H7.3 & 7.4 Afstand Punt of lijn tot cirkel

H7.1 & H7.2:    Je weet inmiddels...
  • Hoe je de vergelijking van een loodrechte lijn opstelt.
  • Hoe je de afstand tussen twee punten berekent. 
  • Hoe je de afstand tussen een punt en een lijn berekent.
  • Hoe je een kwadraat afsplitst met een cirkelvergeijking
  • Hoe je straal je de straal uitrekent.
H7.3 Leer de afstand van een punt middelpunt van een cirkel?H7.4 Leer de afstand een van een raaklijn aan een cirkel?
1 / 31
next
Slide 1: Slide
WiskundeMiddelbare schoolhavoLeerjaar 4

This lesson contains 31 slides, with interactive quizzes, text slides and 3 videos.

time-iconLesson duration is: 15 min

Items in this lesson

H7.1 & H7.2:    Je weet inmiddels...
  • Hoe je de vergelijking van een loodrechte lijn opstelt.
  • Hoe je de afstand tussen twee punten berekent. 
  • Hoe je de afstand tussen een punt en een lijn berekent.
  • Hoe je een kwadraat afsplitst met een cirkelvergeijking
  • Hoe je straal je de straal uitrekent.
H7.3 Leer de afstand van een punt middelpunt van een cirkel?H7.4 Leer de afstand een van een raaklijn aan een cirkel?

Slide 1 - Slide

This item has no instructions

Kwadraat afsplitsen bij tweetermen
Wat zijn merkwaardige producten?
(a - b) (a - b) =  a² - b²                 (Verschil van twee kwadraten)

parabool: verschil van twee kwadraten
                        (a + b)² = a² + 2ab + b²       
voorbeeld:     (x + 2)² = x² + 2•x•2 + 2²   = x² + 4x + 4




Slide 2 - Slide

This item has no instructions

Kwadraat afsplitsen bij drietermen    
Wat zijn merkwaardige producten?
(x - a) (y + b)  = (x-a)² + (y- b)²    (Verschil van drie kwadraten)
cirkel: verschil van drie kwadraten
(x - a)² + (y - b)²  = x² - 2xa + a²  +  y² - 2by + b² = 0   
voorbeeld:            
(x - 8)² + (y - 4)²  = x² - 2•x•8 + 8²  + y² - 2•y•4 + 4²  = 0     
                                 x² - 16x + 64     + y² - 8y + 16       = 0
                                 x² - 16x + y² - 8y + 70 =0




Slide 3 - Slide

This item has no instructions

Slide 4 - Video

This item has no instructions

 
1.  een cirkelvergelijking:
    
    kwadraat afsplitsen van: 


2. Bereken van r straal:  

3. Bereken Middelpunt van c:  4. Bereken rc of d(M) naar            punt A(x,y) of lijn k: y =ax +b

x² - ax + y² - by - c = 0

(x-a)² + (y-b)² = 0 
x² + 2ab*x + y² + 2ab*y = 0     

(x-a)² + (y-b)² = r² 
 
(x-1)² + (y-2)² = 3²  ⇒  (1,2)   
          
           of met Pythagoras of TOA


Stappen: Straal uitreken met een cirkelvergelijking
ΔxΔy

Slide 5 - Slide

This item has no instructions

cirkelvergelijking uitrekenen met M =(1,2) en r = 3 cirkelvergelijking: x² - ax + y² - by - c = 0

(x-a)²  + (y-b)²  = r²
      (x-1)²                     +        (y-2)²                  = 3²
x² - (2*a*x) x + 1²       +    y² - (2*a*y) y + 2² = 9
     x² - (2*1*1) x + 1²    +    y² - (2*1*2) y + 2² = 9
     x² -   2x                  +    y² - 4y  = 4
     x² - 2x + y² - 4y -4 = 0
           

Slide 6 - Slide

This item has no instructions

cirkelvergelijking uitrekenen met M =(1,2) en cirkel raakt x-as    cirkelvergelijking: x² - ax + y² - by - c = 0
(x-a)²  + (y-b)²  = 2²   
      (x-1)²                     +        (y-2)²                  = 2²

x² - (2*a*x) x + 1²       +    y² - (2*a*y) y + 2² = 4
     x² - (2*1*1) x + 1²    +    y² - (2*1*2) y + 2² = 4
     x² -   2x                  +    y² - 4y  = -1
     x² - 2x + y² - 4y +1 = 0
           

Slide 7 - Slide

This item has no instructions

Maak de volgende som: kwadraat afsplitsen bij drietermen    
De formule y = x² + 10x     + 25  naar vorm y = (x + ...)² schrijven.
                y = +(2*a)+ 5²                                 y = (x - 5)²  
               x² en 25 zijn beide kwadraten!

De formule y = (x + 5)² kun je in vorm y = x² + 2a + a²  schrijven
                       y = x² + (2*5) + 25    of (x+5) * (x+5)   
                     





Slide 8 - Slide

This item has no instructions

Slide 9 - Video

This item has no instructions

Cirkels en afstanden
  • De afstand tussen twee meetkundige figuren is de lengte van het kortste verbindingslijnstuk tussen deze twee figuren.
  • Je hebt geleerd hoe je de afstand van een punt tot een cirkel berekent. 

Slide 10 - Slide

This item has no instructions

Cirkels en afstanden
  • Afstand van punt tot cirkel c met                                             middelpunt M en straal r
 
  • Voor punt A binnen c geldt:   d(A,c) =  r - d(M,A)

  • Voor punt B buiten c geldt:    d(B,c) = d(M,B) - r.

Slide 11 - Slide

This item has no instructions

Cirkels en afstanden
  • Afstand van punt tot cirkel c met                                             middelpunt M en straal r
 
  • Voor punt A binnen c geldt:   d(A,c) =  r - d(M,A)
  • Voor punt B buiten c geldt:    d(B,c) = d(M,B) - r.

Slide 12 - Slide

This item has no instructions

Ligt punt A buiten binnen of op de gegeven cirkel?
Cirkelvergelijking zo schrijven dat je M en r af kunt lezen
bereken d(A,M)
vergelijk d(A,M) met de straal
         * d(A,M) < straal : A ligt binnen de cirkel
         * d(A,M) = straal: A ligt op de cirkel
         * d(B,M) > straal: B ligt buiten de cirkel

Slide 13 - Slide

This item has no instructions

Gegeven: de cirkel c met vergelijking:


Ligt punt A(6,2) buiten, binnen of op de cirkel?
x2+y22x+6y=26
A
buiten
B
binnen
C
op

Slide 14 - Quiz

This item has no instructions

Afstand M naar A (6,2)?
Afstand A  naar c?                Afstand c naar A?   

Wat  moet je weten: 
1. coördinaten M (?,?)  A (6,2)      2. straal: d(M, de cirkel)            3.  d(M,A)       
    kwadraat afsplitsen:  
    straal =                                                               →                                                                                             →
dus cirkel met M (1,-3) en  de straal = 6
d(M,A) met M(1,-3) en A(6,2)


                                                                                    = 7
7,07>6 (straal), dus punt A ligt buiten de cirkel
Afstand A naar c? 7-  6= 1               Afstand c naar M?  6 (straal)
x2+y22x+6y=26
(x1)21+(y+3)29=26
(x1)2+(y+3)2=36
(23)2+(61)2507,07
x22x+y2+6y=26
x2+y22x+6y=26
36=6
(Δx)2+(Δy)2=d(M,A)

Slide 15 - Slide

This item has no instructions

7.4 Raaklijn aan een cirkel


Een raaklijn aan een cirkel staat altijd 
loodrecht op de straal naar de raaklijn.
d (M (a, b) tot het raakpunt A) = straal van cirkel.

Slide 16 - Slide

This item has no instructions

Slide 17 - Video

This item has no instructions

Drie situaties
1. coördinaten M + formule van lijn k is bekend 
    Vraag:  M is middelpunt van c. Formule van c is?2. cirkelformule  + punt A op c is bekend
     Vraag: Stel lijnformule op
 3. cirkelformule +  rc van de lijn bekend is.
      Vraag: Stel de lijnformule op.

Slide 18 - Slide

This item has no instructions

1.coördinaten M( xm, ym)+ formule van lijn k is bekend
   Vraag:  M middelpunt van c is formule van c is
Stappenplan:
vergelijking : xm en xm →
straal r staat loodrecht op de lijn k  .  Dus r = d( M,A)
Vraag 1: - coördinaten van A?
                 - Bereken je lijn l (vanuit M) ⊥ lijn k : ax + by=c  wordt bx - ay = d
                 - A = snijpunt van k en l. 
                 - Lijn l door M: l⊥k, dus rck * rcl= -1 of r=d(M,k) =d(M,A) 
  
(Δx)2+(Δ)2=d(M,A)
c:(xxm)2+(yym)2=r2

Slide 19 - Slide

This item has no instructions

1. som: coördinaten M ( 3,-4)  en k = x+2y=5
 
Stappenplan:   
1. vergelijking : xm en ym →
2. straal r staat loodrecht op de lijn k .  Dus r = d( M,A)
    Vraag 1: coördinaten van A?
                   a. Bereken je lijn l (vanuit M) ⊥ lijn k:   x+2y=5 wordt 2x-y=c met M ( 3,-4)
                   b. M ( 3,-4) invullen 2x-y=c   →    (2*3)-(1*-4) =10   →      l: 2x-y=10                                                                       c. A = snijpunt S van k en l.    x+2y=5     →   y=0 dus x=5  → A (5,0)
                                                                              2x-y=10   
    Vraag 2: Lijn l door M: l⊥k, dus rck * rcl= -1 of
  
c:(x3)2+(y4)2=r2
(53)2+(04)2=d(M,A)=(4+16)=20
(Δx)2+(Δ)2=d(M,A)

Slide 20 - Slide

This item has no instructions

Cirkels en raaklijnen
  • Is gegeven dat de lijn k de cirkel c: (x + 2)2 + (y + 1)2 = 17 raakt in het punt A(2,0), 
  • dan gebruik je de lijn l door het middelpunt (-2, -1) van c en A(2,0).
  • Er geldt rcl = (0--1)/(2--2) = 1/4 , dus rck = -4
  • k: y = -4x + b door A(2,0) geeft -4 * 2 + b = 0, dus b = 8.
  • Een vergelijking van k is k: y = -4x +8.

Slide 21 - Slide

This item has no instructions

Voorbeeld

Stel een vergelijking op van de cirkel c met middelpunt M(3,-2) die de lijn k: x + 3y = 7 raakt.

Slide 22 - Slide

This item has no instructions

Raaklijnprobleem 1
Stel vgl op van c met M(xm, ym) die lijn k raakt
  • Gebruik M om de cirkelvgl op te stellen:

  • stel vgl op van lijn m door M en loodrecht op k
  • bereken snijpunt m en k (S)
  • r =d(M,k) = d(M,S)
(xxm)2+(yym)2=r2

Slide 23 - Slide

This item has no instructions

Raaklijnprobleem 2
Stel vgl op van raaklijn l: y=ax+b aan cirkel c in punt B
  • Bereken rc van de lijn k door M en B
      rck=

  •  lijn l staat loodrecht op k, dus geldt
       bereken hiermee rcl=a
  • Bereken b door B in te vullen.
(xBxM)(yByM)
rclrck=1

Slide 24 - Slide

This item has no instructions

Raaklijnprobleem 3
Stel een vergelijking op van raaklijn k: y=ax+b aan c, waarbij a gegeven is.
- Bereken het snijpunt van k en c door middel van substitutie
- je krijgt dan een vergelijking in de vorm 
waarvan je discriminant D kunt berekenen
- Als k aan c raakt, is er 1 oplossing voor de vergelijking, dus moet gelden D=0 -> hieruit volgt b
ax2+bx+c=0
D=b24ac

Slide 25 - Slide

This item has no instructions

Cirkels en afstanden
  • Afstand punt A tot cirkel c met M en r
        * A binnen c: d(A,c)=r-d(M,A)
        * A buiten  c:d(A,c)=d(M,A)-r
  •  Afstand tussen 2 cirkels c1 met middelpunt M en c2 met  
        middelpunt N
        * d(c1,c2) = d(M,N)-r1-r2

Slide 26 - Slide

This item has no instructions



De cirkels c1 en c2 snijden elkaar in de punten A en B.
Toon algebraïsch aan dat geldt dat hoek OAM een hoek van 90 graden is.
c1x2+y2=16
c2x210x+y2+16=0

Slide 27 - Open question

This item has no instructions

Uitwerking
  • De straal r1 van c1 is 4


       Dus M(5,0) en straal r2 van c2 = 3
  • In OAM geldt
  • Omdat de stelling van Pythagoras geldt, is hoek OAM een           hoek van 90 graden

x210x+y2+16=0
(x5)225+y2+16=0
(x5)2+y2=9
OA2+AM2=OM2want42+32=52

Slide 28 - Slide

This item has no instructions

Lijn l met vergelijking
l:

raakt c2 (zie vorige vraag) in punt P.
Bereken exact de coordinaten van P

Slide 29 - Open question

This item has no instructions

cirkel c met M(4,2). Op c liggen A(5,-1) en B(7,1).
Lijn l gaat door B en staat loodrecht op AB.
P is het snijpunt van l met de x-as. Bereken de afstand van punt P tot de cirkel

Slide 30 - Open question

Gegeven: c1 met M(4,2). Op c liggen A(5,-1) en B(7,1). Lijn l gaat door B en staat loodrecht op AB. P is het snijpunt van l met de x-as. Bereken de afstand van punt P tot de cirkel
Uitwerking
st

Slide 31 - Slide

This item has no instructions