Gravitatie (Natuurkunde vwo), les 1: Uitleg
Aarde boven de maan, Apollo 8, 1968 (foto: Bill Anders, NASA, publiek domein)
EXAMENSTOF · C3 · GRAVITATIE
Gravitatie
Examenstof natuurkunde vwo
Lesson duration is: 45 minIntroduction
Items in this lesson
Aarde boven de maan, Apollo 8, 1968 (foto: Bill Anders, NASA, publiek domein)
EXAMENSTOF · C3 · GRAVITATIE
Gravitatie
Examenstof natuurkunde vwo
Les 1 van 3: uitleg. Les 2 is de examentraining, les 3 de terugblik met quiz. Syllabus: C3.1, C3.2. Image credit: Bill Anders, NASA / Wikimedia Commons, publiek domein
EXAMENSTOF · C3 · GRAVITATIE
Wat ga je kunnen?
Ik kan rekenen en redeneren met cirkelbewegingen, gravitatiekracht, gravitatie-energie en banen van satellieten.
This item has no instructions
Wat heb je nodig om een satelliet in een baan om de aarde te krijgen?
Verwacht: raket, snelheid, hoogte, energie, zwaartekracht, kracht naar het midden. Hang de woorden op aan Fg, Fmpz en Eg: die komen in de les terug. Veelgemaakt idee: ver weg van de aarde is er geen zwaartekracht meer. Syllabus C3.1 en C3.2.
Apollo 8-bemanning in een centrifuge, 1968 (foto: NASA, publiek domein)
EXAMENSTOF · C3 · GRAVITATIE
Cirkelbeweging en baansnelheid
Bij een cirkelbeweging met constante baansnelheid is de baan een cirkel met baanstraal r.
De omlooptijd T is de tijd voor één omloop. Daarbij legt het voorwerp 2π·r af.
v = 2π·r/T: de baansnelheid in m/s, met r in m en T in s (staat in je informatieboek).
De grootte van v blijft gelijk, de richting niet: er is dus een versnelling en dus een Fres.
Syllabus C3.1: cirkelbewegingen met constante baansnelheid analyseren; vakbegrippen omlooptijd, baanstraal en baansnelheid. De foto laat de gondola van een centrifuge zien: wie erin zit, draait in een cirkel. Veelgemaakte fout: denken dat een constante snelheid betekent dat er geen resulterende kracht werkt. Dat geldt alleen als ook de richting gelijk blijft. Reken T altijd om naar seconden. Image credit: NASA Johnson Space Center / Wikimedia Commons, publiek domein
EXAMENSTOF · C3 · GRAVITATIE
Middelpuntzoekende kracht
De versnelling wijst naar het middelpunt van de cirkel, dus de resulterende kracht ook: de middelpuntzoekende kracht.
Fmpz = m·v²/r: Fmpz in N, m in kg, v in m/s en r in m (staat in je informatieboek).
Met v = 2π·r/T wordt dit Fmpz = 4π²·m·r/T². Bij gelijke m en r is Fmpz dus evenredig met 1/T².
Fmpz is geen extra kracht: het is de naam voor de kracht (of de som van krachten) naar het midden.
Je rekent alleen met Fmpz als één kracht die rol heeft, zoals de spankracht bij een steen op een glad vlak.
Syllabus C3.1: berekeningen aan de middelpuntzoekende kracht alleen in situaties waarin slechts één kracht de rol van middelpuntzoekende kracht heeft. Bij tekeningen en redeneringen mogen er meer krachten zijn, bij berekeningen niet. Afleiding: v² = 4π²·r²/T², dus m·v²/r = 4π²·m·r/T². Veelgemaakte fout: Fmpz tekenen als extra kracht naast de spankracht, of een kracht naar buiten.
EXAMENSTOF · C3 · GRAVITATIE
Rekenen met Fmpz
Een steen van 0,25 kg draait aan een touw van 0,90 m over een glad horizontaal vlak, met T = 0,60 s.
v = 2π·r/T = 2π · 0,90 / 0,60 = 9,4 m/s.
Fmpz = m·v²/r = 0,25 · 9,4² / 0,90 = 25 N. Dat is de spankracht in het touw.
r twee keer zo groot bij dezelfde v: Fmpz wordt 2 keer zo klein.
T twee keer zo kort bij gelijke r: v wordt 2 keer zo groot en Fmpz 4 keer zo groot.
Syllabus C3.1. Rekenstappen: 2π · 0,90 = 5,655; 5,655 / 0,60 = 9,425 m/s. Fmpz = 0,25 · 9,425² / 0,90 = 0,25 · 88,83 / 0,90 = 24,67 N, afgerond op twee significante cijfers 25 N (gegevens met twee cijfers). Controle met Fmpz = 4π²·m·r/T²: 39,48 · 0,25 · 0,90 / 0,36 = 24,67 N. Veelgemaakte fouten: v niet kwadrateren, T niet omrekenen of 2π vergeten.
Een steen draait aan een touw over een glad horizontaal vlak. Welke kracht is Fmpz?
De zwaartekracht op de steen
De spankracht van het touw
Een kracht van de steen naar buiten
De normaalkracht van het vlak
De spankracht is de enige kracht in het vlak en wijst naar het midden. Zwaartekracht en normaalkracht werken verticaal en heffen elkaar op. Fout: een kracht naar buiten, die bestaat niet. Syllabus C3.1.
Vul in
Bij een cirkelbeweging met constante baansnelheid verandert steeds de richting van v. De versnelling wijst daarom naar het middelpunt van de cirkel.
Syllabus C3.1: begrippen baansnelheid en middelpuntzoekende kracht. Fout: denken dat de grootte van v verandert of dat de omlooptijd de snelheid is.
Aarde boven de maan, Apollo 8, 1968 (foto: Bill Anders, NASA, publiek domein)
EXAMENSTOF · C3 · GRAVITATIE
Gravitatiekracht
Twee massa's trekken elkaar aan: gravitatiewisselwerking. De krachten zijn even groot en tegengesteld.
Fg = G·m·M/r²: m, M in kg en r in m, tussen de middelpunten (staat in je informatieboek).
G is de gravitatieconstante. r twee keer zo groot geeft Fg 4 keer zo klein.
De lichtere maan versnelt door Fg veel sterker dan de aarde, terwijl de krachten even groot zijn.
Syllabus C3.2: gravitatiekracht en vakbegrip gravitatiewisselwerking; context maan. G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kg² (informatieboek, op drie cijfers gelijk in Binas en ScienceData). De derde wet van Newton hoort bij de lessen over wisselwerking: de kracht van de aarde op de maan is even groot als die van de maan op de aarde. Veelgemaakte fouten: r opvatten als hoogte boven het oppervlak (het is de afstand tussen de middelpunten) en denken dat de zwaardere massa de grotere kracht uitoefent. Image credit: Bill Anders, NASA / Wikimedia Commons, publiek domein
Astronaut op de maan, Apollo 17, 1972 (foto: Eugene Cernan, NASA, publiek domein)
EXAMENSTOF · C3 · GRAVITATIE
Valversnelling op een planeet
Aan het oppervlak is de zwaartekracht de gravitatiekracht: m·g = G·m·M/r².
g = G·M/r²: M en r zijn de massa en de straal van de planeet.
De massa m van het voorwerp valt weg: g hangt alleen af van M en r.
De maan heeft veel minder massa dan de aarde en een kleinere straal: g is daar kleiner.
Syllabus C3.2: uitleggen hoe de valversnelling aan het planeetoppervlak afhangt van de massa en de straal van de planeet; context maan. Voor de maan geldt M = 7,35·10²² kg en r = 1,74·10⁶ m: g = 6,67·10⁻¹¹ · 7,35·10²² / (1,74·10⁶)² = 1,62 m/s². Veelgemaakte fout: denken dat g van de massa van het vallende voorwerp afhangt. De astronaut op de foto weegt op de maan minder, maar zijn massa is gelijk. Image credit: Eugene A. Cernan, NASA / Wikimedia Commons, publiek domein
Marsrover Curiosity, zelfportret op Mars, 2012 (foto: NASA/JPL, publiek domein)
EXAMENSTOF · C3 · GRAVITATIE
g op Mars en op hoogte
Mars: M = 6,42·10²³ kg en r = 3,39·10⁶ m. Dan is g = G·M/r² = 3,73 m/s².
Op hoogte h boven de planeet is r = R + h: de afstand tot het middelpunt.
Aarde (R = 6,37·10⁶ m, M = 5,97·10²⁴ kg): bij h = 1,0·10⁶ m is g = 7,3 m/s², aan de grond 9,81.
Zo geldt g = G·M/(R + h)²: g neemt kwadratisch af met de afstand.
Syllabus C3.2: context planeet. Rekenstappen Mars: G·M = 6,67·10⁻¹¹ · 6,42·10²³ = 4,282·10¹³; (3,39·10⁶)² = 1,149·10¹³; 4,282·10¹³ / 1,149·10¹³ = 3,726, dus 3,73 m/s². Aarde op hoogte: G·M = 3,982·10¹⁴; (7,37·10⁶)² = 5,432·10¹³; g = 7,331 m/s², afgerond 7,3 m/s² (h heeft twee cijfers). Aan het oppervlak: 3,982·10¹⁴ / (6,37·10⁶)² = 9,81 m/s². Veelgemaakte fout: r gelijkstellen aan de hoogte. Image credit: NASA/JPL-Caltech/MSSS / Wikimedia Commons, publiek domein
Een voorwerp heeft dubbele massa, zelfde plek bij de aarde. Wat gebeurt er?
Fg blijft gelijk, g wordt 2 keer zo groot
Fg en g worden allebei 2 keer zo groot
Fg wordt 2 keer zo groot, g wordt 2 keer zo klein
Fg wordt 2 keer zo groot, g blijft gelijk
Fg = G·m·M/r² is evenredig met m. g = G·M/r² bevat m niet, dus g blijft gelijk. Fouten: massa en versnelling door elkaar halen. Syllabus C3.2.
Animatie: twee satellieten in een cirkelbaan, binnen en buiten
EXAMENSTOF · C3 · GRAVITATIE
Fg is de Fmpz
Op een satelliet in een cirkelbaan werkt alleen Fg van de planeet: die kracht is de Fmpz.
Fmpz = Fg: m·v²/r = G·m·M/r². De massa m van de satelliet valt weg.
v = √(G·M/r): kleinere baanstraal, grotere baansnelheid (v is evenredig met 1/√r).
Met v = 2π·r/T volgt r³ = G·M·T²/(4π²): een grotere r hoort bij een langere omlooptijd.
Syllabus C3.1 en C3.2: een satelliet in een gravitatieveld analyseren met de gravitatiekracht; context satelliet. Wat de leerlingen moeten zien in de animatie: de binnenste satelliet draait twee keer per omloop van de buitenste (T = 4 s en 8 s), heeft de langste v-pijl en de langste Fg-pijl. Kijkvraag: wat gebeurt er met v als r groter wordt? Antwoord: v wordt kleiner. In de animatie is de buitenste baanstraal 2^(2/3) = 1,59 keer de binnenste: dan is T twee keer zo groot, v 1,26 keer zo klein en Fg 2,5 keer zo klein. De formules v = √(G·M/r) en r³ = G·M·T²/(4π²) staan niet in het informatieboek: de leerling leidt ze af. Veelgemaakte fouten: r gelijkstellen aan de hoogte boven het oppervlak en de massa van de satelliet in v laten staan. Image credit: Eigen animatie
Ruimtetelescoop Hubble in een aardbaan, 2009 (foto: NASA, publiek domein)
EXAMENSTOF · C3 · GRAVITATIE
Rekenen aan een satelliet
Satelliet op h = 5,4·10⁵ m boven de aarde: r = 6,37·10⁶ m + 0,54·10⁶ m = 6,91·10⁶ m.
v = √(G·M/r) = √(6,67·10⁻¹¹ · 5,97·10²⁴ / 6,91·10⁶) = 7,59·10³ m/s.
T = 2π·r/v = 2π · 6,91·10⁶ / 7,59·10³ = 5,72·10³ s, ruim 95 minuten.
r vier keer zo groot: v wordt 2 keer zo klein en T wordt 8 keer zo groot.
Syllabus C3.1 en C3.2; context satelliet. De foto toont een ruimtetelescoop in een lage baan; de getallen zijn een rekenvoorbeeld, geen meting aan deze satelliet. Rekenstappen: G·M = 3,982·10¹⁴; gedeeld door 6,91·10⁶ is 5,763·10⁷; wortel 7,591·10³ m/s. T = 2π · 6,91·10⁶ / 7,591·10³ = 4,342·10⁷ / 7,591·10³ = 5,719·10³ s = 95,3 min. Controle met T = 2π·√(r³/(G·M)): √(3,299·10²⁰ / 3,982·10¹⁴) = 910,2; 2π · 910,2 = 5,719·10³ s. Evenredigheden: v ~ r^(-1/2), T ~ r^(3/2): 4^(3/2) = 8. Veelgemaakte fout: de hoogte in plaats van r invullen. Image credit: NASA / Wikimedia Commons, publiek domein
De aarde vanuit de ruimte, Apollo 17, 1972 (foto: NASA, publiek domein)
EXAMENSTOF · C3 · GRAVITATIE
Geostationaire baan
Geostationaire baan: T = één dag (8,64·10⁴ s), boven de evenaar, met de draairichting mee.
De satelliet staat dan steeds boven hetzelfde punt van de aarde.
r³ = G·M·T²/(4π²) geeft r = 4,223·10⁷ m (tussenantwoord).
Hoogte: h = r − R = 4,223·10⁷ − 0,637·10⁷ = 3,59·10⁷ m.
Syllabus C3.2: vakbegrip geostationaire baan; context satelliet. Rekenstappen: G·M·T² = 3,982·10¹⁴ · 7,465·10⁹ = 2,973·10²⁴; gedeeld door 4π² (39,48) is 7,530·10²²; derdemachtswortel 4,223·10⁷ m. h = 4,223·10⁷ − 6,37·10⁶ = 3,586·10⁷ m, afgerond 3,59·10⁷ m. In de les rekenen we met één dag (8,64·10⁴ s). Weersatellieten en communicatiesatellieten staan vaak in een geostationaire baan. Kijkvraag bij de foto: waarom moet de satelliet precies boven de evenaar staan? Antwoord: alleen dan ligt het middelpunt van de baan in het vlak van de evenaar, zodat hij met de aarde mee kan draaien. Veelgemaakte fout: denken dat een geostationaire satelliet stilstaat ten opzichte van de ruimte. Image credit: NASA / Apollo 17-bemanning / Wikimedia Commons, publiek domein
Zet op volgorde: hoogte geostationaire baan
Syllabus C3.2: geostationaire baan; volgorde van de berekening op de dia Geostationaire baan. Eerst T in s, dan r³ uit Fmpz = Fg, dan r, en pas daarna de hoogte boven het oppervlak.
Eg tegen r voor een voorwerp van 1,0·10³ kg bij de aarde
EXAMENSTOF · C3 · GRAVITATIE
Gravitatie-energie
Eg = −G·m·M/r (staat in je informatieboek): nul op oneindige afstand, dus overal negatief.
Dichter bij het middelpunt is Eg lager: een kleinere r geeft een meer negatieve Eg.
Een verschil geef je aan met ΔEg = Eg,eind − Eg,begin. Omhoog brengen kost energie: ΔEg is positief.
Dicht bij het oppervlak komt ΔEg bij benadering overeen met Ez = m·g·h (zie Energiebehoud).
Syllabus C3.2: gravitatie-energie (formule uit het informatieboek). Het diagram is gemaakt met m = 1,0·10³ kg en M = 5,97·10²⁴ kg: Eg = −3,98·10¹⁰ J bij r = 1,0·10⁷ m, −1,99·10¹⁰ J bij 2,0·10⁷ m en −1,00·10¹⁰ J bij 4,0·10⁷ m. Kijkvraag: wat gebeurt er met Eg als r heel groot wordt? Antwoord: Eg gaat naar nul. Ez = m·g·h en Ek horen bij het onderwerp Energiebehoud; verwijs ernaar. Benadering: ΔEg = G·m·M·(1/R − 1/(R+h)) ≈ G·m·M·h/R² = m·g·h voor h veel kleiner dan R. Veelgemaakte fout: een positieve Eg gebruiken of denken dat Eg bij het oppervlak nul is. Image credit: Eigen figuur
Animatie: Eg(r) en de totale energie van een voorwerp
EXAMENSTOF · C3 · GRAVITATIE
Ontsnappingssnelheid
Een voorwerp ontsnapt als het oneindig ver weg kan komen: Etot = Ek + Eg is dan minstens nul.
Grenswaarde aan het oppervlak: ½·m·v² − G·m·M/R = 0. De massa m valt weg.
ve = √(2·G·M/R). Met g = G·M/R² kan het ook: ve = √(2·g·R).
Aarde: ve = √(2 · 6,67·10⁻¹¹ · 5,97·10²⁴ / 6,37·10⁶) = 1,12·10⁴ m/s.
Syllabus C3.2: het verband toepassen tussen ontsnappingssnelheid en de massa en straal van een hemellichaam. Ek = ½·m·v² staat bij Energiebehoud. Wat de leerlingen moeten zien: bij Etot < 0 snijdt de Etot-lijn de Eg-kromme, daar is Ek nul en keert het voorwerp om; bij Etot = 0 komt de kromme de lijn alleen op oneindige afstand tegen, daar is Ek nul. Kijkvraag: waar is Ek het grootst? Antwoord: aan het begin, waar de afstand tussen lijn en kromme het grootst is. Rekenstappen aarde: 2 · 3,982·10¹⁴ / 6,37·10⁶ = 1,250·10⁸; wortel 1,118·10⁴ m/s, afgerond 1,12·10⁴ m/s. Controle met ve = √(2·g·R) = √(2 · 9,81 · 6,37·10⁶) = 1,118·10⁴ m/s. Wrijving met de lucht blijft buiten beschouwing. Veelgemaakte fouten: de factor 2 vergeten en denken dat zwaardere voorwerpen een hogere snelheid nodig hebben. Image credit: Eigen animatie
EXAMENSTOF · C3 · GRAVITATIE
Energie voor een baan
In een cirkelbaan is Ek = ½·m·v² = G·m·M/(2r) en Eg = −G·m·M/r, dus Ek = −½·Eg.
Totaal in de baan: Etot = Ek + Eg = −G·m·M/(2r).
Voorbeeld m = 1,0·10³ kg, baan r = 6,91·10⁶ m. Op het oppervlak (R = 6,37·10⁶ m, in rust): Etot = −6,25·10¹⁰ J.
In de baan: Etot = −2,88·10¹⁰ J. Minimaal nodig: ΔE = 3,37·10¹⁰ J (zonder wrijving, aardrotatie buiten beschouwing).
Syllabus C3.2: bewegingen in een gravitatieveld analyseren met de gravitatiekracht en de gravitatie-energie; context satelliet. Afleiding: uit Fmpz = Fg volgt m·v² = G·m·M/r, dus Ek = G·m·M/(2r). Rekenstappen: G·m·M = 6,67·10⁻¹¹ · 1,0·10³ · 5,97·10²⁴ = 3,982·10¹⁷. Op het oppervlak: −3,982·10¹⁷ / 6,37·10⁶ = −6,251·10¹⁰ J. In de baan: −3,982·10¹⁷ / (2 · 6,91·10⁶) = −2,881·10¹⁰ J. Verschil: 3,370·10¹⁰ J. Controle: Eg = −5,763·10¹⁰ J, Ek = +2,881·10¹⁰ J, som −2,881·10¹⁰ J. Het begin- en eindpunt hebben dezelfde massa; het verschil bevat dus ook de Ek in de baan. Veelgemaakte fout: alleen het verschil in Eg nemen en de Ek in de baan vergeten.
Waarom is Eg = −G·m·M/r altijd negatief?
Eg = 0 ligt oneindig ver weg, dichterbij lager
De massa's zijn negatief bij aantrekking
Fg wijst naar het midden, dus negatief
Eg wordt kleiner als r groter wordt
Eg is nul op oneindige afstand en wordt lager naarmate het voorwerp dichterbij komt, dus negatief. Fouten: massa's met een teken, de richting van Fg en omgekeerde afhankelijkheid van r. Syllabus C3.2.
Wat vond je het lastigst in deze les?
Rekenen met Fmpz en v = 2πr/T
Fg en g op een planeet
Fg = Fmpz bij een baan
Eg en de ontsnappingssnelheid
Gebruik de uitslag om in de training extra aandacht te geven aan het lastigste onderdeel.
Waarom is v groter bij een lagere baan?
Goed antwoord: bij kleinere r is Fg groter, en Fmpz = Fg geeft v² = G·M/r, dus v groter. Verwachte fout: een satelliet moet sneller omdat hij anders valt, zonder Fg erbij. Syllabus C3.2.
EXAMENSTOF · C3 · GRAVITATIE
Begrippen (1/2)
baanstraal: De straal r van de cirkelbaan, in m; bij een satelliet de afstand tot het middelpunt van de planeet.
omlooptijd: De tijd T voor één omloop, in s.
baansnelheid: De snelheid v langs de baan: v = 2π·r/T, in m/s.
middelpuntzoekende kracht: De kracht naar het middelpunt van de cirkel: Fmpz = m·v²/r, in N.
gravitatiewisselwerking: De aantrekking tussen twee massa's; de krachten zijn even groot en tegengesteld.
This item has no instructions
EXAMENSTOF · C3 · GRAVITATIE
Begrippen (2/2)
gravitatieconstante: De vaste waarde G in Fg = G·m·M/r² en Eg = −G·m·M/r; op te zoeken in je informatieboek.
gravitatie-energie: Eg = −G·m·M/r, in J; nul op oneindige afstand.
ontsnappingssnelheid: De minimale snelheid om oneindig ver weg te komen: ve = √(2·G·M/R).
geostationaire baan: Baan met T = één dag boven de evenaar: de satelliet staat boven hetzelfde punt.
satelliet: Een voorwerp in een baan om een planeet, zoals de maan of een ruimtetelescoop.
This item has no instructions
