6V differentiëren

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 6

Bereken de afgeleide van

N(t)=150(1−e​−0,05t​​)

Leerdoelen 6, 7 en 8

6. Je kunt met behulp van de afgeleide onderzoeken of een  functie stijgt of daalt in een punt.
7. De kunt met behulp van de afgeleide de helling in een punt berekenen.
8. Je kunt gegeven een helling met behulp van de afgeleide berekenen in welk punt dit is. (13.1B)

Functie vs afgeleide

Functie vs afgeleide

Functie beschrijft verband tussen x en y.

• Als je x invult in f(x) bereken je de y-coördinaat. 
• Als je f(x) gelijkstelt aan een y, kun je met een vergelijking x berekenen. 

Afgeleide beschrijft verband tussen x en de helling van f(x).

• Als je x invult in f '(x), bereken je de helling van f(x). 
• Als je f '(x) gelijkstelt aan een bepaalde helling, bereken je met een vergelijking voor welke x de functie f(x) deze helling heeft. 
• Snelheid is een toepassing van de helling.

Afgeleide gebruiken

•                                          -->  f daalt in A
  
  
•                                          -->  f is horizontaal in A
  
  
•                                          -->  f stijgt in A

f​′​​(x​A​​)<0

f​′​​(x​A​​)=0

f​′​​(x​A​​)>0

Gegeven is
met
Bereken de snelheid waarmee N verandert voor t=5.

N(t)=150(1−e​−0,05t​​)

N​′​​(t)=7,5e​−0,05t​​

Gegeven is
met
Voor welke t neemt N met 4,1 per minuut toe?

N(t)=150(1−e​−0,05t​​)

N​′​​(t)=7,5e​−0,05t​​

Bereken de afgeleide van

en herleid deze naar de vorm

N(t)=1500⋅log(2t+4)−50t

N​′​​(t)=​t+b​​a​​−c

Leerdoel 9

Je kunt m.b.v. de afgeleide de extreme waarden van een functie berekenen. (13.1C) 

Bereken met de afgeleide na hoeveel dagen N maximaal is.

N(t)=1500⋅log(2t+4)−50t

N​′​​(t)=​t+2​​651​​−50

Extreme waarde(n) berekenen

• Stel de afgeleide op
  
• Stel afgeleide gelijk aan 0 en los de vergelijking (algebraïsch?) op,
  dit geeft je x-coördinaat top (of x-coördinaten toppen)
• Bereken bijbehorende y-coördinaten door x in te vullen in originele functie
• Bepaal met een schets of het een maximum of minimum betreft.
  

Bereken de afgeleide van

y=​2x+1​​10x​​

Leerdoel 10

Je kunt met behulp van de afgeleide beredeneren of een grafiek stijgend of dalend is op een interval (13.2A)

Afgeleide gebruiken

•                                          -->  f daalt in A
  
  
•                                          -->  f is horizontaal in A
  
  
•                                          -->  f stijgt in A

f​′​​(x​A​​)<0

f​′​​(x​A​​)=0

f​′​​(x​A​​)>0

Gegeven is de formule

Toon met de afgeleide

aan dat de grafiek van y stijgend is voor         

• de teller van de afgeleide is positief
•                     is positief voor
•                                        de afgeleide is dus positief
• de formule is dus stijgend voor 

y=​2x+1​​10x​​

​dx​​dy​​=​(2x+1)​2​​​​10​​

x≥0

(2x+1)​2​​

x≥0

​positief​​positief​​=positief

x≥0

Gegeven is de formule
Toon met de afgeleide aan dat de grafiek van y dalend is.

y=5+​2x+1​​12​​   met  x≥0

• De grafiek van de afgeleide ligt geheel onder de x-as voor 
• De grafiek van y is dus dalend. 

x≥0

​dx​​dy​​=​(2x+1)​2​​​​−24​​

Leerdoel 11

Je kunt met behulp van de grafiek van de afgeleide beredeneren of de grafiek van de oorspronkelijke functie stijgend of dalend is. (13.2B)

Bereken de afgeleide van

f(x)=√​(3x​5​​+6x)​​​

Stel de afgeleide op van

f(x)=x+x​0,2​​

Leerdoel 12

Je kunt op basis van de grafiek van de afgeleide beredeneren of de originele grafiek toenemend/afnemend stijgend/dalend is. (13.3AB)

De grafiek van

is ...

f(x)=x+x​0,2​​

1. toenemend stijgend
2. afnemend stijgend
3. constant stijgend
4. dat is moeilijk te zien

• de grafiek van f ' ligt boven de x-as en is dus positief --> f is stijgend
• de grafiek van f ' is dalend
  --> f is afnemend stijgend

f(x)=x+x​0,2​​

f​′​​(x)=1+​x​0,8​​​​0,2​​

afnemend dalend

toenemend dalend

toenemend stijgend

afnemend stijgend

Bereken de afgeleide van

N(t)=​1+12,9⋅0,834​t​​​​2780​​

Leerdoel 13 

Je kunt met behulp van de afgeleide bepalen wat de minimale of maximale snelheid van de verandering van de originele functie is. (13.3C)

N is een model voor het aantal lepelaars op de Waddeneilanden.

Voor een bepaalde waarde van t gaat de grafiek van N over van toenemend stijgend naar afnemend stijgend. 

Bereken die t.  

N(t)=​1+12,9⋅0,834​t​​​​2780​​

N is een model voor het aantal lepelaars op de Waddeneilanden.

Voor een bepaalde waarde van t gaat de grafiek van N over van toenemend stijgend naar afnemend stijgend. Bereken die t.  

Voor t=14,09  is de afgeleide N' maximaal. N  gaat dan over van toenemend naar afnemend stijgend. 

N(t)=​1+12,9⋅0,834​t​​​​2780​​

N​′​​(t)=​(1+12,9⋅0,834​t​​)​2​​​​6510⋅0,834​t​​​​

Bereken de afgeleide van

y=√​(3x​2​​+4x)​​​

Leerdoel 14

 Je kunt een de vergelijking van een raaklijn in een gegeven punt P opstellen m.b.v. de afgeleide. (10.3A boek 3!)

succescriteria

• Je kunt de afgeleide opstellen (leerdoel 3).
  
• Je kent de algemene formule voor een raaklijn (=rechte lijn):   
  
  
• Je kunt met de afgeleide de helling a in punt P berekenen.
  
• Je kunt met de originele functie de y-coördinaat van punt P berekenen.
  
• Je kunt met de helling en de y-coördinaat de formule van de raaklijn afmaken.
  

y=ax+b

Stel de raaklijn in het punt P met x=2 op aan de grafiek van :

y=√​(3x​2​​+4x)​​​

Bereken de afgeleide van

I=300x​2​​−4x​3​​

Leerdoel 15

Je kunt optimaliseringsproblemen oplossen door gebruik te maken van differentiëren. (13.4)

succescriteria

• Je kunt bij een probleemstelling een formule opstellen of aantonen.
  
• Je kunt bij deze formule de afgeleide opstellen (leerdoel 3).
  
• Je kunt met de afgeleide de optimale situatie (extreme waarde(n)) berekenen. (leerdoel 9)
  
• Je kunt hiermee antwoord geven op de gestelde vraag.
  

Van een doos is de bodem vierkant. De som van de hoogte en omtrek van de bodem is 300. Bereken met de afgeleide de afmetingen waarbij de inhoud maximaal is.

Firma maakt dozen met inhoud 72 dm³. De onderkant is rechthoekig, lengte is twee maal zo groot als de breedte. Het materiaal van de zijkanten kost €0,20 per dm² en dat van de bodem €0,40 per dm². De breedte van de onderkant is x dm. Toon aan dat als formule voor K geldt

K=0,8x​2​​+​5x​​216​​

Bereken de afgeleide van

K=0,8x​2​​+​5x​​216​​

Firma maakt dozen met inhoud 72 dm³. De onderkant is rechthoekig, lengte is twee maal zo groot als de breedte. Het materiaal van de zijkanten kost €0,20 per dm² en dat van de bodem €0,40 per dm².
De breedte van de onderkant is x dm.
Bereken met de afgeleide bij welke afmetingen K minimaal is.

K=0,8x​2​​+​5x​​216​​