Machten en hyperbolen (Wiskunde B havo), les 1: Uitleg
EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · MACHTEN EN HYPERBOLEN
Machten en hyperbolen
Examenstof wiskunde B havo
Lesduur is: 45 minIntroductie
Onderdelen in deze les
EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · MACHTEN EN HYPERBOLEN
Machten en hyperbolen
Examenstof wiskunde B havo
Les 1 van 3: uitleg. Les 2 is de examentraining, les 3 de terugblik met quiz. Syllabus: Subdomein B1 (machtsfunctie, wortelfunctie, gebroken lineaire functie, B1.7) en B2.3 (xⁿ = c).
EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · MACHTEN EN HYPERBOLEN
Wat ga je kunnen?
Ik kan de grafiek en eigenschappen van machtsfuncties en hyperbolen gebruiken en vergelijkingen van het type xⁿ = c oplossen.
Deze slide heeft geen instructies
Welke grafieken ken je al, en hoe zien ze eruit?
Verwacht: lijn, parabool, wortelvorm, hyperbool. Noteer wat de leerlingen zeggen en koppel dat aan deze les: machtsfuncties, de wortelfunctie en de hyperbool (gebroken lineaire functie), plus vergelijkingen van het type xⁿ = c.
f(x) = x² en g(x) = x³
EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · MACHTEN EN HYPERBOLEN
Machtsfuncties: even en oneven
Even exponent (x², x⁴): de grafiek is symmetrisch om de y-as.
Oneven exponent (x³, x⁵): de grafiek is symmetrisch ten opzichte van de oorsprong.
x² heeft een laagste punt in (0, 0). x³ stijgt overal.
Een machtsfunctie heeft de vorm f(x) = x tot de macht p, met p een rationaal getal (syllabus B1). In de grafiek is f(x) = x² en g(x) = x³. Beide gaan door (0, 0). Bij x² geldt f(−x) = f(x), bij x³ geldt g(−x) = −g(x). Veelgemaakte fout: denken dat x³ net als x² een laagste punt heeft. Image credit: Eigen figuur
f(x) = √x
EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · MACHTEN EN HYPERBOLEN
De wortelfunctie
√x is een machtsfunctie: √x = x tot de macht ½.
Domein: x ≥ 0, want de wortel van een negatief getal bestaat niet.
Bereik: y ≥ 0. De grafiek begint in (0, 0) en stijgt steeds langzamer.
In de grafiek liggen de punten (1, 1), (4, 2) en (9, 3). Het steeds langzamer stijgen blijkt uit de punten: van x = 1 naar x = 4 stijgt de grafiek 1, van x = 4 naar x = 9 ook 1, terwijl het stuk op de x-as groter wordt (3 en dan 5). Veelgemaakte fout: het domein x > 0 noemen: x = 0 hoort er wel bij. Image credit: Eigen figuur
EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · MACHTEN EN HYPERBOLEN
Negatieve exponenten
x⁻¹ is 1/x en x⁻² is 1/x²: delen door x, dus x = 0 hoort niet bij het domein.
De grafiek komt steeds dichter bij de assen zonder ze te raken: de lijnen x = 0 en y = 0 heten asymptoten.
Een negatieve exponent betekent: de macht in de noemer zetten. x tot de macht −½ is 1/√x en bestaat alleen voor x > 0. De grafiek van x⁻¹ is een hyperbool; die komt in het volgende blok terug. Veelgemaakte fout: x⁻² schrijven als −x².
Welke functie heeft een grafiek die symmetrisch is ten opzichte van de oorsprong?
f(x) = x²
f(x) = x⁻²
f(x) = √x
f(x) = x³
x³ is een oneven macht: f(−x) = −f(x). x² en x⁻² zijn even machten en dus symmetrisch om de y-as (afleiders voor wie even en oneven verwart). √x bestaat alleen voor x ≥ 0 en kan dus niet symmetrisch zijn.
Vul in
Het domein van √x is x ≥ 0 en √x = x tot de macht ½, dus de wortelfunctie is een machtsfunctie.
√x = x tot de macht ½ en de wortel bestaat voor x ≥ 0. Wie 2 invult, verwart de wortel met het kwadraat.
EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · MACHTEN EN HYPERBOLEN
De gebroken lineaire functie
Teller en noemer zijn allebei lineair, met c ≠ 0.
De grafiek heet een hyperbool en bestaat uit twee takken.
Het eenvoudigste voorbeeld is f(x) = 1/x.
De noemer mag nooit 0 zijn: daarom ontbreekt er een x-waarde en valt de grafiek uit elkaar in twee takken. Als de teller een veelvoud van de noemer is, zoals (2x + 2)/(x + 1) = 2, is er geen hyperbool maar een rechte lijn met een gat. De syllabus (B1) noemt de naam hyperbool voor de grafiek van de gebroken lineaire functie.
f(x) = (2x − 4)/(x + 1), asymptoten x = −1 en y = 2
EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · MACHTEN EN HYPERBOLEN
Asymptoten van een hyperbool
Voorbeeld: f(x) = (2x − 4)/(x + 1).
Verticale asymptoot: noemer = 0, dus x = −1.
Horizontale asymptoot: y = a/c = 2. Voor heel grote of kleine x komt f(x) daar dicht bij.
In de grafiek staat de horizontale asymptoot y = 2 gestippeld; de verticale asymptoot x = −1 is de lijn waar de twee takken naartoe lopen. De grafiek raakt of snijdt de lijn y = 2 niet: f(x) = 2 heeft geen oplossing. Algemeen: verticaal x = −d/c, horizontaal y = a/c. Veelgemaakte fout: de asymptoten verwisselen, of x = 1 noemen in plaats van x = −1. Image credit: Eigen figuur
f(x) = (2x − 4)/(x + 1), asymptoten x = −1 en y = 2
EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · MACHTEN EN HYPERBOLEN
Nulpunt, y-as, domein en bereik
Nulpunt: teller = 0. 2x − 4 = 0 geeft x = 2.
Snijpunt met de y-as: f(0) = −4/1 = −4.
Domein: alle x behalve x = −1. Bereik: alle y behalve y = 2.
De punten (2, 0) en (0, −4) staan in de grafiek. De noemer is 0 bij x = −1, dus het domein is alle x behalve x = −1. Het bereik is alle y behalve y = 2: de vergelijking f(x) = 2 heeft geen oplossing, elke andere waarde van y komt wel voor (bijvoorbeeld f(−3) = 5). Image credit: Eigen figuur
Wat is de verticale asymptoot van deze functie?
y = 3
x = 4
x = −4
x = −1/3
De noemer x − 4 is 0 bij x = 4. y = 3 is de horizontale asymptoot (a/c = 3/1), niet de verticale. x = −4 verwisselt het teken. x = −1/3 is het nulpunt van de teller 3x + 1, geen asymptoot.
Gegeven is f. Welke waarde van y hoort bij de horizontale asymptoot?
y = a/c = 5/2 = 2,5. Verwachte fouten: 5 (alleen a), of −3 (de verticale asymptoot x = −3 verwisseld met de horizontale).
EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · MACHTEN EN HYPERBOLEN
Vergelijkingen van het type xⁿ = c
Oneven n: altijd precies één oplossing.
Even n en c > 0: twee oplossingen, een positieve en een negatieve.
Even n en c < 0: geen oplossing.
Let op: bij even n vergeten leerlingen vaak de negatieve oplossing. Bij een oneven n kan c ook negatief zijn: x³ = −27 geeft x = −3. Een even macht is nooit negatief, daarom heeft x⁴ = −16 geen oplossing.
EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · MACHTEN EN HYPERBOLEN
Eerst herleiden tot xⁿ = c
Werk de vergelijking eerst om tot: macht = getal.
Bij een haakjesvorm los je de macht eerst op en daarna de rest.
Bij a: 2x³ + 5 = 59, trek 5 af (2x³ = 54) en deel door 2 (x³ = 27). Bij b: (x − 1)² = 9 geeft x − 1 = 3 of x − 1 = −3, dus x = 4 of x = −2. Veelgemaakte fout: bij b één oplossing noteren of de −1 vergeten.
EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · MACHTEN EN HYPERBOLEN
x als functie van y
Soms moet je x uitdrukken in y: werk de formule om tot x = ...
Maak x vrij: eerst delen, dan de macht omdraaien: wortel nemen of kwadrateren.
Bij een wortel of een even macht: schrijf erbij voor welke y of x de formule geldt.
Dit is vaardigheid B1.7: bij machtsfuncties x schrijven als functie van y. Bij a: x³ = y/2 en x is de derdemachtswortel van y/2. Bij b: de wortel is niet negatief, dus y ≥ 0, en kwadrateren geeft x = (y/4)². Controle bij b: y = 6 geeft x = (6/4)² = 9/4 en 4√(9/4) = 4 · 3/2 = 6.
Los op: x⁴ = 81
x = 3 of x = −3
x = 3
x = 9 of x = −9
x = 20,25 of x = −20,25
x⁴ = 81 heeft twee oplossingen: 3⁴ = 81 en (−3)⁴ = 81. x = 3 vergeet de negatieve oplossing. x = ±9 neemt de wortel in plaats van de vierdemachtswortel (9⁴ = 6561). x = ±20,25 deelt 81 door 4.
Zet de stappen op volgorde bij het oplossen van 2x³ + 5 = 59
Eerst 5 aftrekken (2x³ = 54), dan delen door 2 (x³ = 27), dan de derdemachtswortel (x = 3).
Wat vind je nu het lastigst?
Eigenschappen van machtsfuncties
Asymptoten van een hyperbool
Vergelijkingen xⁿ = c
x schrijven als functie van y
Gebruik de uitslag om te kiezen welk vraagtype je in les 2 als eerste bespreekt.
Leg uit waarom x² = −4 geen oplossing heeft, maar x³ = −8 wel.
Een goed antwoord: een even macht is nooit negatief (het kwadraat van een getal is 0 of positief), dus x² = −4 heeft geen oplossing. Een oneven macht kan wel negatief zijn: (−2)³ = −8, dus x = −2. Verwachte fout: alleen rekenen zonder uitleg.
EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · MACHTEN EN HYPERBOLEN
Begrippen (1/2)
machtsfunctie: een functie van de vorm f(x) = x tot de macht p, met p een rationaal getal
wortelfunctie: f(x) = √x, een machtsfunctie met exponent ½; domein x ≥ 0
domein: alle x-waarden waarvoor de functie bestaat
bereik: alle y-waarden die de functie kan aannemen
gebroken lineaire functie: f(x) = (ax + b)/(cx + d), met een lineaire teller en noemer
Deze slide heeft geen instructies
EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · MACHTEN EN HYPERBOLEN
Begrippen (2/2)
hyperbool: de naam van de grafiek van een gebroken lineaire functie
verticale asymptoot: een verticale lijn waar de grafiek steeds dichter naartoe gaat, bij de x waar de noemer 0 is
horizontale asymptoot: een horizontale lijn waar de grafiek naartoe gaat voor heel grote of kleine x
nulpunt: een x-waarde waarvoor f(x) = 0; het snijpunt met de x-as
x als functie van y: de formule omwerken tot x = ... met y erin
Deze slide heeft geen instructies
