Lijnen en cirkels 4HAVO hfst 7

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 5

Lijnen en cirkels

4HAVO wiskunde B

Hoofdstuk  7 uit boek 2

Onderlinge ligging van lijnen

Afstand tussen 2 punten

Gegeven A(x_A, y_A) en B(x_B, y_B)

• Gebruik de stelling van Pythagoras voor de afstand                       (d = distance) tussen A en B.

d(A,B)=√​(y​B​​−y​A​​)​2​​+(x​B​​−x​A​​)​2​​​​​

Bereken d( A,B)
Geef je antwoord in 2
decimalen nauwkeurig.

Antwoord + uitwerking

d(A,B)= 

√​(4−2)​2​​+(5−1)​2​​​​​≈4,47

Afstand punt-lijn d(A,k)

•  Stel de vergelijking op van de lijn l door A loodrecht op k
  

   -> als de vergelijking in de vorm y=ax+b staat

        dus a = 

   en anders k: ax+by=c ->l: bx-ay=d
   A invullen om de ontbrekende waarde te berekenen (b/d)

• Bereken de coordinaten van het snijpunt B van k en l.
• Gebruik d(A,k)=d(A,B) om d(A,k) te berekenen.

rcl⋅rck=−1

rc​l​​=−​rc​k​​​​1​​

Bereken d(A,f) en rond af
op 2 decimalen.

Antwoord + uitwerking

• vergelijking lijn l loodrecht op lijn f: 

       7x+3y=c door (2,4) geeft:
       l: 7x +3y = 26

• snijpunt S van lijn l en lijn f:
  

       3x-7y=4

       7x+3y=26

       Dit stelsel vergelijkingen oplossen geeft x= 2,93 en y=1,83

• d(A,f) =d (A,S) = 
  

7⋅2+3⋅4=26

√​(1,83−4)​2​​+(2,93−2)​2​​​​​≈2,36

Hoek tussen 2 lijnen

• Bepaal de richtingscoëfficiënt van beide lijnen

                                                               dus    

                                                               dus       

Dus  gevraagde hoek:

        

                 of  

tan(β)=rc​k​​

ϕ=α−β

ϕ=180°−(α−β)

tan(α)=rc​l​​

α=invtan(rc​l​​)

β=invtan(rc​k​​)

Cirkelvergelijking herschrijven

Gegeven: een cirkelvergelijking in de vorm

• Herschrijven tot:

Zodat je weet: M(2,4) en straal r =

x​2​​−4x+y​2​​−8y+10=0

(x−2)​2​​−4+(y−4)​2​​−16+10=0

(x−2)​2​​+(y−4)​2​​=10

√​10​​​

Gegeven:
Zet deze vergelijking om naar een cirkelvergelijking in een andere vorm, zodat je het middelpunt en de straal snel kunt bepalen

x​2​​−4x+y​2​​+6y−12=0

1. (x−2)​2​​+(y+3)​2​​=5
2. (x−2)​2​​+(y+3)​2​​=25
3. (x−2)​2​​+(y+3)​2​​=17
4. (x−2)​2​​+(y+3)​2​​=7

Ligt punt A buiten, binnen of op de gegeven cirkel?

• Cirkelvergelijking zo schrijven dat je M en r af kunt lezen
• bereken d(A,M)

• vergelijk d(A,M) met de straal
  

         * d(A,M) < straal : A ligt binnen de cirkel

         * d(A,M) = straal: A ligt op de cirkel

         * d(A,M) > straal: A ligt buiten de cirkel

Gegeven: de cirkel c met vergelijking:


Ligt punt A(6,2) buiten, binnen of op de cirkel?

x​2​​+y​2​​−2x+6y=26

1. buiten
2. binnen
3. op

Uitwerking

• 
  

      dus M(1,-3) en straal=6

•     d(M,A)  met M(1,-3) en A(6,2)

•  7,07>6 (straal), dus punt A ligt buiten de cirkel
  

x​2​​+y​2​​−2x+6y=26

(x−1)​2​​−1+(y+3)​2​​−9=26

(x−1)​2​​+(y+3)​2​​=36

√​(2−−3)​2​​+(6−1)​2​​​​​≈√​50​​​≈7,07

Cirkels en afstanden

• Berekenen van afstand van punt A tot cirkel c met M en r

        * A binnen c: d(A,c) = r - d(M,A)

        * A buiten  c:d(A,c) = d(M,A) - r

(dus grootste min kleinste. Want negatieve afstand kan nooit!)

Cirkels en raaklijnen

Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt.

Raaklijnprobleem 1

Stel vgl op van c met M(x_m, y_m) die lijn k raakt

• Gebruik M om de cirkelvgl op te stellen:

• stel vgl op van lijn m door M en loodrecht op k
• bereken snijpunt m en k (S)
• r =d(M,k) = d(M,S)
  

(x−x​m​​)​2​​+(y−y​m​​)​2​​=r​2​​

Raaklijnprobleem 2

Stel vgl op van raaklijn l: y=ax+b aan cirkel c in punt B

• Bereken rc van de lijn k door M en B

      rck=

•  lijn l staat loodrecht op k, dus geldt

       bereken hiermee rc_l=a

• Bereken b door B in te vullen.
  

​(x​B​​−x​M​​)​​(y​B​​−y​M​​)​​

rc​l​​⋅rc​k​​=−1

Gegeven zijn de cirkel c:
de lijn k: en punt B(1, -2).

Bereken exact d(B, c) en d(k, c)

x​2​​+y​2​​−4x+2y=0

2x+y=13

Uitwerking