Harmonische trillingen (Natuurkunde vwo), les 1: Uitleg
Oscilloscoop met een signaal (foto: Unnerving duck, CC0)
EXAMENSTOF · B1 · HARMONISCHE TRILLING
Harmonische trillingen
Examenstof natuurkunde vwo
Lesduur is: 45 minIntroductie
Onderdelen in deze les
Oscilloscoop met een signaal (foto: Unnerving duck, CC0)
EXAMENSTOF · B1 · HARMONISCHE TRILLING
Harmonische trillingen
Examenstof natuurkunde vwo
Les 1 van 3: uitleg. Les 2 is de examentraining, les 3 de terugblik met quiz. Syllabus: B1.1, B1.2, B1.5, A14.1. Image credit: Unnerving duck / Wikimedia Commons, CC0
EXAMENSTOF · B1 · HARMONISCHE TRILLING
Wat ga je kunnen?
Ik kan een harmonische trilling beschrijven met Fres = −C·u en u = A·sin(2πt/T), fase, faseverschil, T en vmax bepalen en een numeriek model van een massa-veersysteem aanvullen.
Deze slide heeft geen instructies
Noem iets dat trilt en hoe je dat meet.
Verwacht: snaar, stemvork, veer, luidspreker, hart (cardiogram), oscilloscoop, seismograaf. Gebruik de woorden later: uitwijking, periode, evenwichtsstand. Syllabus B1.1.
Stemvork op klankkast (foto: Brian0918, CC BY-SA 3.0)
EXAMENSTOF · B1 · HARMONISCHE TRILLING
Een trilling beschrijven
Een trilling herhaalt zich rond een evenwichtsstand; de uitwijking u is de afstand tot die stand.
De amplitude A is de grootste uitwijking; de periode T is de tijd van één trilling.
f = 1/T: frequentie f in Hz, periode T in s. Staat in je informatieboek.
u heeft een teken: boven de evenwichtsstand positief, eronder negatief.
Syllabus B1.1: trillingsverschijnselen analyseren en grafisch weergeven; vakbegrip periode. Vwo-notatie: u en F zijn vectoren, in een rechte lijn kies je een positieve richting. Veelgemaakte fout: amplitude van top tot dal meten. Image credit: Brian0918 / Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0
Animatie: de pijl van Fres wijst naar de evenwichtsstand
EXAMENSTOF · B1 · HARMONISCHE TRILLING
De terugdrijvende kracht
Fres = −C·u: de resulterende kracht is evenredig met u en tegengesteld gericht (vectoren).
C is de veerconstante in N/m. Het minteken: de kracht wijst naar de evenwichtsstand.
Dit is de voorwaarde voor een harmonische trilling: het (u,t)-diagram is dan een sinus.
Kijk naar de pijl: bij de grootste uitwijking is Fres het grootst, in de evenwichtsstand nul.
Syllabus B1.1: de natuurkundige voorwaarde van een harmonische trilling (kracht evenredig met en tegengesteld gericht aan de uitwijking); formule Fres = −C·u staat in het informatieboek. De animatie laat de massa op en neer gaan met A = 3,0 cm en T = 2,0 s; de massa begint in de evenwichtsstand. Kijkvraag: wat zie je aan de pijl als de massa door de evenwichtsstand gaat? (Fres is nul en wisselt van richting.) Veelgemaakte fout: denken dat Fres in de bewegingsrichting wijst. Image credit: Eigen animatie
EXAMENSTOF · B1 · HARMONISCHE TRILLING
Een numeriek model
Een numeriek model rekent een trilling in kleine stappen door: een iteratief proces.
Startwaarden: m, C, u, v en t, en de stapgrootte dt.
Modelregels: Fres = −C·u, a = Fres/m (tweede wet van Newton), v = v + a·dt, u = u + v·dt, t = t + dt.
De stopvoorwaarde bepaalt wanneer het rekenen ophoudt, bijvoorbeeld t ≥ 2,0 s.
Het resultaat u(t) is een sinus: uit Fres = −C·u volgt de wiskundige beschrijving van de trilling.
Syllabus B1.1 (het verband laten zien aan de hand van een numeriek model) en A14.1: modelregel, startwaarde, stopvoorwaarde, stapgrootte, iteratief proces. De volgorde is eerst v bijwerken en dan u met de nieuwe v; dat levert een stabiele trilling. Laat leerlingen de eerste stap met de hand rekenen (zie de training). Veelgemaakte fout: de regels in de verkeerde volgorde zetten. Rekenvoorbeeld bij m = 0,50 kg, C = 8,0 N/m, u = 0,100 m, dt = 0,050 s: Fres = −0,80 N, a = −1,6 m/s², v = −0,080 m/s, u = 0,096 m.
Een massa zit onder de evenwichtsstand (u is negatief). Welke richting heeft Fres?
Omlaag, van de evenwichtsstand af
Omhoog, maar alleen bij grote uitwijking
Er is geen kracht in de uiterste stand
Omhoog, naar de evenwichtsstand toe
Fres = −C·u met u < 0 geeft Fres > 0, dus omhoog, naar de evenwichtsstand. Fout: Fres in de richting van u (omlaag), of denken dat Fres alleen bij de uiterste stand ontbreekt. Syllabus B1.1.
Vul in
Fres = −C·u is de voorwaarde voor een harmonische trilling; het minteken betekent dat Fres tegengesteld aan u gericht is.
Syllabus B1.1: harmonische trilling; kracht evenredig met en tegengesteld gericht aan de uitwijking.
(u,t)-diagram met amplitude A en periode T
EXAMENSTOF · B1 · HARMONISCHE TRILLING
De sinus als beschrijving
u = A·sin(2πt/T) beschrijft een trilling die in de evenwichtsstand begint, omhoog.
Zet je rekenmachine op radialen: de 2π zit al in de formule.
Je berekent u als t gegeven is; t uitrekenen uit een gegeven u hoeft niet.
Voorbeeld: A = 4,0 cm, T = 0,80 s en t = 0,10 s geeft u = 4,0·sin(π/4) = 2,8 cm.
Syllabus B1.1 en formule u = A·sin(2πt/T), niet: uitrekenen van t als u gegeven is. Controle: 2π·0,10/0,80 = π/4 = 0,7854 rad; sin = 0,7071; 4,0 × 0,7071 = 2,83 cm, met 2 significante cijfers 2,8 cm. Veelgemaakte fout: rekenmachine in graden, dan krijg je 0,0 cm. Image credit: Eigen figuur
Sinus op een oscilloscoop (foto: Pittigrilli, CC BY-SA 4.0)
EXAMENSTOF · B1 · HARMONISCHE TRILLING
De gereduceerde fase
De fase φ = t/T is het aantal perioden dat al doorlopen is; φ heeft geen eenheid.
De gereduceerde fase is de fase zonder de hele perioden: een getal tussen 0 en 1.
Gereduceerde fase 0,25: u is maximaal. Bij 0,50 is u weer nul, bij 0,75 minimaal.
Voorbeeld: T = 0,80 s en t = 1,0 s geeft φ = 1,25; de gereduceerde fase is 0,25.
Syllabus B1.1: vakbegrip gereduceerde fase; B1.5: minimaal in de context oscillogram en cardiogram (T aflezen, dan t delen door T). Controle: 1,0/0,80 = 1,25; zonder de hele periode blijft 0,25 over. u = A·sin(2πφ): sin(2π·0,25) = 1, sin(2π·0,50) = 0 en sin(2π·0,75) = −1. Veelgemaakte fout: de fase (1,25) geven als om de gereduceerde fase (0,25) gevraagd wordt. Veelgemaakte fout: φ in seconden geven, of t en T in verschillende eenheden (ms en s). Image credit: Pittigrilli / Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0
Animatie: twee trillingen met faseverschil 0,25
EXAMENSTOF · B1 · HARMONISCHE TRILLING
Het faseverschil
Δφ = Δt/T: het faseverschil is het aantal perioden dat de ene trilling voor of achter loopt.
Beide trillingen hebben dezelfde T. Δt is het tijdverschil tussen twee gelijke punten, zoals twee toppen.
In de animatie: Δt = 0,50 s en T = 2,0 s, dus Δφ = 0,25.
Δφ = 0 of 1: gelijk in de pas. Δφ = 0,50: de ene is omhoog als de andere omlaag is.
Syllabus B1.1: faseverschil; formule Δφ = Δt/T. De animatie toont twee systemen; het tweede loopt 0,50 s achter. Kijkvraag: wat gebeurt er met Δφ als je Δt verdubbelt? (Δφ wordt 0,50: tegengesteld.) Veelgemaakte fout: Δt en T in verschillende eenheden. Image credit: Eigen animatie
Twee toppen liggen 0,15 s uit elkaar en T = 0,50 s. Wat is het faseverschil Δφ?
0,15
0,30
3,3
0,70
Δφ = Δt/T = 0,15/0,50 = 0,30. Fout: Δt zelf (0,15), omgekeerd delen (3,3), of 1 − Δφ (0,70). Controle: 0,30 × 0,50 = 0,15. Syllabus B1.1.
T = 2,0 s, t = 3,5 s. Gereduceerde fase?
Fase φ = t/T = 3,5/2,0 = 1,75; zonder de hele periode is de gereduceerde fase 0,75 (geen eenheid). Verwachte fout: 1,75 (de fase zelf) of 0,57 (T/t). Syllabus B1.1.
Bungeejumper aan een koord (foto: Poni Abraham, CC0)
EXAMENSTOF · B1 · HARMONISCHE TRILLING
Het massa-veersysteem
Een massa aan een veer met veerconstante C trilt rond de evenwichtsstand: een massa-veersysteem.
T = 2π·√(m/C): T in s, m in kg, C in N/m. Staat in je informatieboek.
De eigenfrequentie is f = 1/T: de frequentie waarmee het systeem vanzelf trilt.
T hangt niet af van A. Voorbeeld: m = 0,90 kg en C = 16 N/m geeft T = 1,5 s.
Syllabus B1.2: berekeningen aan de eigentrilling van een massa-veersysteem; vakbegrip eigenfrequentie. Controle: 0,90/16 = 0,05625; wortel 0,2372; × 2π = 1,490 s, met 2 significante cijfers 1,5 s. De bungeejumper is een benadering van een massa-veersysteem. Veelgemaakte fouten: wortel of 2π vergeten, m en C omdraaien. Image credit: Poni Abraham / Wikimedia Commons, CC0
Raaklijn in de evenwichtsstand: de helling is vmax
EXAMENSTOF · B1 · HARMONISCHE TRILLING
De maximale snelheid
In de evenwichtsstand is de snelheid maximaal, in de uiterste stand is v = 0.
vmax = 2πA/T: vmax in m/s, A in m, T in s. Staat in je informatieboek.
Je vindt vmax ook als de helling van de raaklijn aan het (u,t)-diagram in de evenwichtsstand.
Voorbeeld: A = 3,0 cm en T = 1,2 s geeft vmax = 2π·0,030/1,2 = 0,16 m/s.
Syllabus B1.1 en B1.5: eigenschappen uit (u,t)-diagrammen; formule vmax = 2πA/T. Controle: 2π × 0,030 = 0,1885; /1,2 = 0,157 m/s, met 2 significante cijfers 0,16 m/s. In het diagram is de gestippelde raaklijn in de oorsprong de steilste helling. Veelgemaakte fouten: A in cm laten staan (dan komt er 16 uit) en 2π vergeten. Image credit: Eigen figuur
Massademper in een wolkenkrabber, Taipei (foto: Johan Jönsson, CC BY-SA 4.0)
EXAMENSTOF · B1 · HARMONISCHE TRILLING
Resonantie
Stoot je een systeem periodiek aan met zijn eigenfrequentie, dan groeit de amplitude: resonantie.
Gewenst: een stemvork op een klankkast. Ongewenst: een brug of gebouw dat gaat meebewegen.
Een massademper in een gebouw trilt tegen: zijn eigenfrequentie is afgestemd op die van het gebouw.
Syllabus B1.2: vakbegrip resonantie. Rekenen gebeurt alleen aan het massa-veersysteem; de rest is context. Een massademper is een grote massa aan veren of kabels die met het gebouw meebeweegt en de uitwijking beperkt. Veelgemaakte fout: denken dat resonantie bij elke aanstootfrequentie optreedt. Image credit: Johan Jönsson / Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0
Een veer wordt vervangen door een twee keer zo stugge veer. Wat gebeurt er met f?
f wordt √2 keer zo groot
f wordt 2 keer zo groot
f wordt √2 keer zo klein
f blijft gelijk
f = (1/2π)·√(C/m): C verdubbelt, dus f wordt √2 keer zo groot. Fout: rechtevenredig (2), de verkeerde richting (kleiner) of denken dat alleen m telt. Syllabus B1.2.
Vul in
T van een massa-veersysteem hangt af van m en C; de amplitude speelt geen rol.
T = 2π·√(m/C) bevat A niet. Syllabus B1.2.
Wat vond je het lastigst in deze les?
Fase en faseverschil
De sinusformule en radialen
Het numeriek model
Massa-veer en vmax
Gebruik de uitslag om te bepalen waar je in de training extra aandacht aan geeft.
Massademper: waarom dezelfde f als het gebouw?
Goed: zo komt de demper juist in resonantie als het gebouw met zijn eigenfrequentie trilt; de demper beweegt tegen het gebouw in en neemt energie op, zodat de uitwijking van het gebouw klein blijft. Syllabus B1.2: resonantie.
EXAMENSTOF · B1 · HARMONISCHE TRILLING
Begrippen (1/2)
harmonische trilling: trilling waarbij Fres = −C·u: het (u,t)-diagram is een sinus
amplitude: de grootste uitwijking A
periode: tijd van één volledige trilling, T in s
gereduceerde fase: de fase φ = t/T zonder de hele perioden, tussen 0 en 1
faseverschil: Δφ = Δt/T tussen twee trillingen met dezelfde T
Deze slide heeft geen instructies
EXAMENSTOF · B1 · HARMONISCHE TRILLING
Begrippen (2/2)
numeriek model: stap voor stap rekenen met startwaarden en modelregels
eigenfrequentie: de frequentie waarmee een systeem vanzelf trilt
resonantie: aanstoten met de eigenfrequentie, waardoor de amplitude groot wordt
massa-veersysteem: een massa aan een veer die trilt, T = 2π·√(m/C)
maximale snelheid: vmax = 2πA/T, in de evenwichtsstand
Deze slide heeft geen instructies
