Hoofdstuk 13: limieten en asymptoten

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 6

Hoofdstuk 13: limieten en asymptoten

Welkom in vwo 6 wiskunde B

Programma vwo 6

Waarom limieten

Gegeven is de functie 

a) Wat gebeurt er als je f(2) probeert te berekenen?

b) Herleid de breuk en probeer nogmaals f(2) te berekenen. Wat gebeurt er nu?

f(x)=​x−2​​x​3​​−2x​2​​​​

Een paar begrippen

                        is een ononderbroken kromme, ook wel 'continu'

Voor                                     is 4 de continumakende waarde van f 

voor x = 2

3e

4e

3VT

Stelsels vergelijkingen, exponentiële functies en rekenen met exponenten

6VD

Normale verdeling gebruiken

Di 19-09

6VA

Verschillende notaties

2e

PMR

3e

Kwaliteit

6VB

Limieten en hellingen

4VB

Discriminanten met een parameter en extremen met een parameter

Wo 20-09

6VA

Rijen-invoerschem van de GR

2e

3e

5VA

Differentiequotiënten

3VT

Zelfwerkles

Do 21-09

5VA

Snelheid en raaklijn, raaklijn en rc, aantonen dat y toeneemt, hellinggrafieken schetsen

6VB

Verticale en horizontale asymptoten

3e

4e

4VB

vergelijkingen met een parameter

6VD

Normale en binomiale verdeling

Vr 22-09

1e

4VB

kromme door toppen

3e

6VA

Recursieve en directe formules opstellen

6VB

Scheve asymptoten

3VT

Zelfwerkles

Ma 25-09

ML

5VA

afgeleide functie

3e

4e

3VT

Zelfwerkles

6VD

Somregels voor verwachtingswaarde en standaardafwijking en de centrale limietstelling

Di 26-09

6VA

Patronen en meetkundige figuren

2e

PMR

3e

Kwaliteit

6VB

Limieten bij exponentiële functies

4VB

domein en bereik

Wo 27-09

6VA

Sigmanotatie

2e

3e

5VA

Werkles

3VT

Zelfwerkles

Do 28-09

5VA

Notaties voor de afgeleide en de afgeleide van y = ax^n

6VB

Limieten bij logaritmische functies

Duits excursie

3e

4e

4VB

modulusfuncties

6VD

som en verschil van normaal verdeelde toevalsvariabelen

Duits excursie

Vr 29-09

1e

4VB

toppen, snijpunten en ongelijkheden met de GR

3e

6VA

Recursieve formule van een somrij

6VB

Zwaartepunt tekenen

3VT

DEADLINE toets hoofdstuk 1

Ma 09-10

ML

5VA

de kettingregel

de ‘hoe zat het ook alweer quiz’ op papier maken?

3e

4e

3VT

6VD

Voorkennis

Di 10-10

STUDIEDAG

Wo 11-10

6VA

De grafiek y = sin (x) (en y = a+b sin(cx))

2e

3e

5VA

extreme waarden berekenen met de afgeleide

3VT

Do 12-10

5VA

formules met een parameter

6VB

Werken met middelloodlijnen en bissectrices

3e

4e

4VB

Herhaling

6VD

Bollen van Dandelin

Vr 13-10

1e

4VB

Toets hoofdstuk 1

3e

6VA

grafiek y = a + b sin (c(x-d))

6VB

Raaklijnproblemen bij cirkels

3VT

Ma 16-10

ML

5VA

Uitloop

3e

4e

3VT

6VD

Vergelijking van een parabool en een ellips

Di 17-10

6VA

Formule van sinusoïde opstellen

2e

PMR

3e

Kwaliteit

6VB

Vergelijkingen bij rakende cirkels

4VB

Wo 18-10

6VA

Berekeningen met de sinus

2e

3e

5VA

Herhaling

3VT

Do 19-10

5VA

Toets hoofdstuk 8

6VB

De ligging van een lijn ten opzichte van een cirkel

3e

4e

4VB

Latijn excursie

6VD

Toppen en brandpunten van een ellips en vergelijking van een hyperbool

Vr 20-10

1e

4VB

3e

6VA

sinusoïden gebruiken

Frans excursie

6VB

Snijdende cirkels

Frans excursie

3VT

DEADLINE vaardigheden

Ma 30-10

ML

5VA

3e

4e

Kwaliteit

3VT

6VD

Toppen, brandpunten en asymptoten van een hyperbool

Di 31-10

6VA

Breuken herleiden

2e

3e

6VB

Parametervoorstelling van een cirkel

4VB

Wo 01-11

6VA

variabelen vrijmaken en formules combineren

2e

3e

5VA

3VT

Do 02-11

5VA

6VB

Plaats, snelheid en versnelling

3e

4e

4VB

6VD

Kegelsneden onderzoeken

Vr 03-11

1e

4VB

3e

6VA

Variabelen vrijmaken met exponenten en logaritmen

6VB

Uitloop

3VT

Ma 6-11

ML

5VA

3e

4e

Kwaliteit

3VT

6VD

Raaklijn en normaal bij kegelsneden

Di 7-11

6VA

Grondtallen veranderen

2e

3e

6VB

Herhaling

4VB

Wo 8-11

6VA

omvormen van formules

2e

3e

5VA

3VT

Do 9-11

5VA

6VB

Herhaling

3e

4e

4VB

6VD

Herhaling

Vr 10-11

1e

4VB

3e

6VA

Omvormen van formules deel 2 (theorie D)

6VB

Herhaling

3VT

Ma 13-11

ML

5VA

3e

4e

Kwaliteit

3VT

6VD

Herhaling

Di 14-11

6VA

Herhaling

2e

3e

6VB

Herhaling

4VB

Wo 15-11

6VA

Herhaling

2e

3e

5VA

3VT

Do 16-11

5VA

SE-week

6VB

SE-week

3e

SE-week

4e

SE-week

4VB

SE-week

6VD

SE-week

Vr 17-11

1e

SE-week

4VB

SE-week

3e

SE-week

6VA

SE-week

6VB

SE-week

3VT

DEADLINE toets hoofdstuk 4

SE-week

g(x)=x​2​​

f(x)=​x−2​​x​3​​−2x​2​​​​

Limieten

Uitspraak: de limiet voor x naar 2 van f(x) is 4. 

Bij een continue functie geldt dat 

​x→2​lim​​f(x)=4

​x→a​lim​​f(x)=f(a)

Hoe bereken en noteer je zo'n limiet?

Bereken 

(f(2) geeft 0/0 dus teller en noemer bevatten (x-2))

​x→2​lim​​​x−2​​x​2​​+x−6​​

​x→2​lim​​​x−2​​x​2​​+x−6​​=​x→2​lim​​​x−2​​(x−2)(x+3)​​=​x→2​lim​​(x+3)=5

Zelf aan de slag

Hoofdstuk 13, paragraaf 1 (blz 12)

Begin bij opdracht 5. Gaat dat goed, maak je 5 t/m 8

Valt het tegen, maak je opdracht 3 t/m 8

Hoofdstuk 13: limieten en asymptoten

Perforaties

Wat ga je vandaag leren?

Wat perforaties zijn en hoe je de coördinaten daarvan kunt vinden

Perforaties

Plot de 2 grafieken van vorige les in je GR:                         en 

Het is voor de verandering belangrijk dat je deze volgorde aanhoudt. 

a) Kies als windowinstellingen x van -10 tot 10 en y ook van -10 tot 10. Wat zie je?

b) Verklein je window naar x van -3 tot 3 en y van -1 tot 5. Wat zie je nu? 

y​1​​=x​2​​

y​2​​=​x−2​​x​3​​−2x​2​​​​

Perforaties

Perforaties ontstaat op punten waar f(x) = 0/0

Als perforatie bij x = 3, dan teller en noemer een factor (x-3)

Bijvoorbeeld

Gegeven is de formule 

Bereken voor welke waarden van a de grafiek van f een perforatie heeft en bereken de coördinaten van de bijbehorende perforatie. 

f(x)=​2x+a​​4x​2​​−4x−3​​

Zelf aan de slag

opdracht 11, 12, 14, 15, 16

10 mag als extra oefening, 17 mag als extra uitdaging

Hoofdstuk 13: limieten en asymptoten

Linker- en rechterlimiet

Wat ga je vandaag leren?

Wat een linker- en rechterlimiet is

Hoe je kunt bepalen of de limiet van een (samengestelde) functie bestaat

Gegeven de functie

f(x) heeft 2 limieten:

Omdat de linker- en rechterlimiet 

niet overeenkomen, zeg je dat

                     niet bestaat

f(x)=​⎩​⎨​⎧​​​−x​2​​+3​​2​​1​​x+1​​​ voor x≤1​ voor x>1​​

​x↑1​lim​​f(x)=​x↑1​lim​​(−x​2​​+3)=−1​2​​+3=2

​x↓1​lim​​f(x)=​x↓1​lim​​−(​2​​1​​x+1)=​2​​1​​⋅1+1=1​2​​1​​

​x→1​lim​​f(x)

Voorbeeld

Voor 0 < p < 1 zijn gegeven de functies 

Voor welke p bestaat                     ?

f​p​​(x)=​⎩​⎨​⎧​​​sin(pπx)​​8​​1​​x​2​​​​​ voor x<2​ voor x>2​​

​x→2​lim​​f​p​​(x)

Zelf aan de slag

opdracht 19, 20, 21

Hoofdstuk 13: limieten en asymptoten

Limieten en hellingen

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je kunt bepalen of een (modulus)functie een knik heeft

Modulusfuncties

Hiernaast zie je de grafiek van de functie 

Bestaat                              ?

f(x)=(5−x)⋅∣x−1∣

​x→1​lim​​f(x)

Modulusfuncties

Hiernaast zie je de grafiek van de functie 

Bestaat                              ?

Voor x > 1 geldt 

Voor x < 1 geldt 

f(x)=(5−x)⋅∣x−1∣

​x→1​lim​​f(x)

f(x)=−x​2​​+6x−5

f(x)=x​2​​−6x+5

Modulusfuncties

Hiernaast zie je de grafiek van de functie 

Voor x > 1 geldt 

Voor x < 1 geldt 

Er geldt dat: 

Dus de grafiek heeft een knik bij x = 1

f(x)=−x​2​​+6x−5

f(x)=x​2​​−6x+5

f(x)=(5−x)⋅∣x−1∣

​x↑1​lim​​f​′​​(x)≠​x↓1​lim​​f​′​​(x)

Voorbeeld

Voor elke waarde van p is de functie         gegeven door 

Bereken exact voor welke p de grafiek van         geen knik heeft.

f​p​​

f​p​​(x)=(x+1)⋅∣x+p∣

f​p​​

Zelf aan de slag

opdracht 23a, 25, 26, 27

Hoofdstuk 13: limieten en asymptoten

Verticale en horizontale asymptoten

Wat ga je vandaag leren?

Wat asymptoten zijn

Hoe je een verticale asymptoot vindt in een gebroken functie

Hoe je een horizontale asymptoot vindt in een gebroken functie

Gegeven is 

a) Voor welke x wordt de noemer gelijk 

aan 0?

b) Is de teller dan ook gelijk aan 0?

c) Wat gebeurt er als je voor x een heel

groot of heel klein getal invult?

f(x)=​x​2​​−1​​2x​2​​−3x​​

Asymptoten

Verticale asymptoten bij noemer = 0 en teller       0.

Horizontale asymptoten bij limiet naar          en - 

Hoe vindt je:                                   ? 

≠

∞

∞

​x→∞​lim​​​x​2​​−1​​2x​2​​−3x​​

​x→∞​lim​​​x​n​​​​1​​=​x→−∞​lim​​​x​n​​​​1​​=0

Zelf aan de slag

Opdracht 31 t/m 35

Volgende les maken we 36 t/m 40 (geen nieuwe theorie)

Zelf aan de slag

Opdracht 36 t/m 40

Hoofdstuk 13: limieten en asymptoten

Scheve asymptoten

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je een breuk uitdeelt

Hoe je de formule voor een scheve asymptoot vindt

Gegeven is 

Bekijk de grafiek hiernaast.

Heeft de grafiek een asymptoot / 

asymptoten?

Zo ja, welke? 

f(x)=x+3−​x+2​​4​​

Voorbeeld breuken uitdelen

Ook de functie                                            heeft een scheve asymptoot. Deze vindt je d.m.v. uitdelen:

f(x)=​2x+4​​x​2​​+6x+5​​

​2x+4​​x​2​​+6x+5​​=​2x+4​​​2​​1​​x(2x+4)−2x+6x+5​​=​2​​1​​x+​2x+4​​4x+5​​

=​2​​1​​x+​2x+4​​2(2x+4)−8+5​​=​2​​1​​x+2−​2x+4​​3​​

Even zelf proberen

Gegeven is 

Stel van elke asymptoot van de grafiek van f de formule op.

f(x)=​x​2​​−4​​x​3​​+2x​2​​−4x−5​​

Zelf aan de slag

Opdracht 43, 45, 46, 48, 49

Hoofdstuk 13: limieten en asymptoten

Limieten bij exponentiële functies

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je de formules vindt van alle asymptoten van een exponentiële functie

Je weet:

Bij beide situaties hoort een limiet van '0'. Welke limieten zijn dat?

Bijvoorbeeld

Stel de formule op van elke asymptoot van de grafiek van 

de functie              

f(x)=​e​x​​−2​​2e​x​​+1​​

Zelf aan de slag

Opdracht 52, 53, 54

55 mag als extra uitdaging

Hoofdstuk 13: limieten en asymptoten

Limieten bij logaritmische functies

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je limieten berekent bij formules met een logaritme

Logaritme

Hiernaast staan de grafieken van 

                               voor g > 1 en 0 < g < 1

a) Wat gebeurt er bij                 ?

b) Wat gebeurt er bij                      ?

x↓0

x→∞

y=log​g​​(x)

Hoe gebruiken we dit?

Gegeven is de functie                      

a) Bereken

b) Stel van elke asymptoot van de grafiek

van f de formule op.

f(x)=​2ln(x)−1​​4​​

​x↓0​lim​​f(x)

Zelf aan de slag

Opdracht 59, 60, 61

58 mag als extra oefening