Hoofdstuk 3

• Economie
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 3

studiewijzer

Praktische Opdracht afronden

Deadline morgen 17 mei 14:00h.

Zie alle stappen in de instructie op Classroom (!)

Later deze les tijd om verder te werken aan afronden.

H3 Sparen en lenen

Les 1

Lesdoelen week 20

• Je kunt uitleggen waarom sparen en lenen voorbeelden zijn van ruilen over de tijd 
• Je kunt het effect van inflatie uitleggen en berekenen.

Waarom zou je sparen?

Ruilen over de tijd: sparen 

• Geld is een ruilmiddel 
• Sparen is het niet uitgeven van een deel van je inkomsten. Je stelt je besteding uit
• Rente is een vergoeding voor het uitlenen van geld

3 redenen waarom je rente krijgt (hoort te krijgen) 

1. Vergoeding voor ongemak: je kunt je geld nog niet uitgeven
2. Vergoeding voor ter beschikking stellen aan derden: de bank leent je spaargeld uit tegen een hogere rente dan jij ontvangt (bijv. jij krijgt 1% rente, de bank leent uit voor 1,5%)
3. Compensatie voor inflatie

Soorten spaarrekeningen 

1. Direct opneembare spaarrekening
2. Depositorekening; je geld staat voor een vooraf afgesproken periode vast. Eerder opnemen kan vaak wel, maar dan betaal je een boete aan de bank.

Waarom zou je lenen?

Ruilen over de tijd: lenen

• Bij lenen kun je nu meer besteden, maar in de toekomst minder

Rente, inflatie en koopkracht 

Rente is een vergoeding voor het uitlenen van geld 

Als de rentevergoeding op je spaargeld lager is dan het inflatiepercentage daalt je koopkracht. 

Rekenvoorbeeld

Sarah krijgt 2% rente in 2023 over haar spaargeld.

In 2023 is de inflatie 1,5%. Oftewel, de prijzen van goederen en diensten zijn 1,5% duurder geworden.

Wat is de verandering van de koopkracht in 2023 voor Sarah?

Zelf aan de slag!   

Iedereen:

Lezen: paragraaf 3.1 en 3.2

Maken: 3.2, 3.3, 3.4, 3.7 t/m 3.10

Of:

In je groepje werken aan het afronden van het PO

 

rood = Iedereen is stil

  

oranje = Je de docent een vraag stellen

groen = Je mag met elkaar fluisterend 

overleggen

H3 Sparen en lenen

Les 2

Lesdoelen

• Je kan de enkelvoudige rente berekenen over een bedrag.
• Je weet het verschil tussen het “gemiddelde” en de “mediaan”.
  

Rente

Enkelvoudige rente  <--------------> Samengestelde rente 

( meestal ) bij lenen                                 ( meestal ) bij sparen         

rente over een vast bedrag                       rente op rente               

rente elk jaar ( periode ) afgerekend                                                             

Enkelvoudige rente

Geleend bedrag is €100. Rente percentage is 2,5%

jaar 1: € 100,- x 2,5% = € 2,50

jaar 2: € 100,- x 2,5% = € 2,50

jaar 3: € 100,- x 2,5% = € 2,50

Richard heeft € 4.000,- op zijn spaarrekening staan en de rente is 5%.
Hoeveel staat er op zijn spaarrekening na 1 jaar enkelvoudige rente?

1. € 4.200
2. € 4.000
3. € 4.800
4. € 4.005

Enkelvoudige rente 

• Jaarrente 3% 
• Wat is de rente per maand? 
• 1/12e deel  x 3% = 0,25% enkelvoudige rente per maand

Bo heeft € 2.000,- op haar spaarrekening staan en de rente is 6% per jaar.
Hoeveel enkelvoudige rente krijgt zij na 1 maand?

1. € 25
2. € 10
3. € 20
4. € 120

Ik wil berekenen wat de enkelvoudige rente per kwartaal is.

Hoeveel kwartalen zitten er in 1 jaar?

1. 2
2. 3
3. 4
4. 5

Bo heeft € 6.000,- op haar spaarrekening staan en de rente is 0,75% per kwartaal
Hoeveel enkelvoudige rente krijgt zij na 1 jaar?

1. € 25
2. € 45
3. € 120
4. € 180

Enkelvoudige rente 

• Jaarrente 3% 
• Wat is de rente per maand? 
• 1/12 x 3% = 0,25% 

• rente per jaar omrekenen naar andere periode (kwartaal/maand/week/dag)

• Rente per jaar/ T 

Enkelvoudige en samengestelde rente

• Enkelvoudige rente: je ontvangt alleen rente over het door jou gestorte (begin-) bedrag 
  
  
• Samengestelde rente: je ontvangt rente over het door jou gestorte (begin-) bedrag én over de ontvangen rente tot dat moment. We noemen dit ook wel rente op rente 

€ 1.590

€ 872

€ 1.810

€ 854

Hoeveel staat er aan het eind van de periode op elke rekening?

€ 800, 4,5jr, 2% per jaar

€ 1500, 2jr, 3% per jaar

€ 1000, 18jr, 4,5% per jaar

Gemiddelde

• Gemiddelde is een term uit de wiskunde die de som van twee of meer getallen beschrijft die dan door het aantal getallen wordt gedeeld
  
  
• Wat is het gemiddelde van deze reeks getallen?
  5, 15, 40 -> = 3 getallen. De som is: 60. Het gemiddelde is: 60 / 3 = 20

Mediaan

• Wat is de mediaan van deze reeks van getallen? 1, 2, 7, 10, 15
• Het middelste getal van deze reeks getallen dus 7

• Wat is de mediaan van deze reeks van getallen? 1, 2, 7, 9, 10, 15
• Bij een even aantal getallen het gemiddelde van de twee middelste getallen dus (7+9)/2 = 8

• Waarom gebruiken we soms mediaan in plaats van gemiddeld?
  Een gemiddelde geeft soms een vertekend beeld, wanneer er een uitschieter in de reeks getallen is. Bijvoorbeeld bij het gemiddelde inkomen: een aantal mensen verdienen heel veel geld, en anderen heel weinig. Het gemiddelde kan dan een slecht beeld geven over wat de doorsnee persoon verdient aan inkomen. De mediaan geeft dan een beter beeld.

Piet ontvangt enkelvoudige rente op zijn spaargeld.
Kwartaal 1: €40, kwartaal 2: €75,
kwartaal 3: €80, kwartaal 4: €65

Wat is de gemiddelde spaarrente?

1. €65
2. €80
3. €70
4. €40

Piet ontvangt enkelvoudige rente op zijn spaargeld.
Kwartaal 1: €40, kwartaal 2: €75,
kwartaal 3: €80, kwartaal 4: €65
Wat is de mediaan?

1. €65
2. €80
3. €70
4. €40

Zelf aan de slag!   

Iedereen:

Lezen: paragraaf 3.1 en 3.2

Maken: 3.2, 3.3, 3.4, 3.7 t/m 3.10

En verder werken aan:
Hoofdstuk 3:

opdrachten 11 t/m 16

Nakijken met boekje op Classroom

rood = Iedereen is stil

  

oranje = Je de docent een vraag stellen

groen = Je mag met elkaar fluisterend 

overleggen

H3 Sparen en lenen

Les 3

Lesdoel

• Je kan de samengestelde rente berekenen over een bedrag.

Rente

Enkelvoudige rente  <--------------> Samengestelde rente 

( meestal ) bij lenen                                 ( meestal ) bij sparen         

rente over een vast bedrag                       rente op rente               

rente elk jaar ( periode ) afgerekend                                                             

Richard heeft € 4.000,- op zijn spaarrekening staan en de rente is 5%.
Hoeveel staat er op zijn spaarrekening na 1 jaar enkelvoudige rente?

1. € 4.200
2. € 4.000
3. € 4.800
4. € 4.005

Samengestelde rente

"Rente over rente"

Geleend bedrag is €100. Rente percentage is 2,5%

jaar 1: € 100,- x 2,5% = € 2,5

jaar 2: €102,50 x 2,5% = € 2,56

jaar 3: €105,06 x 2,5%= € 2,63
etc.

Richard heeft € 4.000,- op zijn spaarrekening staan en de rente is 5%.
Hoeveel staat er op zijn spaarrekening na 3 jaar?

1. € 4.600
2. € 4.630,50
3. € 4.800
4. € 4.862

Samengestelde rente

4.000 x 1,05 = 4.200

4.200 x 1,05 = 4.410

4.410 x 1,05 = 4.630,50

Leuk he?

Richard heeft € 4.000,- op zijn spaarrekening staan en de rente is 5%.
Hoeveel staat er op zijn spaarrekening na 34 jaar?
Heb je zin om dit uit te rekenen?

1. Ja leuk!
2. Uhhh..... nee dank je.
3. Doe maar zelf...
4. Dat moet toch makkelijker kunnen?

Samengestelde rente

          Eindwaarde E = beginwaarde B x (1+p) 

 t

1+p is de groeifactor, p is de rente / 100

t = aantal perioden

is het rentepercentage uitgedrukt in dezelfde eenheid als de perioden? (jaar/ jaar of maand/ maand?)

Samengestelde rente (voorbeeld)

          Eindwaarde E = Beginwaarde B x (1+p) 

 t

1+p = 1 + 0,02 = 1,02

t = 10

is het rentepercentage uitgedrukt in dezelfde eenheid als de perioden? (jaar/ jaar of maand/ maand?)

dus € 1.200 x 1,02   = € 1.462,79

10

Samengestelde rente (formule)

E = B x (1 + p)

 t

E = eindwaarde

B = beginwaarde

p = rentepercentage ( p / 100)

t = aantal perioden / tijdvakken

"rente over rente"

939,39

904,50

867,61

886,74

Laat maar zien! Samengestelde rente.

€ 700, 8jr, 3%

€ 750, 2,5jr, 6%

€ 800, 3jr, 5,5%

Wat levert je meer op:
enkelvoudig of samengestelde rente?

1. Enkelvoudige rente
2. Samengestelde rente

Zelf aan de slag!   

Taak deze week

Maken: opdrachten 3.11 t/m 3.16

En verder werken aan:
Hoofdstuk 3:

opdrachten 17 t/m 19, 21 t/m 25.

rood = Iedereen is stil

  

oranje = Je de docent een vraag stellen

groen = Je mag met elkaar fluisterend 

overleggen

3.1 t/m 3.3

Lesdoelen week 23

• Je kunt rekenen met enkelvoudige rente 
• Kenmerk enkelvoudige rente 
• Omrekenen enkelvoudige rente naar een andere periode
• Je kunt rekenen met samengestelde rente; rente over rente 

Zelf aan de slag!   

Iedereen:

Lezen: paragraaf 3.2.2

Maken: 3.9 t/m 3.11

Klaar?

Ga verder met 3.12 t/m 3.14

 

rood = Iedereen is stil

  

oranje = Je de docent een vraag stellen

groen = Je mag met elkaar fluisterend 

overleggen

Lesdoelen Week 24 

• Je kunt onderscheid maken tussen absolute en relatieve verandering
• Je kunt het verschil uitleggen tussen een procentuele verandering en een procentpunt verandering
• Je kunt procentuele veranderingen berekenen
• Je kunt de aflossingen en rente van een lening met gelijkblijvende (lineaire) aflossing berekenen

Absolute vs. relatieve verandering

Procenten worden vaak gebruikt om relatieve veranderingen aan te geven

(3.21) In 2015 is het gemiddeld spaarbedrag per hoofd in China € 612, terwijl dat in Nederland € 4.835 bedraagt. In 2016 stijgt het gemiddelde spaarbedrag per hoofd in China met € 37,50 en in Nederland met € 80,80. 

Rekenen met procentuele verandering

Het aantal leerlingen op het HLZ is ten opzichte van vorig schooljaar met 2% gestegen. Er zijn nu 918 leerlingen. Hoeveel leerlingen waren er vorig jaar? 

Rekenen met procentuele verandering

Het aantal leerlingen op het HLZ is ten opzichte van vorig schooljaar met 2% gestegen. Er zijn nu 918 leerlingen. Hoeveel leerlingen waren er vorig jaar? 

We vergelijken met vorig jaar, je stelt het aantal leerlingen van vorig jaar daarom op 100%

Rekenen met procentuele verandering

Het aantal leerlingen op het HLZ is ten opzichte van vorig schooljaar met 2% gestegen. Er zijn nu 918 leerlingen. Hoeveel leerlingen waren er vorig jaar? 

We vergelijken met vorig jaar, je stelt het aantal leerlingen van vorig jaar daarom op 100%

leerlingen vorig jaar	100%	?
toename dit jaar	2%	?
leerlingen dit jaar	102%	918

Rekenen met procentuele verandering

Het aantal leerlingen op het HLZ is ten opzichte van vorig schooljaar met 2% gestegen. Er zijn nu 918 leerlingen. Hoeveel leerlingen waren er vorig jaar? 

We vergelijken met vorig jaar, je stelt het aantal leerlingen van vorig jaar daarom op 100%

918/ 102 x 100 = 900

leerlingen vorig jaar	100%	900
toename dit jaar	2%	18
leerlingen dit jaar	102%	918

Procent vs. procentpunt 

In 2020 heeft Apple goede zaken gedaan. Het aantal verkochte smartphones in Nederland bleef gelijk ten opzichte van 2019. Het marktaandeel van Apple op de markt voor smartphones is echter gestegen van 10% naar 11%. 

• Hoeveel procent meer smartphones heeft Apple verkocht? 
• (11-10)/ 10 x 100% = 10%
• Hoeveel procentpunt is het marktaandeel van Apple gestegen? 
• 11-10 = 1 procentpunt

Rekenvoorbeeld samengestelde rente

Je hebt € 1.000 op je spaarrekening staan. Je krijgt 1% rente per jaar.  Welk bedrag heb je op je rekening staan na 3 jaar als er sprake is van samengestelde rente?

• Na 1 jaar: € 1.000 x 1,01 = € 1.010
• Na 2 jaar: € 1.010 x 1,01 = € 1.020,10 
• Na 3 jaar: € 1.020,10 x 1,01 = € 1.030,30 

Sneller berekenen 

Je kunt de eindwaarde van een spaarbedrag bij samengestelde rente sneller berekenen met een formule 

(1 + i) is de groeifactor, waarbij i staat voor interest. 

i = de rente / 100 

bij 3% is i 3/100 = 0,03  

de groeifactor wordt dan 1 + 0,03 = 1,03 

De berekening in het voorbeeld wordt nu: eindkapitaal na 3 jaar = € 1.000 x 1,01^3 = € 1.030,30

Formule eindwaarde bij samengestelde rente

We schrijven de formule kortweg als 

Let op: wanneer er in een opgave gedurende de looptijd stortingen of onttrekkingen worden gedaan of wanneer de rente tussentijds wijzigt dan zul je de berekening moeten opknippen in de delen. 

Oefening

Ik zet vandaag € 1.000 op mijn spaarrekening tegen 4% samengestelde rente per jaar. 

Welk bedrag heb ik over 10 jaar opgebouwd? 

• 1.000 x 1,04^10 = € 1.480,24 

Kim heeft een jaar lang € 160,00 op een spaarrekening
staan. Aan het einde van het jaar ontvangt ze € 1,20 rente. Bereken het rentepercentage op de spaarrekening

Deel van het geheel 

dus € 1,20 x 100% =  0,75%

     

het  deel    x 100 % 

geheel

€ 160

Zelf aan de slag!   

Iedereen:

Maken: 3.5 , 3.6 , 3.7 , 3.8

Klaar?:

Nakijken: 

rood = Iedereen is stil

  

oranje = Je de docent een vraag stellen

groen = Je mag met elkaar fluisterend 

overleggen

Thomas heeft een jaar lang hetzelfde bedrag op een spaarrekening staan tegen een rente van 1,8%. Aan het
einde van het jaar ontvangt hij € 23,40 rente.
Bereken welk bedrag Thomas op zijn rekening had staan.

van deel naar geheel

procenten	1,8	1	100
euro's	€ 23,40	13	1 300

: 1,8

x 100

: 1,8

x 100

van deel naar geheel

procenten	1,8	1	100
euro's	€ 23,40	€ 13,00	€ 1.300

: 1,8

x 100

of gelijk: € 23,40/1,8 x 100 = 1.300

Zelf aan de slag!   

Iedereen:

Maken: 3.10 , 3.11 

Klaar?:

Nakijken: 

rood = Iedereen is stil

  

oranje = Je de docent een vraag stellen

groen = Je mag met elkaar fluisterend 

overleggen

Larissa heeft op 1 januari van het jaar € 287,00 op haar rekening staan. Op 31 december is dit € 236,00.
Bereken met hoeveel procent haar saldo is gedaald.

Procentuele veranderingen

nieuw - oud

      oud

x 100%    dus  

€ 236 - € 287

        € 287

x 100% = - 17,8%

nieuw - oud = de verandering

Controleer jezelf: is je antwoord logisch?

Zelf aan de slag!   

Iedereen:

Maken: 3.12, 3.13 , 3.14

Klaar?:

Nakijken: 

rood = Iedereen is stil

  

oranje = Je de docent een vraag stellen

groen = Je mag met elkaar fluisterend 

overleggen

Tess zet € 1.200 op een spaarrekening voor 10 jaar.
De rente bedraagt 2% en wordt jaarlijks bijgeschreven. Hoeveel bedraagt haar saldo na 10 jaar als de laatste rentebijschrijving heeft plaatsgevonden?

Samengestelde rente

beginwaarde x (1+i) 

n

Evi stort op 1 januari 2013 € 2.500 op haar spaarrekening.
Op 1 januari 2016 stort ze € 500 bij en op 1 januari 2018 neemt ze
€ 1.000 op. De rente bedraagt de gehele looptijd 4% en deze wordt
jaarlijks achteraf bijgeschreven. Bereken het saldo op 1 januari 2020.

hoe heb je het gedaan?

Evi stort op 1 januari 2013 € 2.500 op haar spaarrekening. Op 1 januari 2016 stort ze € 500 bij en op 1 januari 2018 neemt ze € 1.000 op. De rente bedraagt de gehele looptijd 4% en deze wordt jaarlijks achteraf bijgeschreven. Bereken het saldo op 1 januari 2020. 

rekenen met een tijdlijn

jaar	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019	2020
bedrag	2500	2500	2500	3000	3000	2000	2000	?
rente	4%	4%	4%	4%	4%	4%	4%

rekenen met een tijdlijn

jaar	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019	2020
bedrag	2500	2500	2500	3000	3000	2000	2000	?
rente	4%	4%	4%	4%	4%	4%	4%

--> 2.500 x  1,04^3    = 2.812,16

--> (2.812,16 + €500) x 1,04^2    = 3.582,43

--> (3.582,43 - €1000) x 1,04^2   = € 2.793,16 

Zelf aan de slag!   

Iedereen:

Lezen: 3.2.3 samengestelde interest

Maken: 3.17 , 3.19, 3,19 , 3.20

Klaar?:

Nakijken: 

rood = Iedereen is stil

  

oranje = Je de docent een vraag stellen

groen = Je mag met elkaar fluisterend 

overleggen

Zelf aan de slag!   

Iedereen:

Maken: 3.21 , 3.22, 3,23 , 3.24

Klaar?:

Nakijken: 

rood = Iedereen is stil

  

oranje = Je de docent een vraag stellen

groen = Je mag met elkaar fluisterend 

overleggen