§2.5 Exponentieel verband (leerjaar 4)
2
Verbanden
Paragraaf 2.5
Exponentieel verband
Een filmpje verdubbelt elke dag in views. Hoeveel zijn het er na een maand?
Gemaakt bij Getal & Ruimte, leerjaar 4, vmbo-kgt (mavo)
Introductie
Onderdelen in deze les
2
Verbanden
Paragraaf 2.5
Exponentieel verband
Een filmpje verdubbelt elke dag in views. Hoeveel zijn het er na een maand?
Gemaakt bij Getal & Ruimte, leerjaar 4, vmbo-kgt (mavo)
Les bij Getal & Ruimte, leerjaar 4, hoofdstuk 2 Verbanden, paragraaf 2.5 Exponentieel verband. Ongeveer 40 minuten, mavo. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 2
Paragraaf 2.5
2.5 Exponentieel verband
Leerdoelen
2.5.1
Je kunt aan een tabel of grafiek zien dat een verband exponentieel is.
2.5.2
Je kunt de groeifactor en de beginwaarde bepalen in y = b · gᵗ.
2.5.3
Je kunt met de formule y = b · gᵗ een waarde berekenen.
De leerdoelen staan in het boek bovenaan de paragraaf. Aan het eind van de les komen ze terug in de checklist. Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 2
Paragraaf 2.5
Startvraag
Viral gegaan
Een filmpje heeft 200 views. Het aantal verdubbelt elke dag. Hoeveel views zijn er na 3 dagen?
600
800
1.600
3.200
200 → 400 → 800 → 1.600: drie keer verdubbelen, dus 200 · 2³ = 1.600. Wie 600 kiest, rekent 200 · 3. Wie 800 kiest, telt er elke dag 200 bij. Wie 3.200 kiest, verdubbelt vier keer. Laat leerlingen het verschil tussen erbij en keer benoemen.
Hoofdstuk 2
Paragraaf 2.5
Exponentieel verband
Een video heeft 50 views en het aantal verdubbelt elke dag: N = 50 · 2ᵗ. Bij een exponentieel verband vermenigvuldig je bij elke stap met dezelfde factor, de groeifactor g. Is g groter dan 1, dan groeit N. Ligt g tussen 0 en 1, dan neemt N af.
De grafiek is geen rechte lijn: bij elke stap van 1 naar rechts wordt y met dezelfde factor vermenigvuldigd, niet met hetzelfde getal opgeteld. Vergelijk met lineair: daar telt a op per stap. Vraag: hoeveel views zijn er na 6 dagen? Antwoord: 50 · 64 = 3.200. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 2
Paragraaf 2.5
Exponentiële formule
beginwaarde · groeifactor, t keer
y = b · gᵗ
naam
letter
hoe vind je het
beginwaarde
b
y bij t = 0
groeifactor
g
factor per stap
Je vindt g door een y-waarde te delen door de vorige. Bij 800 en 1.600: g = 1.600 : 800 = 2.
De groeifactor g hoort bij één tijdstap van 1. Deel dus twee opeenvolgende waarden, bij t en t + 1. Wie de waarden andersom deelt, krijgt 0,5 in plaats van 2: dat is een afname. Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 2
Paragraaf 2.5
Opdrachten Kennis
1
Wat is de groeifactor van het verband in de tabel?
40
0,5
150
1,5
120 : 80 = 1,5 en 180 : 120 = 1,5 en 270 : 180 = 1,5. Dus g = 1,5. Wie 40 kiest, neemt het verschil 120 − 80, een lineaire redenering. Wie 150 kiest, geeft het procentuele resultaat. Wie 0,5 kiest, neemt alleen het deel dat erbij komt. Image credit: Eigen figuur, LessonUp
Hoofdstuk 2
Paragraaf 2.5
Voorbeeldopdracht 1
Voor een kolonie bacteriën geldt N = 300 · 3ᵗ (t in uur). Bereken N na 4 uur.
gegeven
N = 300 · 3ᵗ
t = 4
uitwerking
3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81
N = 300 · 81 = 24.300
antwoord
24.300 bacteriën
Eerst de macht uitrekenen, daarna vermenigvuldigen met de beginwaarde. Wie 300 · 3 · 4 = 3.600 rekent, vermenigvuldigt met 4 in plaats van de macht te nemen. Wie (300 · 3)⁴ rekent, vergeet de haakjes anders te plaatsen: de macht hoort alleen bij 3. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 2
Paragraaf 2.5
Opdrachten Toepassing
2
Een auto verliest waarde: W = 18.000 · 0,8ᵗ (t in jaren). Bereken W na 3 jaar in euro.
0,8³ = 0,512 en 18.000 · 0,512 = 9.216. Wie 18.000 · 0,8 · 3 = 43.200 rekent, vermenigvuldigt met 3 in plaats van de macht te nemen. Wie 18.000 · 0,24 rekent, kwadrateert foutief. De groeifactor 0,8 betekent 20% afname per jaar.
Hoofdstuk 2
Paragraaf 2.5
Opdrachten Toepassing
3
Een kolonie begint met 40 dieren en groeit elke week met 25%. Welke formule hoort erbij?
N = 40 · 1,25ᵗ
N = 40 · 0,25ᵗ
N = 40 + 25t
N = 25 · 1,40ᵗ
De beginwaarde is 40 en 25% groei betekent g = 1 + 0,25 = 1,25. Wie 0,25 kiest, vergeet de 1 erbij. Wie N = 40 + 25t kiest, maakt er een lineair verband van. Wie N = 25 · 1,40 kiest, verwisselt begin en groei.
Vul de ontbrekende woorden en getallen in.
Hoofdstuk 2
Paragraaf 2.5
Opdrachten Toepassing
4
Bij y = b · gᵗ is b de beginwaarde.
Bij g = 0,9 neemt y per stap af.
Bij g = 1,2 groeit y met 20% per stap.
b is y bij t = 0. g < 1 betekent afname, g > 1 groei. g = 1,2 is 20% groei, want 1,2 − 1 = 0,2. Afleider 120 is het percentage dat je krijgt als je g = 1,2 als 120% leest in plaats van de groei eruit te halen.
Hoofdstuk 2
Paragraaf 2.5
Opdrachten Toepassing
★ 5
Het medicijn in het bloed neemt exponentieel af. Bereken de hoeveelheid in mg na 3 uur.
b = 80 en g = 60 : 80 = 0,75. Na 3 uur: 80 · 0,75³ = 80 · 0,421875 = 33,75 mg. Wie 80 − 3 · 20 = 20 rekent, behandelt het als lineair verband. Wie 80 · 0,75 · 3 = 180 rekent, vermenigvuldigt met 3 in plaats van de macht te nemen. Image credit: Eigen figuur, LessonUp
Hoofdstuk 2
Paragraaf 2.5
V E R D E R K I J K E R
Het dubbelgevouwen papier
Een vel papier is 0,1 mm dik. Na 10 keer dubbelvouwen is de stapel 0,1 · 2¹⁰ = 102,4 mm, ruim 10 cm. Na 20 keer is het al 0,1 · 2²⁰ ≈ 105 m. Hoe hoog is de stapel na 30 keer?
Na 30 keer: 0,1 · 2³⁰ mm ≈ 107 miljoen mm, dat is ongeveer 107 km. In de praktijk lukt vouwen maar ongeveer 7 keer, maar de wiskunde laat zien hoe snel exponentiële groei gaat. Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 2
Paragraaf 2.5
Checklist leerdoelen
Welk leerdoel vind je nog het lastigst?
2.5.1 Exponentieel verband herkennen
2.5.2 g en b bepalen
2.5.3 Rekenen met de formule
Ik kan ze allemaal
In het boek sluit elke paragraaf af met de checklist leerdoelen. Gebruik de uitslag om te kiezen wat je de volgende les herhaalt.
Image credit: LessonUp
