H6 De afgeleide functie

Hoofdstuk 5

1. Ken de machtregels, bij hele, negatieve en gebroken machten.

2. Translaties van machtsfuncties.

3. Bij wortelfucties moet je denken aan het randpunt, domein en bereik en bij een vergelijking controleren of de oplossing voldoet.

1 / 35

Slide 1: Tekstslide

WiskundeMiddelbare schoolhavoLeerjaar 4

In deze les zitten 35 slides, met tekstslides en 3 videos.

Lesduur is: 45 min

Onderdelen in deze les

Hoofdstuk 5

1. Ken de machtregels, bij hele, negatieve en gebroken machten.

2. Translaties van machtsfuncties.

3. Bij wortelfucties moet je denken aan het randpunt, domein en bereik en bij een vergelijking controleren of de oplossing voldoet.

Slide 1 - Tekstslide

Rekenregels machten

Spelen met getallen

Slide 2 - Tekstslide

Reken regels machten

voorbeeld

Slide 3 - Tekstslide

Rekenregels machten

voorbeeld

Slide 4 - Tekstslide

Rekenregels machten: Extra voorbeelden

Slide 5 - Tekstslide

Theorie A

met negatieve exponenten

\frac{​ 1 ​ ​}{​ a ^{​ 5 ​ ​} ​} = a^{​ - 5 ​ ​}

\frac{​ 1 ​ ​}{​ a ^{​ \frac{​ 4 ​ ​}{​ 3 ​} ​ ​} ​} = a^{​ - \frac{​ 4 ​ ​}{​ 3 ​} ​ ​}

____1____

a . 3√a

___1____

a1 . a1/3

___1____

a1 . a1/3

\frac{​ a ^{​ p ​ ​} ​ ​}{​ a ^{​ q ​ ​} ​} = a^{​ p - q ​ ​}

\frac{​ 1 ​ ​}{​ a ^{​ n ​ ​} ​} = a^{​ - n ​ ​}

\frac{​ x ^{​ 4 ​ ​} ​ ​}{​ x ^{​ 3 ​ ​} ​} = x^{​ 4 - 3 ​ ​} = x^{​ 1 ​ ​}

Slide 6 - Tekstslide

Theorie B: Formules met herleiden

formules met machten herleiden g&r

a^{​ p ​ ​} \cdot a^{​ q ​ ​} = a^{​ p + q ​ ​}

(a^{​ p ​ ​})^{​ q ​ ​} = a^{​ p \cdot q ​ ​}

Slide 7 - Tekstslide

exponent splitsen:

vereenvoudigen:

breuk naar negatieve exp.

machten vermenigvuldigen

vereenvoudigen

a^{​ p ​ ​} \cdot a^{​ q ​ ​} = a^{​ p + q ​ ​}

(a^{​ p ​ ​})^{​ q ​ ​} = a^{​ p \cdot q ​ ​}

y = 3 (2 x^{​ 2 ​ ​})^{​ 5 ​ ​} \cdot \frac{​ 4 ​ ​}{​ x ^{​ 12 ​ ​} ​} \to

y = 3 (2^{​ 2 ​ ​} x^{​ 2 ​ ​})^{​ 5 ​ ​} \cdot 4 \cdot x^{​ - 12 ​ ​} \to

y = 3 \cdot 2^{​ 2 \cdot 5 ​ ​} \cdot x^{​ 2 \cdot 5 ​ ​} \cdot 4 \cdot x^{​ - 12 ​ ​} \to

y = 3 \cdot 32 \cdot x^{​ 10 ​ ​} \cdot 4 \cdot x^{​ - 12 ​ ​} \to

y = 384 \cdot x^{​ 10 - 12 ​ ​} = 384 \cdot x^{​ - 2 ​ ​}

Theorie B formules met machten herleiden g&r

y = 40 \cdot 3^{​ - 2 x + 1 ​ ​}

y = 40 \cdot 3^{​ - 2 x ​ ​} \cdot 3^{​ 1 ​ ​} \to

y = 120 \cdot (3^{​ - 2 ​ ​})^{​ x ​ ​} \to

y = 120 \cdot (\frac{​ 1 ​ ​}{​ 3 ^{​ 2 ​ ​} ​})^{​ x ​ ​} \to 120 \cdot (\frac{​ 1 ​ ​}{​ 9 ​})^{​ x ​ ​}

Slide 8 - Tekstslide

Basisrekenregels wortels

\sqrt ​ a ​ ​ ​ \cdot \sqrt ​ b ​ ​ ​ = \sqrt ​ a b ​ ​ ​

\sqrt ​ a ​ ​ ​ + \sqrt ​ a ​ ​ ​ = 2 \sqrt ​ a ​ ​ ​

\sqrt ​ a ​ ​ ​ + \sqrt ​ b ​ ​ ​ = \sqrt ​ a ​ ​ ​ + \sqrt ​ b ​ ​ ​

c \sqrt ​ a ​ ​ ​ \cdot d \sqrt ​ b ​ ​ ​ = c \cdot d \sqrt ​ a \cdot b ​ ​ ​

b \neq 0

\sqrt ​ 25 \cdot ​ ​ ​ \sqrt ​ 4 ​ ​ ​ = \sqrt ​ 100 ​ ​ ​ = 10

\sqrt ​ 8 ​ ​ ​ + \sqrt ​ 8 ​ ​ ​ = 2 \sqrt ​ 8 ​ ​ ​

\frac{​ \sqrt ​ a ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ b ​ ​ ​ ​} = \sqrt ​ \frac{​ a ​ ​}{​ b ​} ​ ​ ​

2 \sqrt ​ a ​ ​ ​ \cdot 3 \sqrt ​ b ​ ​ ​ = 6 \sqrt ​ a \cdot b ​ ​ ​

\frac{​ \sqrt ​ 1 2 a ^{​ 2 ​ ​} \cdot 3 b ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 6 a b ​ ​ ​ ​} = \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ a \cdot 3

Slide 9 - Tekstslide

Theorie C Formules Hogere machtswortels

De oplossingen van xⁿ = p met n = 2, 3, 4, ...
n oneven xⁿ = p geeft x = ⁿ√p
n even en p > 0 xⁿ= p geeft x = ⁿ√p v x = -ⁿ√p
n even en p < 0 xⁿ = p heeft geen oplossingen

Slide 10 - Tekstslide

3√125 = 5 want 5³of 5 ^-3 =125

²√-16 bestaat niet!

a^{​ - \frac{​ 4 ​ ​}{​ 3 ​} ​ ​}

___1____

a1 . a1/3

Theorie C Formules Hogere machtswortels

ⁿ√-p

n=even

bestaat

n= oneven

bestaat

a \geq 0

a ∠ 0

___1____

a4/3

Slide 11 - Tekstslide

Hoofdstuk 5

4. Bij exponentiële functies moet je de asymptoot kunnen bepalen en vergelijkingen kunnen oplossen. Dit doe je door of het grondtal gelijk te maken.

5. Translaties van exponentiële functies.

6. Vergelijking met Log oplossen door vergelijking anders op te schrijven.

7. Translaties van log functies.

Slide 12 - Tekstslide

H6 De afgeleide functie

H5 wat moet je weten en zijn er nog vragen

H6 Voorkennis: Theorie A Helling en afgeleide

6.1 raaklijnen en toppen

6.2 de afgeleide van machtsfuncties

6.3 de afgeleide van samengestelde functies

6.4 optimaliseren

Slide 13 - Tekstslide

Voorkennis Theorie A: Helling en afgeleide

Het differentie quotiënt
Snelheid en richtingscoëfficiënt
Hellingsgrafiek eb afgeleide functie
Regels voor de afgeleide

Slide 14 - Tekstslide

Differentiequotiënt

Slide 15 - Tekstslide

Doelen: je leert

Welke soorten van stijgen en dalen er zijn (= differentie).
Wat is een horizontale en verticale asymptoot
Bij een tijd-afstand grafiek de gemiddelde snelheid berekenen.
Wat differentie quotiënten zijn en hoe je die berekent bij een functievoorschrift/formule.

Slide 16 - Tekstslide

Differentie quotiënt

Slide 17 - Tekstslide

Slide 18 - Video

Asymptoot?

Horizontale asymptoot

de vergelijking volgt uit: y = ...

je vindt het door hele grote positieve of

negatieve getallen in de functie invullen.

de uitkomst is de waarde waar de functie uiteindelijk naar toe gaat = y-waarde van de asymptoot.

Verticale asymptoot

de vergelijking volgt uit: x = ...

je vindt het door op zoek naar de waarde

van x, waar de functie niet bestaat.

Dit is bij gebroken functies de waarde van x, waarbij de

noemer nul is.

Slide 19 - Tekstslide

horizontale en verticale asymptoot

de vergelijking volgt uit:

hele grote positieve/negatieve getallen invullen gaat richting y = 3.

de uitkomst is de waarde waar de functie uiteindelijk naar toe gaat = y-waarde van de asymptoot.

x = 1 dus bij de verticale asymptoot x = 1

f (x) = \frac{​ ( 3 x + 2 ) ​ ​}{​ x - 1 ​}

f (x) = \frac{​ ( 3 \cdot 1 + 2 ) ​ ​}{​ 1 - 1 ​} = g e e n^{​ - ​ ​} w a a r d e

Slide 20 - Tekstslide

horizontale en het bereik van de functie

hele grote positieve/negatieve getallen invullen gaat richting y = -3.

Het bereik van de functie, alle mogelijke

y-waarden, is alles groter dan –3 of

het bereik: y > –3

f (x) = (\frac{​ 1 ​ ​}{​ 3 ​})^{​ x ​ ​} - 3

Slide 21 - Tekstslide

verticale asymptoot van de functie

verticale asymptoot vinden. moet de volgende vergelijking worden opgelost:

2x + 10 = 0. x = -5.

dus verticale asymptoot x = x = –5

f (x) = - 3 + lo g (2 x + 10)

Slide 22 - Tekstslide

uitleg differentie quotiënt wa

differentie (verschil) + quotiënt (delen)

= gemiddelde verandering

Differentiequotiënt van y op interval [-2,0] is:

1. Δy : Δx : xb = 0 en yb = 3 y = 3 - 0

xa = -2 en ya = 0 x = 0--2 = 2

2. diff.quot. van y op [2,3]

3. gemidd. verandering van y op [2,3]

4. r.c. of helling van AB = 3: 2 = 1,5

Differentie quotiënt

Δx = -2 naar 0 = 2

Δy = 0 naar 3 = 3

y = - (\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} x) + 4

Slide 23 - Tekstslide

Differentie-quotiënt (DQ)

Stijgt de grafiek constant op [-1,2]?

Ja stijgt redelijk constant

Wat is de gemiddelde stijging [-1, 2]?

xb = 2 en yb = 30

xa = -1 en ya = -50

30--50 = 80

2 --1 = 3

DQ = richtingscoëfficiënt: 80: 3 = 26 2/3

Slide 24 - Tekstslide

Snelheid & r.c.

Slide 25 - Tekstslide

Slide 26 - Tekstslide

Slide 27 - Tekstslide

theorie A,B,C

gemiddelde verandering op [xA,xB]
gemiddelde snelheid op [xA,xB]
differentie quotiënt op [xA,xB]
richtingscoëfficiënt of helling van lijn AB

één formule:

\frac{​ Δ y ​ ​}{​ Δ x ​} = \frac{​ y ^{​ B ​ ​} - y ^{​ A ​ ​} ​ ​}{​ x ^{​ B ​ ​} - x ^{​ A ​ ​} ​}

Slide 28 - Tekstslide

Hellinggrafiek & afgeleide functie

Slide 29 - Tekstslide

Slide 30 - Video

Slide 31 - Video

f(x)= a geeft de afgeleide f'(x) = 0

f(x)= ax geeft de afgeleide f'(x) = x

f(x)= axn geeft de afgeleide

f'(x) = n . axn-1

f(x)= axn +bx + c f'(x) = n . axn-1

f(x)= 0,5x3 – 4x + 3 waarbij a= 0,5 en n =3

a= 0,5 x 3 = 1,5x2

-4x = = 4 f ' (x) = 1,5x2 – 4

c =+ 3 = --

formule raaklijn y = ax + b?

1. zoek twee punten f(x)= 0,5x3 – 4x + 3

(-3,1) en (-2,7)

2. bepaal de r.c: 6

3. bepaal b: vul (-3.1) in de y = 6x+ b

1 = (-3x6) + b b =19

4. y = 6x + 19

verschil y; 7 -1 = 6 en verschil x; -2--3=1

Slide 32 - Tekstslide

afgeleide f(x) = axn f'(x) = n . axn-1

De functie f(x)= 0,5x3 – 4x + 3.

Op de grafiek van f ligt het punt P met x = –2

Stel m.b.v. de afgeleide de formule op van de raaklijn k: y = ax + b in het punt P.

1. Bereken eerst de afgeleide.

f(x)= 0,5x3 – 4x + 3. f ' (x) = 1,5x2 – 4

2. Bereken nu a. = r.c. van punt P met x=-2.

f'(x) = 1,5x2 - 4 a = 1,5(–2)2 - 4 = 2

3. Bereken de y-coördinaat van punt P.

f (–2) = 0,5(–2)3 – 4 · (–2) + 3 = 7

4. Bereken b van de lijn k : y = ax + b

7 = 2 · (–2) + b 7 = –4 + b b = 11

y = 2x + 11

Slide 33 - Tekstslide

Definitie afgeleide:

f(x) = axn f'(x) = n . axn-1

Bewijs f'(2) = 4 als f(x)= x2

Δ y : Δ x

f‵(x)= x2 dus x2 = f‵(x)= (x+h)2

punt dat limiet wordt!

h = oneindig klein maar h = nooit 0

Stel m.b.v. de afgeleide de formule op van de raaklijn k: y = ax + b in het punt P.

1. Interval van twee coördinaten de grafiek

raken : (x ; f(x)) en (x+h ; (f(x+h)

f'(2) = 4

f (x) = \frac{​ ( f ( x + h ) - f ( x ) ) ​ ​}{​ h ​}

f (2) l i m \frac{​ ( 4 + 4 h + h ^{​ 2 - ​ ​} 4 ) ​ ​}{​ h ​} = h + 4

f (2) = l i m \frac{​ ( f ( 2 + h ) ^{​ 2 ​ ​} - f ( 2 ) ) ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ h ​}

Slide 34 - Tekstslide

Definitie afgeleide:

f(x) = axn f'(x) = n . axn-1

Bereken de afgeleide van f(x)= x2

Δ y : Δ x

f‵(x)= x2 dus x2 = f‵(x)= (x+h)2

punt dat limiet wordt!
h= oneindig klein maar h = nooit 0

Stel m.b.v. de afgeleide de formule op van de raaklijn k: y = ax + b in het punt P.

1. Interval van twee coördinaten de grafiek

raken : (x ; f(x)) en (x+h ; (f(x+h)

f'(x) = 2x als h =0

f (x) = \frac{​ ( x + h ) - x ​ ​}{​ h ​}

f (x) l i m \frac{​ x ^{​ 2 ​ ​} + 2 x h + h ^{​ 2 - ​ ​} x ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ h ​} = 2 x + h = 2 x

f (x) = l i m \frac{​ ( f ( 2 - h ) ^{​ 2 ​ ​} - f ( 2 ) ) ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ h ​}

Slide 35 - Tekstslide

H6 De afgeleide functie

Onderdelen in deze les

Slide 1 - Tekstslide

Slide 2 - Tekstslide

Slide 3 - Tekstslide

Slide 4 - Tekstslide

Slide 5 - Tekstslide

Slide 6 - Tekstslide

Slide 7 - Tekstslide

Slide 8 - Tekstslide

Slide 9 - Tekstslide

Slide 10 - Tekstslide

Slide 11 - Tekstslide

Slide 12 - Tekstslide

Slide 13 - Tekstslide

Slide 14 - Tekstslide

Slide 15 - Tekstslide

Slide 16 - Tekstslide

Slide 17 - Tekstslide

Slide 18 - Video

Slide 19 - Tekstslide

Slide 20 - Tekstslide

Slide 21 - Tekstslide

Slide 22 - Tekstslide

Slide 23 - Tekstslide

Slide 24 - Tekstslide

Slide 25 - Tekstslide

Slide 26 - Tekstslide

Slide 27 - Tekstslide

Slide 28 - Tekstslide

Slide 29 - Tekstslide

Slide 30 - Video

Slide 31 - Video

Slide 32 - Tekstslide

Slide 33 - Tekstslide

Slide 34 - Tekstslide

Slide 35 - Tekstslide

Meer lessen zoals deze

H6.1 Raaklijnen en toppen

Learning Technique: Complete the Pie

Letters Practice

Letters Practice

2.4 De afgeleide van f(x) = ax^n

Hoofdstuk 13: limieten en asymptoten

4V 2.1 en 2.2 de afgeleide functie

2.2 theorie A en B Gemiddelde verandering/differentiequotient