7.4 Staande golven

• Natuurkunde
• Middelbare school
• havo, vwo
• Leerjaar 5,6

Trillingen en Golven
H7

§4 Staande golven

Studietips

Voor een lange dag studeren:

Gebruik de pomodoro methode!

Lopende golven

Longitudinale golf

Transversale golf

                                                                 faseverschil 

v=​Δt​​Δx​​=​T​​λ​​=f⋅λ

Δϕ=​λ​​Δx​​

Staande golf

Een staande golf ontstaat wanneer twee golven met dezelfde frequentie, amplitude en golflengte in tegengestelde richtingen door een medium bewegen. Door interferentie ontstaat een golfpatroon dat lijkt stil te staan:

Buiken en knopen op dezelfde plek

Staande golf

Een staande golf ontstaat wanneer twee golven met dezelfde frequentie, amplitude en golflengte in tegengestelde richtingen door een medium bewegen. Door interferentie ontstaat een golfpatroon dat lijkt stil te staan:

Buiken en knopen op dezelfde plek

phet.colorado.edu

Staande golven

Bijna iedereen heeft wel eens touwtje gesprongen. Wanneer je dat zelf uitvoert, beweegt het touw om je heen van boven naar beneden en het herhaalt zich continu tot je zelf stopt.

Een andere vorm is wanneer twee personen het (veel langere) touw vasthouden, en een andere persoon in het midden van het bewegende touw springt. Dit is ook uit te breiden naar twee touwen die in hetzelfde ritme op en neer bewegen, zie afbeelding hiernaast. 

Wanneer je als toeschouwer van de zijkant hier tegenaan kijkt, zie je het touw enkel op en neer bewegen. We kunnen dit beschouwen dit heen en weer bewegen beschouwen als een staande golf, een golf die zich niet verplaatst zoals een lopende golf dat wel doet.

De personen die het touw vasthouden, houden dit op dezelfde hoogte vast en bewegen niet. Dit noemen we de knopen van de staande golf. Daar waar de golf het hoogst is, noemen we het de buik van de golf. 

Vaste uiteinden

Grondtoon (n = 1) 

Buik in het midden en twee knopen aan de zijkant

Bevat een halve golflengte (1 buik)

Boventonen (vanaf n=2)

de eerste boventoon : n = 2 -> hele 

de tweede boventoon: n = 3 -> 

Dit patroon samenvatten met:

waarin:

L = lengte trillend voorwerp (m)

n = nummer toon (-)

λ = golflengte (m)

L=n​2​​1​​λ

1​2​​1​​λ

λ

We zien deze golven bijvoorbeeld als we een gitaarsnaar aanslaan. Hiernaast zien we de drie simpelste staande golven die in een gitaarsnaar kunnen ontstaan. De bovenste staande golf wordt de grondtoon (n = 1) genoemd. Zoals je kunt zien heeft deze golf een buik in het midden en twee knopen aan de zijkant. De twee knopen aan de zijkant ontstaan natuurlijk omdat de snaar aan de uiteinden vastzit, en dus vaste uiteinden heeft.

De andere tonen die zijn afgebeeld noemen we de boventonen. Voor de eerste boventoon schrijven we n = 2. Voor de tweede boventoon geldt n = 3, etc. De grondtoon is meestal dominant en als niet anders vermeld is in de vraag, dan mag je aannemen dat n = 1. Zoals je kunt zien bevat de snaar in de grondtoon een halve golflengte. 

Vaste uiteinden

Als we de frequentie van de grondtoon f₁ weten, dan kunnen we de daaropvolgende frequenties als volgt vinden:

f_n = frequentie van (boven)toon (Hz)

n  = nummer toon (-)

f₁ = frequentie van grondtoon (Hz)

L = lengte snaar

v = voortplaningssnelheid golf (m/s)

De eerste boventoon in een snaar: 

een hele golf in de snaar

Afstand van knoop tot buik = kwart golflengte

f​n​​=n⋅f​1​​=n⋅​2L​​v​​

f​n​​=n⋅f​1​​=n⋅​2L​​v​​

Ik heb een gitaarsnaar met 2 vaste uiteindes.
De golflengte λ = 1,2 m.

Hoelang moet de snaar zijn zodat er een staande golf ontstaat waarbij de snaar in zijn GRONDTOON gaat resoneren

1. L = 2,4 m
2. L = 1,2 m
3. L = 0,6 m
4. L = 1,2 cm

Ik heb een gitaarsnaar met 2 vaste uiteindes.
De golflengte λ = 1,2 m.

Hoelang moet de snaar zijn zodat er een staande golf ontstaat waarbij de snaar in zijn 1e BOVENTOON gaat resoneren

1. L = 2,4 m
2. L = 1,2 m
3. L = 0,6 m
4. L = 1,2 cm

Welke ....toon is dit?

1. grondtoon
2. 2e boventoon
3. 1e boventoon
4. 1e ondertoon

Open uiteinden

Staande golf: links en rechts open uiteinden

Links op en neer, rechts vrij

Start en eindigt met een buik 

Ook hier: grondtoon = halve golflengte, 

eerste boventoon = hele golflengte, etc. 

Dus ook hier geldt:

Ook hier geldt:

f_n = frequentie van (boven)toon (Hz)

n = nummer toon (-)

f₁ = frequentie van grondtoon (Hz)

L = lengte luchtkolom (m)

v = voortplaningssnelheid golf (m/s)

L=n​2​​1​​λ

f​n​​=n⋅f​1​​=n⋅​2L​​v​​

Eén open & één dicht uiteinde

Links op en neer, rechts vast:

Links altijd een buik, rechts altijd een knoop

Grondtoon: één buik en één knoop -> een kwart golf ! 

1e boventoon: twee knopen en twee buiken

1e boventoon: 3/4 golf, hierbij geldt:

en:

f_n = frequentie van (boven)toon (Hz)

n = nummer toon (-)

f₁ = frequentie van grondtoon (Hz)

L = lengte luchtkolom (m)

v = voortplaningssnelheid golf (m/s)

L=(2n−1)​4​​1​​λ

f​n​​=(2n−1)⋅f​1​​=(2n−1)⋅​4L​​v​​

Opgaven

Opgave 1

Leg uit hoe groot de afstand is tussen een knoop en een buik, uitgedrukt in de golflengte.

Opgave 2

Teken het patroon van buiken en knopen bij een gitaarsnaar. Doe dit voor de grondtoon en de eerste twee boventonen. Gebruik de letter K om een knoop aan te duiden en de letter B om een buik aan te duiden.

Opgave 3

Teken het patroon van buiken en knopen bij een panfluit met twee open uiteinden. Doe dit voor de grondtoon en de eerste twee boventonen. Gebruik de letter K om een knoop aan te duiden en de letter B om een buik aan te duiden.

Opgave 4

Doe nu hetzelfde voor een panfluit met één open uiteinde en één gesloten uiteinde.

Opgave 5

Het geluid van een stemvork wordt vaak versterkt door deze op een klankkast te zetten die aan de ene kant gesloten is en aan de andere kant open. Een bepaalde klankkast heeft een lengte van 17,8 cm en de lucht in de klankkast gaat in zijn grondtoon trillen. De temperatuur is 20 ºC.

a. Bereken de frequentie behorende bij deze grondtoon.

b. De buik die ontstaat aan het open uiteinde van de klankkast bevindt zich eigenlijk iets buiten de opening. Heeft de stemvork in dat geval een grotere of een kleinere frequentie dan berekend bij vraag a. Licht je antwoord toe.