§1.5 Grafen (leerjaar 4)

• newEditor
• Wiskunde
• Middelbare school
• vmbo t

Introductie

Leerlingen leren wat een graaf is, bepalen de graad van knopen, zoeken routes en de kortste route in een graaf met reistijden of afstanden. Les bij Getal & Ruimte vmbo-kgt (mavo) leerjaar 4, hoofdstuk 1 Statistiek en kans, paragraaf 1.5. Met startvraag, theorie, opdrachten Kennis en Toepassing, een Verderkijker en de checklist leerdoelen.

1

Statistiek en kans

Paragraaf 1.5

Grafen

Een metrokaart, een vriendengroep, een routeplanner: ze zijn allemaal te tekenen met punten en lijnen. Hoe werkt dat?

Gemaakt bij Getal & Ruimte, leerjaar 4, vmbo-kgt (mavo)

Les bij Getal & Ruimte, leerjaar 4, hoofdstuk 1 Statistiek en kans, paragraaf 1.5 Grafen. Ongeveer 40 minuten, mavo. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 1

Paragraaf 1.5

1.5  Grafen

Leerdoelen

1.5.1

Je kunt knopen en lijnen in een graaf aanwijzen en de graad van een knoop bepalen.

1.5.2

Je kunt routes in een graaf opschrijven en hun lengte berekenen.

1.5.3

Je kunt de kortste route in een graaf met getallen bij de lijnen vinden.

De leerdoelen staan in het boek bovenaan de paragraaf. Aan het eind van de les komen ze terug in de checklist. Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 1

Paragraaf 1.5

Startvraag

Het metronet

Dit is een metronet. Stations zijn punten en verbindingen zijn lijnen. Hoeveel verbindingen vertrekken er uit station B?

A

2

B

3

C

4

D

5

Uit B vertrekken verbindingen naar A, C en D: drie. Wie 2 kiest, vergeet een van de lijnen (vaak die naar D). Wie 5 kiest, telt het aantal stations min één. Dit aantal heet straks de graad van de knoop. Image credit: Eigen figuur, LessonUp

Hoofdstuk 1

Paragraaf 1.5

Knopen en lijnen

Een graaf bestaat uit knopen (punten) en lijnen die knopen verbinden. Knopen zijn bijvoorbeeld mensen, stations of dorpen. De graad van een knoop is het aantal lijnen dat erin samenkomt. Mila heeft graad 3: ze is vriend van Eva, Tim en Noah.

Laat leerlingen de graad van elke knoop noemen: Eva 2, Tim 2, Mila 3, Noah 2, Lisa 1. Vraag: wie is het meest verbonden? Een graaf zegt niets over de afstanden in de tekening, alleen over wie met wie verbonden is. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 1

Paragraaf 1.5

Som van de graden

som van de graden = 2 · aantal lijnen

som graden = 2 · lijnen

Elke lijn heeft twee uiteinden en telt dus bij twee knopen mee. Vriendengraaf: 2 + 2 + 3 + 2 + 1 = 10 = 2 · 5.

Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 1

Paragraaf 1.5

Voorbeeldopdracht 1

In het metronet staan de reistijden in minuten bij de lijnen. Wat is de kortste reistijd van A naar F?

gegeven

Stel de routes op en tel de reistijden op.

uitwerking

A-B-D-F: 3 + 6 + 4 = 13

A-C-E-F: 4 + 7 + 2 = 13

A-B-D-E-F: 3 + 6 + 1 + 2 = 12

de andere routes duren 14 of langer

antwoord

12 minuten, via A-B-D-E-F

Let op: de route met de minste haltes (drie lijnen) is hier niet de snelste. De snelste route heeft vier lijnen, maar de lijn van D naar E duurt maar 1 minuut. De andere routes: A-B-C-E-F is 14, A-C-B-D-F is 16 en A-C-B-D-E-F is 15 minuten. Wie 13 antwoordt, neemt de route met de minste haltes. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 1

Paragraaf 1.5

Opdrachten Kennis

1

Wat is de graad van een knoop in een graaf?

A

Het aantal knopen in de graaf

B

De lengte van de kortste route

C

Het aantal routes door de knoop

D

Het aantal lijnen dat bij de knoop komt

De graad is het aantal lijnen dat in de knoop samenkomt. De andere opties zijn andere begrippen: het aantal knopen is de grootte van de graaf, de lengte van de kortste route gaat over afstand.

Hoofdstuk 1

Paragraaf 1.5

Routes en kortste route

Een route is een rij knopen waarbij elke knoop met een lijn verbonden is met de vorige. De lengte van een route is het aantal lijnen of de som van de getallen bij de lijnen. De kortste route heeft het minste aantal lijnen of de laagste som. Dat is niet altijd dezelfde route.

Laat leerlingen een eigen route in het metronet zoeken met zo weinig mogelijk overstappen en daarna de snelste route. Vraag: wanneer kies je als reiziger liever de route met de minste overstappen? (bij koffers, drukte, haast) Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 1

Paragraaf 1.5

Opdrachten Toepassing

2

De getallen zijn kilometers. Wat is de lengte van de kortste route van P naar T?

De kortste route is P-Q-S-T: 4 + 5 + 4 = 13 km. P-R-T is 14 km (5 + 9) en P-Q-R-T en P-R-S-T zijn allebei 15 km. Wie 14 antwoordt, kiest de route met de minste lijnen. Laat leerlingen alle routes opschrijven om niets te missen. Image credit: Eigen figuur, LessonUp

Hoofdstuk 1

Paragraaf 1.5

Opdrachten Toepassing

3

Hoeveel lijnen heeft deze graaf?

A

6

B

7

C

8

D

16

Er zijn 8 lijnen. Je kunt tellen, of de graden optellen en delen door 2: 3 + 3 + 2 + 2 + 4 + 2 = 16 en 16 : 2 = 8. Wie 16 kiest, geeft de som van de graden. Wie 6 of 7 kiest, mist een lijn, vaak de diagonaal. Image credit: Eigen figuur, LessonUp

Vul de ontbrekende woorden in.

Hoofdstuk 1

Paragraaf 1.5

Opdrachten Toepassing

4

Een graaf bestaat uit knopen en lijnen.

Het aantal lijnen dat in een knoop samenkomt, heet de graad.

knopen

lijnen

graad

routes

gewicht

Routes zijn rijtjes knopen, geen onderdelen van de graaf zelf. Het gewicht is het getal dat bij een lijn kan staan, zoals een reistijd.

Hoofdstuk 1

Paragraaf 1.5

Opdrachten Toepassing

★ 5

Vijf leerlingen hebben 4, 3, 3, 2 en 2 vrienden binnen de groep. Hoeveel vriendschappen zijn er in totaal?

Elke vriendschap telt bij twee personen mee. Som van de vriendenaantallen: 4 + 3 + 3 + 2 + 2 = 14, dus 14 : 2 = 7 vriendschappen. Wie 14 antwoordt, vergeet te delen door 2. Doorvraag: kan het ook met de aantallen 3, 3, 2, 2 en 1? (nee: de som is 11 en dus oneven, terwijl de som altijd twee keer het aantal lijnen is)

Hoofdstuk 1

Paragraaf 1.5

V E R D E R K I J K E R

Grafen in het echt

Je routeplanner rekent met een graaf: kruispunten zijn knopen, wegen zijn lijnen met een afstand of tijd. Ook sociale netwerken zijn grafen: mensen zijn knopen, vriendschappen zijn lijnen. De persoon met de grootste graad kent de meeste mensen.

Laat leerlingen een graaf van hun eigen klas of voetbalteam tekenen en de graad van iedereen bepalen. Veel metrokaarten zijn grafen: de tekening is niet op schaal, alleen de verbindingen kloppen. Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 1

Paragraaf 1.5

Checklist leerdoelen

Welk leerdoel vind je nog het lastigst?

1

1.5.1 Knopen, lijnen en graad

2

1.5.2 Routes en lengte

3

1.5.3 Kortste route vinden

4

Ik kan ze allemaal

In het boek sluit elke paragraaf af met de checklist leerdoelen. Gebruik de uitslag om te kiezen wat je de volgende les herhaalt.

1.5

Klik hier

voor meer kant-en-klare themalessen

Image credit: LessonUp