§8.1 Ruimtemeetkunde: theorie (leerjaar 4)

• newEditor
• Wiskunde
• Middelbare school
• vmbo t

Introductie

Leerlingen herhalen de formules voor oppervlakte en inhoud van ruimtefiguren, de lichaamsdiagonaal, hoeken in ruimtefiguren, vergroten en coördinaten in de ruimte. Les bij Getal & Ruimte vmbo-kgt (mavo) leerjaar 4, hoofdstuk 8 Ruimtemeetkunde, paragraaf 8.1. Met startvraag, theorie, opdrachten Kennis en Toepassing, een Verderkijker en de checklist leerdoelen.

8

Ruimtemeetkunde

Paragraaf 8.1

Ruimtemeetkunde: theorie

Hoe lang is het langste potlood dat nog in een smalle doos past? Je rekent het uit.

Gemaakt bij Getal & Ruimte, leerjaar 4, vmbo-kgt (mavo)

Les bij Getal & Ruimte, leerjaar 4, hoofdstuk 8 Ruimtemeetkunde, paragraaf 8.1 Ruimtemeetkunde: theorie. Ongeveer 40 minuten, mavo. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 8

Paragraaf 8.1

8.1  Ruimtemeetkunde: theorie

Leerdoelen

8.1.1

Je kunt inhoud en oppervlakte van prisma, cilinder, piramide, kegel en bol berekenen.

8.1.2

Je kunt met Pythagoras en goniometrie lengtes en hoeken in een balk berekenen.

8.1.3

Je kunt rekenen met vergrotingsfactor k, k² en k³ en met coördinaten in de ruimte.

De leerdoelen staan in het boek bovenaan de paragraaf. Aan het eind van de les komen ze terug in de checklist. Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 8

Paragraaf 8.1

Startvraag

De potloodvraag

Een doos is 3 cm breed, 4 cm diep en 12 cm hoog. Hoe lang is het langste potlood dat er schuin in past?

A

12 cm

B

13 cm

C

19 cm

D

15 cm

Eerst laten schatten, daarna uitrekenen: AG² = 3² + 4² + 12² = 169, dus AG = 13 cm. 12 cm is de hoogte van de doos (schuin kan er meer in). 19 cm is de drie maten optellen, dat kan niet want een rechte lijn is korter dan de omweg. 15 cm komt uit 3 + 12. Het getal 13 is netjes: 5, 12, 13 is een Pythagoras-drietal. Image credit: Eigen figuur, LessonUp

Hoofdstuk 8

Paragraaf 8.1

Inhoud en oppervlakte

Alle formules op een rij. Eerst het grondvlak G, dan de rest.

Prisma en cilinder

Inhoud = G · h. Cilinder: I = π · r² · h en O = 2 · π · r² + 2 · π · r · h.

Piramide en kegel

Inhoud = ⅓ · G · h. Kegel: I = ⅓ · π · r² · h. Oppervlakte: grondvlak plus zijvlakken.

Bol

Inhoud = 4/3 · π · r³. Oppervlakte = 4 · π · r².

Laat leerlingen per kaart een voorbeeld noemen uit hun omgeving (blik, tent, ijshoorn, voetbal). Veel gemaakte fout: de ⅓ vergeten bij piramide en kegel, of straal en diameter verwisselen. Een bol met r = 3 heeft toevallig inhoud en oppervlakte allebei 36π ≈ 113,1, een leuke doorvraag. Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 8

Paragraaf 8.1

Voorbeeldopdracht 1

Een cilinder heeft straal 4 cm en hoogte 10 cm. Bereken inhoud en oppervlakte, afgerond op hele getallen.

gegeven

r = 4 cm en h = 10 cm

uitwerking

I = π · 4² · 10 ≈ 502,7

O = 2 · π · 4² + 2 · π · 4 · 10

O ≈ 100,5 + 251,3 = 351,9

antwoord

I ≈ 503 cm³ en O ≈ 352 cm²

Reken met de rekenmachine door en rond pas aan het eind af. 2 · π · r · h is de omtrek van het grondvlak keer de hoogte: de mantel opgerold is een rechthoek. De oppervlakte is in cm², de inhoud in cm³. Veel gemaakte fout: boven- en onderkant vergeten, dan krijg je alleen 251. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 8

Paragraaf 8.1

Lichaamsdiagonaal en hoeken

De lichaamsdiagonaal AG loopt van hoekpunt A naar G. Gebruik Pythagoras twee keer: eerst AC in het grondvlak, dan AG in driehoek ACG. Kort: AG² = AB² + BC² + CG². De hoek tussen AG en het grondvlak is hoek GAC, met tan = CG : AC.

Wijs driehoek ACG aan in de figuur (rood en blauw). Die driehoek is rechthoekig in C, omdat CG loodrecht op het grondvlak staat. Bij een hoek met een vlak neem je altijd de hoek tussen de lijn en haar projectie op dat vlak: AG en AC. Vraag: waarom niet hoek GAB? Omdat AB niet de projectie van AG is. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 8

Paragraaf 8.1

Voorbeeldopdracht 2

In balk ABCD.EFGH is AB = 8 cm, BC = 6 cm en BF = 5 cm. Bereken AG en de hoek tussen AG en het grondvlak.

gegeven

AB = 8, BC = 6, BF = 5

uitwerking

AC² = 8² + 6² = 100, dus AC = 10

AG² = 10² + 5² = 125, AG = √125 ≈ 11,2

tan(∠GAC) = CG : AC = 5 : 10 = 0,5

∠GAC = tan⁻¹(0,5) ≈ 26,6°

antwoord

AG ≈ 11,2 cm en de hoek is ≈ 26,6°

AC = 10 is het Pythagoras-drietal 6, 8, 10. De hoek zit bij A, tussen AG en AC. Sin(∠GAC) = 5 : 11,2 geeft ook 26,6°, dat mag zodra AG bekend is. Wie tan⁻¹(5 : 8) neemt, gebruikt AB in plaats van AC en krijgt 32,0°. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 8

Paragraaf 8.1

Aanzicht, doorsnede, coördinaten

Drie manieren om een ruimtefiguur precies te beschrijven.

Aanzichten

Voor-, boven- en zijaanzicht: je tekent wat je ziet. Niet zichtbare ribben teken je gestippeld.

Doorsnede

Snijd je met een vlak, dan zie je de doorsnede: een rechthoek, driehoek of cirkel. Gebruik die vorm.

Coördinaten

Een punt is (x, y, z). Afstand tussen twee punten: √(Δx² + Δy² + Δz²).

Laat leerlingen een doos pakken en het voor-, boven- en zijaanzicht schetsen. Een doorsnede door de top van een kegel is een driehoek, evenwijdig aan het grondvlak een cirkel. Bij coördinaten betekent Δ het verschil tussen twee punten: het is dezelfde Pythagoras als bij de lichaamsdiagonaal. Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 8

Paragraaf 8.1

Vergroten met factor k

Vergroot je met factor k

O₂ = k² · O₁ en I₂ = k³ · I₁

wat

factor

bij k = 2

lengte

k

2

oppervlakte

k²

4

inhoud

k³

8

Een model op schaal 1 : 10 is 10 keer zo klein: de inhoud is 1.000 keer zo klein. Lengte is de eerste macht, oppervlakte de tweede, inhoud de derde.

Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 8

Paragraaf 8.1

Opdrachten Kennis

1

Een kubus wordt met factor 3 vergroot. Met welk getal wordt de oppervlakte vermenigvuldigd?

A

3 keer

B

6 keer

C

9 keer

D

27 keer

De oppervlakte gaat met k² = 9. 3 keer is de lengtefactor zelf, 6 keer komt uit 3 · 2, 27 keer is k³ en hoort bij de inhoud. Doorvraag: wat gebeurt er met de inhoud? (27 keer zo groot).

Hoofdstuk 8

Paragraaf 8.1

Opdrachten Toepassing

2

Bereken de inhoud van de piramide in cm³.

G = 6 · 5 = 30 cm², I = ⅓ · 30 · 9 = 90 cm³. Wie 270 antwoordt, is de ⅓ vergeten. Wie 135 antwoordt, gebruikt ½ (zoals bij een driehoek). Vraag: hoeveel van deze piramides passen in een balk van 6 bij 5 bij 9? (drie). Image credit: Eigen figuur, LessonUp

Hoofdstuk 8

Paragraaf 8.1

Opdrachten Toepassing

★ 3

Een kegel heeft inhoud 150 cm³. Hij wordt met factor 2 vergroot. Wat is de nieuwe inhoud?

A

300 cm³

B

600 cm³

C

900 cm³

D

1.200 cm³

Inhoud met k³: 150 · 2³ = 150 · 8 = 1.200 cm³. 300 is alleen met k vermenigvuldigd, 600 met k², 900 komt uit 150 · 2 · 3 (factor keer het aantal dimensies). Vraag: hoe groot wordt de oppervlakte als die 120 cm² was? (480 cm²).

Hoofdstuk 8

Paragraaf 8.1

V E R D E R K I J K E R

Zet op inhoud, van klein naar groot

Schrijf elke inhoud als een getal keer π · r³.

1

Bol (straal r)

2

Kegel (straal r, hoogte 2r)

3

Cilinder (straal r, hoogte 2r)

Kegel: ⅓ · r² · 2r = ⅔ π r³. Bol: 4/3 π r³. Cilinder: r² · 2r = 2 π r³. De verhouding is 1 : 2 : 3. Dat ontdekte Archimedes en hij vond het zo mooi dat het op zijn grafsteen kwam. Laat leerlingen nagaan dat kegel en bol samen precies een cilinder vullen.

Hoofdstuk 8

Paragraaf 8.1

Checklist leerdoelen

Welk leerdoel vind je nog het lastigst?

1

8.1.1 Inhoud en oppervlakte berekenen

2

8.1.2 Diagonalen en hoeken in ruimtefiguren

3

8.1.3 Vergroten en coördinaten

4

Ik kan ze allemaal

In het boek sluit elke paragraaf af met de checklist leerdoelen. Gebruik de uitslag om te kiezen wat je de volgende les herhaalt.

8.1

Klik hier

voor meer kant-en-klare themalessen

Image credit: LessonUp