Kansberekenen v3

• Wiskunde
• HBO
• Studiejaar 3

Geschiedenis
van
kansberekenen

Aan het einde van de les weten jullie:

Wat de basisprincipes van kansberekenen zijn

Hoe lang kansberekenen al gebruikt wordt

Hoe Pascal zijn antwoord heeft beredeneert

Wat Bernoulli aan kansberekenen heeft bijgedragen

Hoe kansrekening in spelletjes voorkomt

Meerdere soorten kansverdelingen

Waar de Poisson-verdeling voor gebruikt kan worden

Aan het einde van de les kunnen jullie:

Op een simpele manier eerlijk een pot verdelen

Kansberekenen gebruiken om je eigen kansen te vergroten

Zelf Poisson-verdeling gebruiken

Eerste wiskundige vraagstuk

Al voor de egyptenaren waren mensen bezig met kansspellen. 

Mensen gokte op uitkomsten van verscheidende dingen. 

in 1380 bogen de eerste wiskundige zich over de kansspellen.

Partijenvraagstuk:
Twee partijen spelen een balspel om punten waarbij beide een even grote winstkans hebben. De partij die krijgt 60 dukaten. Door omstandigheden wordt het spel gestaakt bij de stand 5-3.
Hoe moet de pot verdeeld worden?

1. 1:1
2. 2:1
3. 5:3
4. 1:0

Geen bevredigend antwoord

17de eeuw kreeg Pascal het zelfde probleem voor zich. Samen met Fermat keken ze naar gelijk soortige problemen en ontwikkelde de basisprincipes van kansberekenen. 

Elke speler zet 10 euro in.
Om de beurten gooien ze met een munt, kop is 1 punt, munt dan is het 1 punt voor de tegenstander. Met 3 punten heb je gewonnen.
Stel het spel wordt gestopt wanneer A 2 punten heeft en B 1 punt.
Wat is een eerlijke manier om de 20 euro te verdelen.

Pascal's oplossing

Pascal zijn oplossing is gebaseerd op: Als een geval kan worden beschreven in termen van mogelijke uitkomsten die even waarschijnlijk zijn, dan is de kans dat een uitkomst voortkomt, 1 gedeeld door totale aantal uitkomsten. 

Het boek Liber de Ludo Alae (Handboek over kansspelen) van Girolamo Cardono 

9 jaar na werd pas negen jaar nadat Pascal de oplossing had gepubliceerd. 

Het was al een eeuw daarvoor geschreven.

Wat gebruik je van Pascal nu nog steeds bij kansberekenen

Pascal werkte de theorie uit in zijn boek "Traité du triangle arithmétique", 'driehoek van Pascal'

Pascal gebruikte permutaties en combinaties die al omstreeks 850 na Chr. zijn beschreven door de Indische wiskundige Mahavira.

Vanwege ontdekkingsreizen en handel (17de eeuw) was er meer behoefte aan het inschatten van risico's (kans). Wie maakte hier het meeste gebruik van?

Verzekeringsmaatschappijen maakte al eeuwen lang gebruik van kansen en risico's inschatten.
Hoe oud is de eerste beschreven verzekering?

1. 1754 voor Christus
2. 1033 na christus
3. 359 na christus
4. 1556 na christus

In de wereldberoemde Codex Hammurabi uit het jaar 1754 voor Christus staat de eerst beschreven verzekering; als handelaren onderweg beroofd waren, dan zouden zij hun waren vergoed krijgen door de lokale heersers. 

 In 1310 werd het eerste verzekeringsbureau in Brugge opgericht.

De Nederlandse geleerde Christiaan Huygens (1629 - 1695) publiceerde in 1657 zijn boek over kansrekening: "Van Rekeningh in Spelen van Geluck", waarin hij voortborduurde op de theorie van Pascal en Fermat.

Het bekendste vroege boek over kansrekening was Jakob Bernouilli's "Ars conjectandi" 

Daarin werd voor het eerst gewerkt met kansen tussen 0 en 1. Bernouilli bedacht de binomiale kansverdeling. 

binomiale
kansverdeling

Een populaire situatie waar kansrekening een rol speelt

In spellen

In het gokken

Even kijken of jullie het juiste antwoord kunnen vinden.
Wat is de kans dat jullie deze vraag goed hebben?

1. 0,25
2. 1
3. 0,5
4. 0,25

Gebruik maken van strategieën 

Het gebruik maken van strategieën kan er voor 

zorgen dat je kans om te winnen groter word.

Maar dit kan niet bij alle spellen.

Gebruik maken van strategieën 

Alleen bij sommige spellen willen ze niet dat je 

gebruik maakt van strategieën.

Je kan namelijk op goede of slechte

 manieren je kans vergroten

Mensen die hun kans vergroten

Edward Thorpe

MIT Blackjack Team

Hebben jullie wel
eens je kansen verhoogt?

Stel dat je deelneemt aan een spelprogramma en je mag kiezen uit drie deuren: achter een van de deuren staat een auto, achter de andere twee staan geiten. Je kiest een deur, zeg nr. 1, en de presentator, die weet wat er achter de deuren staat, opent een andere deur, zeg nr. 3, met een geit erachter. Hij zegt dan tegen je: "Zou je deur nr. 2 willen kiezen?" Is het in je voordeel om van deur te wisselen?

1. Ja
2. Nee
3. Het maakt niet uit
4. Geen idee

Het Monty Hall-probleem

Ook wel bekend als het driedeurenprobleem of drie gevangen probleem

Het kreeg bekendheid door de Amerikaanse spelshow Let's Make a Deal met presentator Monty Hall

Veel mensen waren het er niet mee eens dat de statistisch beste keuze is om te wisselen, waaronder vele wiskundigen 

Welke soorten kansverdelingen
kennen jullie al?

Info over kansverdelingen

Er zijn veel verschillende kansverdelingen. 

Binomiale verdeling 

Normale verdeling

Uniforme verdeling

Bernoulli-verdeling

Veel van de andere verdelingen zijn afleidingen of specifieke gevallen van andere verdelingen.

Poisson-verdeling

Siméon Denis Poisson

Franse Wiskundige geboren in 1781

Limiet van de binomiale verdeling 

Poisson verdeling kijkt naar de kans dat een bepaalde gebeurtenis een aantal keer voorkomt in een bepaalde tijd 

het aantal atoomkernen die binnen een bepaalde tijd in een stuk radioactief materiaal vervallen

het aantal auto's die gedurende een zekere tijd een bepaald punt van een weg passeren

het aantal keren in een minuut dat een webserver wordt benaderd

het aantal sterren in een gegeven ruimte

inschatting sportuitslag

Siméon Denis Poisson

Franse Wiskundige (1781-1840)

Limiet van de binomiale verdeling

- Het aantal atoomkernen die vervallen

 

- Het aantal auto's die een bepaald punt van een

weg passeren

- Het aantal keren dat een webserver wordt benaderd

- Het aantal sterren in een gegeven ruimte

- Inschatting sportuitslagen

Voorbeeld: PSV was in het seizoen van 2017/1018 landskampioen geworden. Zij hadden toen in 34 wedstijden in totaal 85 doelpunten gemaakt.

Vraag: Hoe groot is de kans dat PSV in een willekeurige wedstijd 2 keer scoort?

Antwoord: verwachtingswaarde = 85/34 = 2,5

en kans op 2 doelpunten houdt in dat k = 2

Dus P(x = 2) = e-2,5 . 2,52/2! = 0,2565 dus 25,65% kans dat PSV 2 keer scoort.

PSV was in 2017/1018 landskampioen geworden.

In 34 wedstijden in totaal 85 doelpunten gemaakt.

Hoe groot is de kans dat PSV in een willekeurige wedstijd 2 keer scoort?

X = is stochastische variabele

k = hoe vaak een bepaalde gebeurtenis voorkomt

λ = het verwachte aantal gebeurtenissen

Voorbeeld

Verwachtingswaarde λ =        = 2,5 en kans op 2 doelpunten houdt in dat k = 2

Dus                                                      dus 25,65% kans 

P(X=2)=​2!​​2,5​2​​​​e​−2,5​​=0,2565

​34​​85​​

- Waar kansrekening terugkomt in het dagelijks leven.

- Hoe lang kansrekenening al terug te vinden is in de geschiedenis wat als verdieping kan worden gebruikt voor leerlingen.

- Hoe kansrekenen een grotere rol speelt in jouw leven dan je denkt door bijvoorbeeld verzekering.

- Waarom koppelen we kansrekenen aan spellen en gokken?

- Waarom geven we aan dat mensen soms vals spelen bij spellen en gokken?

- Hoe je kansrekenen op een leuke en interactieve manier aan de klas kan introduceren met bijvoorbeeld met het Monty Hall probleem.

- Wij wilden dieper op nieuwe stof in gaan en daarom hebben we ervoor gekozen op poisson in te gaan en niet de binomiale of normale verdeling.

Verantwoording

Afsluiting

Zijn er nog vragen?

Tops/Tips?