Lijnen en parabolen (Wiskunde B havo), les 1: Uitleg

• newEditor
• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 4,5

Introduction

Uitleg over lineaire en kwadratische functies voor havo wiskunde B: een lijn opstellen, de drie schrijfwijzen van een parabool, top en symmetrieas, en kwadratische vergelijkingen oplossen met ontbinden, de abc-formule en kwadraat afsplitsen. Met eigen grafieken en zes controlevragen.

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · LIJNEN EN PARABOLEN

Lijnen en parabolen

Examenstof wiskunde B havo

Les 1 van 3: uitleg. Les 2 is de examentraining, les 3 de terugblik met quiz. Syllabus: Subdomein B1 (lineaire en kwadratische functie) en B2 (vergelijkingen, parate vaardigheden 1 en 2, abc-formule).

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · LIJNEN EN PARABOLEN

Wat ga je kunnen?

Ik kan een lijn en een parabool opstellen en lezen, en kwadratische vergelijkingen oplossen door te ontbinden, met de abc-formule of met kwadraat afsplitsen.

Waar denk je aan bij het woord parabool?

Verwacht: bergparabool, dalparabool, top, symmetrie, bal die omhoog en omlaag gaat, schotelantenne, x kwadraat, nulpunten. Koppel dit aan de lijn: een lijn heeft overal dezelfde helling, een parabool buigt. In deze les staan beide centraal, plus het oplossen van kwadratische vergelijkingen.

f(x) = 2x − 3

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · LIJNEN EN PARABOLEN

De lineaire functie f(x) = ax + b

• De grafiek van f(x) = ax + b is een lijn.

• a is de richtingscoëfficiënt: hoeveel y verandert als x met 1 toeneemt.

• b is het snijpunt met de y-as: (0, b). a > 0: stijgend, a < 0: dalend.

• Voorbeeld f(x) = 2x − 3: a = 2, b = −3 en nulpunt x = 1,5.

f(x) = 2x − 3 snijdt de y-as in (0, −3) en de x-as waar 2x − 3 = 0, dus bij x = 1,5. Laat leerlingen op het raster zien dat de lijn bij elke stap van 1 naar rechts 2 omhoog gaat. Veelgemaakte fout: a en b verwisselen, of het nulpunt aanzien voor het snijpunt met de y-as. Image credit: Eigen figuur

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · LIJNEN EN PARABOLEN

Een lijn opstellen uit twee punten

• Gegeven zijn A(1, 5) en B(4, −1).

• Stap 1: a = Δy/Δx = (−1 − 5)/(4 − 1) = −2.

• Stap 2: vul A in: 5 = −2 · 1 + b, dus b = 7.

• Stap 3: f(x) = −2x + 7. Controle met B: −2 · 4 + 7 = −1.

Rekenvolgorde: eerst a uit twee punten, dan b met een van de punten, dan controleren met het andere punt. Veelgemaakte fout: Δx/Δy in plaats van Δy/Δx, of b gelijk stellen aan de y-waarde van het punt.

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · LIJNEN EN PARABOLEN

Een lijn opstellen uit een tabel

• Een tabel met x = 1, 3, 5 en y = 4, 10, 16 hoort bij een lineaire functie als Δy/Δx overal gelijk is.

• Hier: (10 − 4)/(3 − 1) = 3 en (16 − 10)/(5 − 3) = 3.

• Dus a = 3. Uit 4 = 3 · 1 + b volgt b = 1: f(x) = 3x + 1.

• Is Δy/Δx niet overal gelijk, dan is het verband niet lineair.

Gelijke stappen in x geven bij een lineaire functie gelijke stappen in y. Laat leerlingen eerst beide differentiequotiënten uitrekenen voordat ze b bepalen. Veelgemaakte fout: alleen naar twee van de drie punten kijken.

Een lijn gaat door (2, 3) en (6, 11). Welk functievoorschrift hoort erbij?

A

y = 2x + 3

B

y = 0,5x + 2

C

y = 2x − 1

D

y = 8x − 13

a = (11 − 3)/(6 − 2) = 2. Uit 3 = 2 · 2 + b volgt b = −1. Afleiders: y = 2x + 3 neemt de y-waarde van het punt als b; y = 0,5x + 2 deelt Δx door Δy; y = 8x − 13 vergeet te delen door Δx (a = 8, dan b = 3 − 16 = −13).

De lijn y = −3x + 12 snijdt de x-as. Bereken de x-coördinaat van dat punt.

−3x + 12 = 0 geeft x = 4. Verwachte fouten: 12 (het snijpunt met de y-as) of −4 (het teken van 12/3 kwijt).

f(x) = x² − 4x + 3, top (2, −1)

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · LIJNEN EN PARABOLEN

De kwadratische functie en de parabool

• De grafiek van f(x) = ax² + bx + c is een parabool met een top en een symmetrieas.

• a > 0: dalparabool, de top is het laagste punt.

• a < 0: bergparabool, de top is het hoogste punt.

• De grafiek snijdt de y-as in (0, c).

De getekende parabool is f(x) = x² − 4x + 3 met a = 1, b = −4 en c = 3: snijpunt met de y-as (0, 3), nulpunten x = 1 en x = 3 en top (2, −1). De parabool is symmetrisch om de lijn x = 2. Veelgemaakte fout: denken dat de top op de y-as ligt. Image credit: Eigen figuur

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · LIJNEN EN PARABOLEN

Drie schrijfwijzen

• Eén functie, drie schrijfwijzen: elke wijst iets anders aan.

• ax² + bx + c: snijpunt met de y-as (0, c). a(x − p)(x − q): nulpunten x = p en x = q.

• a(x − r)² + s: top (r, s) en symmetrieas x = r.

Voor g(x) = −2(x − 1)² + 8: top (1, 8), bergparabool omdat a = −2, en uitgewerkt −2x² + 4x + 6, dus snijpunt met de y-as (0, 6). Nulpunten van g zijn x = −1 en x = 3. Veelgemaakte fout: bij (x − r)² het teken van r omdraaien, dus bij (x + 2)² denken dat de top bij x = 2 ligt.

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · LIJNEN EN PARABOLEN

Top en symmetrieas berekenen

• Bij ax² + bx + c ligt de top op de symmetrieas x = −b/(2a).

• De symmetrieas ligt midden tussen de nulpunten.

• Voorbeeld f(x) = x² − 6x + 8: x = 6/2 = 3 en f(3) = −1, dus top (3, −1).

Voor f(x) = x² − 6x + 8 geldt −b/(2a) = 6/2 = 3. De nulpunten zijn x = 2 en x = 4, en het midden daarvan is 3. Bereken daarna de y-coördinaat door x = 3 in te vullen: 9 − 18 + 8 = −1. Veelgemaakte fout: x = b/(2a) nemen, dus het teken van b vergeten, of vergeten f(3) uit te rekenen.

Wat zijn de coördinaten van de top van deze functie?

A

(−1, 8)

B

(1, 8)

C

(−1, −8)

D

(−2, 8)

In a(x − r)² + s is de top (r, s). Bij (x + 1)² is r = −1, dus de top is (−1, 8). Afleiders: (1, 8) draait het teken van r om; (−1, −8) draait het teken van s om; (−2, 8) neemt de factor a over als x-coördinaat.

Bereken de x-coördinaat van de top van f(x) = x² − 8x + 12.

x = −b/(2a) = 8/2 = 4. Ter controle: de nulpunten zijn x = 2 en x = 6, het midden is 4, en de top is (4, −4). Verwachte fout: −4, door het teken van b niet om te draaien, of 12 (de c).

f(x) = x² − 5x + 6

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · LIJNEN EN PARABOLEN

Ontbinden in factoren

• Herleid eerst tot 0 aan één kant, ontbind dan in factoren.

• x² − 5x + 6 = 0 geeft (x − 2)(x − 3) = 0.

• Een product is 0 als een factor 0 is: x = 2 of x = 3.

• Dit zijn de nulpunten van de parabool.

Zoek twee getallen met product 6 en som −5: dat zijn −2 en −3. Is er geen constante term, zoals bij x² − 5x = 0, dan breng je x buiten haakjes: x(x − 5) = 0 geeft x = 0 of x = 5. Staat er x² = 3x + 10, herleid dan eerst tot x² − 3x − 10 = 0, dus (x − 5)(x + 2) = 0 en x = 5 of x = −2. Veelgemaakte fout: x² = 3x + 10 meteen oplossen zonder naar 0 te herleiden. Image credit: Eigen figuur

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · LIJNEN EN PARABOLEN

De abc-formule

• Lukt ontbinden niet? Gebruik de abc-formule voor ax² + bx + c = 0.

• D = b² − 4ac en x = (−b ± √D)/(2a). D > 0: twee oplossingen, D = 0: één, D < 0: geen.

• Voorbeeld: 2x² + x − 6 = 0 heeft a = 2, b = 1 en c = −6.

D = 1 − 4 · 2 · −6 = 1 + 48 = 49 en √49 = 7. Dan x = (−1 + 7)/4 = 1,5 of x = (−1 − 7)/4 = −2. Veelgemaakte fouten: de −6 niet tussen haakjes zetten en dus D = 1 − 48 krijgen, −b met het verkeerde teken nemen, of delen door a in plaats van 2a. De discriminant D is hier alleen onderdeel van de abc-formule.

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · LIJNEN EN PARABOLEN

Kwadraat afsplitsen

• Schrijf ax² + bx + c als a(x − r)² + s en los daarna op.

• x² − 6x + 4 = (x − 3)² − 5, dus (x − 3)² = 5.

• Dan x − 3 = √5 of x − 3 = −√5, dus x = 3 + √5 of x = 3 − √5.

Bij een exact antwoord laat je de wortel staan. De abc-formule geeft hetzelfde: D = 36 − 16 = 20 en x = (6 ± √20)/2 = 3 ± √5. Welke methode je kiest is vrij; kwadraat afsplitsen is handig als de top of een exacte oplossing gevraagd wordt. Veelgemaakte fout: bij (x − 3)² het getal 3 met het verkeerde teken nemen, of de +9 vergeten af te trekken.

Los op: x² − x − 12 = 0

A

x = −4 of x = 3

B

x = 4 of x = −3

C

x = 6 of x = −2

D

x = 1 of x = −12

(x − 4)(x + 3) = 0, dus x = 4 of x = −3. Afleiders: x = −4 of x = 3 draait beide tekens om; x = 6 of x = −2 heeft product −12 maar som 4; x = 1 of x = −12 zoekt factoren van 12 zonder op de som −1 te letten.

Los op met de abc-formule: 3x² − 5x − 2 = 0. Wat is de grootste oplossing?

D = 25 + 24 = 49, dus x = (5 + 7)/6 = 2 of x = (5 − 7)/6 = −1/3. De grootste is 2. Verwachte fout: delen door a = 3 in plaats van 2a = 6, dan komt er 4 uit.

Wat vind je nu het lastigst?

1

Een lijn opstellen

2

Top en schrijfwijzen van een parabool

3

Ontbinden in factoren

4

De abc-formule en kwadraat afsplitsen

Gebruik de uitslag om te kiezen welk vraagtype je in les 2 eerst bespreekt.

Leg uit hoe je aan f(x) = 3(x − 2)(x + 4) de nulpunten ziet.

Een goed antwoord: een product is 0 als een factor 0 is, dus x − 2 = 0 of x + 4 = 0, dus x = 2 of x = −4. De factor 3 doet er niet toe. Verwachte fout: x = −2 of x = 4 (tekens omgedraaid), of x = 3 noemen.

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · LIJNEN EN PARABOLEN

Begrippen (1/2)

• lineaire functie: f(x) = ax + b, met een lijn als grafiek

• richtingscoëfficiënt: a in ax + b: de verandering van y per stap 1 in x

• parabool: de grafiek van een kwadratische functie

• top: het hoogste of laagste punt van een parabool

• symmetrieas: de verticale lijn door de top, bijvoorbeeld x = 2

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · LIJNEN EN PARABOLEN

Begrippen (2/2)

• nulpunt: een x waarvoor f(x) = 0: snijpunt met de x-as

• ontbinden: een som schrijven als product van factoren, zoals x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)

• abc-formule: x = (−b ± √D)/(2a) voor ax² + bx + c = 0

• discriminant: D = b² − 4ac: bepaalt hoeveel oplossingen er zijn

• kwadraat afsplitsen: ax² + bx + c schrijven als a(x − r)² + s