiskundeMiddelbare schoolvmbo g, t, mavoLeerjaar 3

tangens

April 2018 - Les met 31 slides

WiskundeMiddelbare schoolvmbo g, tLeerjaar 3,4

Samenvatting Goniometrie

Augustus 2022 - Les met 11 slides

WiskundeMiddelbare schoolhavoLeerjaar 3

Les 3: Diagonaalvlakken, doorsneden, verlengde stelling van Pythagoras en hellingspercentage - 3M

April 2020 - Les met 47 slides

WiskundeMiddelbare schoolvmbo g, t, mavoLeerjaar 3

Les 16: Goniometrie - Toepassen - 3M

Onderdelen in deze les

Slide 1 - Tekstslide

Slide 2 - Tekstslide

Slide 3 - Tekstslide

Slide 4 - Tekstslide

Slide 5 - Tekstslide

Slide 6 - Tekstslide

Slide 7 - Tekstslide

Slide 8 - Tekstslide

Slide 9 - Tekstslide

Slide 10 - Tekstslide

Slide 11 - Tekstslide

Slide 12 - Tekstslide

Slide 13 - Tekstslide

Slide 14 - Tekstslide

Slide 15 - Tekstslide

Slide 16 - Tekstslide

Slide 17 - Tekstslide

Slide 18 - Tekstslide

Slide 19 - Tekstslide

Slide 20 - Tekstslide

Slide 21 - Tekstslide

Slide 22 - Tekstslide

Slide 23 - Tekstslide

Slide 24 - Tekstslide

Slide 25 - Tekstslide

Slide 26 - Tekstslide

Slide 27 - Tekstslide

Slide 28 - Tekstslide

Slide 29 - Tekstslide

Slide 30 - Tekstslide

Slide 31 - Tekstslide

Slide 32 - Tekstslide

Slide 33 - Tekstslide

Slide 34 - Tekstslide

Slide 35 - Woordweb

Meer lessen zoals deze

Les 19: Goniometrie - Toepassen - 3M

Les 8: Goniometrie - Hellingspercentage bij bekende hoek - 3M