5 HAVO Hoofdstuk 11.4B (les 11)

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 5

5 HAVO les 11

Hoofdstuk 11.4 Theorie B

lesplanning

5 minuten            Start les, spullen pakken, herhaling

20 minuten           Uitleg + oefenen theorie B paragraaf 4

10 minuten           Bespreken opgave 50a,b,c,d huiswerk (te zien in Studiewijzer, pdf)

20 minuten           Aan het werk met opgaven maken + vragen stellen huiswerk

   
5 minuten             Exit-ticket & Afsluiting

Herhaling

Schrijf de onderstaande formules in de vorm

$$J=1000\cdot x\cdot K$$

$$K=27,5+\frac{15}{x}$$

$$J=ax+b$$

Uitwerking herhaling

$$J=1000\cdot x\cdot K$$

$$J=1000\cdot x\cdot (27,5+\frac{15}{x})$$

$$J=27500x+\frac{15000x}{x}$$

$$J=27500x+15000$$

Gebruik van de GR

Vanaf welke x is y kleiner dan 15?

Deze vraag kun je op twee manieren met je GR oplossen.

Gebruik van de GR

Vanaf welke x is y kleiner dan 15?

Deze vraag kun je op twee manieren met je GR oplossen.

Manier 1:

voer in                              en

De optie snijpunt geeft 

Dus vanaf                  is y kleiner dan 15.

$$Y1=\frac{5}{x}+12$$

$$Y2=15$$

$$X\approx 1,67$$

$$x\approx 1,67$$

Gebruik van de GR

Vanaf welke x is y kleiner dan 15?

Deze vraag kun je op twee manieren met je GR oplossen.

Manier 2:

Voer in

De optie Y-calc = 15 geeft

Dus vanaf                  is y kleiner dan 15.

$$Y1=\frac{5}{x}+12$$

$$X\approx 1,67$$

$$x\approx 1,67$$

Redeneren met formules

Eerder zagen we in H9

$$y=1-0,9^x$$

Als t toeneemt, dan neemt         toe als g > 1

Als t toeneemt, dan neemt         af als 0 < g < 1

$$g^t$$

$$g^t$$

Redeneren met formules

We bekijken de formule:

Deze kennen we al! (H9)

$$y=1-0,9^x$$

Als x toeneemt, dan neemt

         af, dan neemt

toe.

$$0,9^x$$

$$1-0,9^x$$

Grenswaarde (1)

We bekijken de formule                                          met t > 0.

Beredeneer wat de grenswaarde is.

Als t .....

$$N=50+\frac{100}{t^2+1}$$

Grenswaarde (1)

We bekijken de formule                                          met t > 0.

Beredeneer wat de grenswaarde is.

Als t heel groot is wordt             ook heel groot en dan wordt                    en

Dus de grenswaarde is 50.

$$N=50+\frac{100}{t^2+1}$$

$$t^2+1$$

$$\frac{100}{t^2+1}\approx 0$$

$$50+\frac{100}{t^2+1}\approx 50$$

Stijgen of dalen (1)

We bekijken de formule                                          met t > 0.

Beredeneer of de grafiek van N stijgend of dalend is.

Als t toeneemt, dan neemt              ook toe, dan neemt               af, dan neemt

                       ook af.

Dus de grafiek van N is dalend.

$$N=50+\frac{100}{t^2+1}$$

$$t^2+1$$

$$\frac{100}{t^2+1}$$

$$50+\frac{100}{t^2+1}$$

Controleren door de formule te plotten met je GR!

Grenswaarde (2)

We bekijken de formule                                          met t > 0.

Beredeneer wat de grenswaarde is.

We bekijken de formule in twee delen: de teller en noemer apart.

$$N=\frac{65\cdot 0,9^t}{\sqrt{t}+1}$$

Grenswaarde (2)

We bekijken de formule                                          met t > 0.

Beredeneer wat de grenswaarde is.

We bekijken de formule in twee delen: de teller en noemer apart.

Als t heel groot is wordt        ook heel groot en dan wordt               ook heel groot

$$N=\frac{65\cdot 0,9^t}{\sqrt{t}+1}$$

$$\sqrt{t}$$

$$\sqrt{t}+1$$

Grenswaarde (2)

We bekijken de formule                                          met t > 0.

Beredeneer wat de grenswaarde is.

We bekijken de formule in twee delen: de teller en noemer apart.

Als t heel groot is wordt        ook heel groot en dan wordt               ook heel groot

Als t heel groot is wordt                en dan

$$N=\frac{65\cdot 0,9^t}{\sqrt{t}+1}$$

$$\sqrt{t}$$

$$\sqrt{t}+1$$

$$0,9^t\approx 0$$

$$65\cdot 0,9^t\approx 65\cdot 0\approx 0$$

Grenswaarde (2)

We bekijken de formule                                          met t > 0.

Beredeneer wat de grenswaarde is.

We bekijken de formule in twee delen: de teller en noemer apart.

Als t heel groot is wordt        ook heel groot en dan wordt               ook heel groot

Als t heel groot is wordt                en dan

Als t heel groot wordt, dan wordt van                  de teller ongeveer nul en de noemer heel groot, dus dan wordt

$$N=\frac{65\cdot 0,9^t}{\sqrt{t}+1}$$

$$\sqrt{t}$$

$$\sqrt{t}+1$$

$$0,9^t\approx 0$$

$$65\cdot 0,9^t\approx 65\cdot 0\approx 0$$

$$\frac{65\cdot 0,9^t}{\sqrt{t}+1}$$

$$\frac{65\cdot 0,9^t}{\sqrt{t}+1}\approx 0$$

Grenswaarde (2)

We bekijken de formule                                          met t > 0.

Beredeneer wat de grenswaarde is.

We bekijken de formule in twee delen: de teller en noemer apart.

Als t heel groot is wordt        ook heel groot en dan wordt               ook heel groot

Als t heel groot is wordt                en dan

Als t heel groot wordt, dan wordt van                  de teller ongeveer nul en de noemer heel groot, dus dan wordt

Dus de grenswaarde is 0.

$$N=\frac{65\cdot 0,9^t}{\sqrt{t}+1}$$

$$\sqrt{t}$$

$$\sqrt{t}+1$$

$$0,9^t\approx 0$$

$$65\cdot 0,9^t\approx 65\cdot 0\approx 0$$

$$\frac{65\cdot 0,9^t}{\sqrt{t}+1}$$

$$\frac{65\cdot 0,9^t}{\sqrt{t}+1}\approx 0$$

Stijgen of dalen (2)

We bekijken de formule                                          met t > 0.

Beredeneer of de grafiek van N stijgend of dalend is.

We bekijken de formule eerst in twee delen: de teller en noemer apart.

$$N=\frac{t^{3,4}+6}{49\cdot 0,{19}^t}$$

Controleren door de formule te plotten met je GR!

Stijgen of dalen (2)

We bekijken de formule                                          met t > 0.

Beredeneer of de grafiek van N stijgend of dalend is.

We bekijken de formule eerst in twee delen: de teller en noemer apart.

als t toeneemt, dan neemt        ook toe en               neemt ook toe.

$$N=\frac{t^{3,4}+6}{49\cdot 0,{19}^t}$$

Controleren door de formule te plotten met je GR!

$$t^{3,4}$$

$$t^{3,4}+6$$

Stijgen of dalen (2)

We bekijken de formule                                          met t > 0.

Beredeneer of de grafiek van N stijgend of dalend is.

We bekijken de formule eerst in twee delen: de teller en noemer apart.

als t toeneemt, dan neemt        ook toe en               neemt ook toe.

als t toeneemt, dan neemt            af en                    neemt dan ook af.

$$N=\frac{t^{3,4}+6}{49\cdot 0,{19}^t}$$

Controleren door de formule te plotten met je GR!

$$t^{3,4}$$

$$t^{3,4}+6$$

$$0,{19}^t$$

$$65\cdot 0,{19}^t$$

Stijgen of dalen (2)

We bekijken de formule                                          met t > 0.

Beredeneer of de grafiek van N stijgend of dalend is.

We bekijken de formule eerst in twee delen: de teller en noemer apart.

als t toeneemt, dan neemt        ook toe en               neemt ook toe.

als t toeneemt, dan neemt            af en                    neemt dan ook af.

Van                    neemt de teller toe en de noemer af, dus                      neemt toe.

$$N=\frac{t^{3,4}+6}{49\cdot 0,{19}^t}$$

Controleren door de formule te plotten met je GR!

$$t^{3,4}$$

$$t^{3,4}+6$$

$$0,{19}^t$$

$$65\cdot 0,{19}^t$$

$$\frac{t^{3,4}+6}{49\cdot 0,{19}^t}$$

$$\frac{t^{3,4}+6}{49\cdot 0,{19}^t}$$

Stijgen of dalen (2)

We bekijken de formule                                          met t > 0.

Beredeneer of de grafiek van N stijgend of dalend is.

We bekijken de formule eerst in twee delen: de teller en noemer apart.

als t toeneemt, dan neemt        ook toe en               neemt ook toe.

als t toeneemt, dan neemt            af en                    neemt dan ook af.

Van                    neemt de teller toe en de noemer af, dus                      neemt toe.

Dus de grafiek van N is stijgend.

$$N=\frac{t^{3,4}+6}{49\cdot 0,{19}^t}$$

Controleren door de formule te plotten met je GR!

$$t^{3,4}$$

$$t^{3,4}+6$$

$$0,{19}^t$$

$$65\cdot 0,{19}^t$$

$$\frac{t^{3,4}+6}{49\cdot 0,{19}^t}$$

$$\frac{t^{3,4}+6}{49\cdot 0,{19}^t}$$

Samenvatting tot nu toe

Grenswaarde.

Gebruik:

Als ... heel groot wordt,dan

Conclusie:

Dus de grenswaarde is ..... .

Stijgen of dalen.

Gebruik:

Als ... toeneemt, dan ..... neemt af/toe en neemt ......... af/toe 

(dit doe je voor elk stukje van de formule)

Conclusie:

als de laatste is:

neemt toe, dan is de grafiek stijgend

neemt af, dan is de grafiek dalend

$$\approx$$

Oefenopdracht

Oefenopdracht

Het volgende verband is gegeven:

a) Beredeneer wat de grenswaarde is.

b) Beredeneer of bij de formule van A een stijgende of dalende grafiek hoort.

$$A=25-\frac{80}{2+\sqrt{x}}$$

antwoord a)

Als x heel groot wordt, wordt wortel(x) ook groter en 2+ wortel (x) wordt ook groter, dan nadert 80/(2 + wortel(x) ) tot 0 en dan wordt 25 - 80/(2+ wortel(x)) ongeveer 25.

Dus de grenswaarde is 25.

antwoord b)

Als x toeneemt, dan neemt wortel(x) ook toe en + + wortel(x) ook, dan neemt 80/(2 + wortel(x)) af. Dus 25 - 80/(2 + wortel(x)) neemt toe.

De grafiek van A is dus stijgend.

Maak in je boek

De opdrachten 52 tot en met 58.

(blz 132 t/m 134)

Bespreken huiswerk, opgave 50

50a)

x = 2

Z&N moet € 70 000,- per jaar aan schoonmaakkosten betalen.

$$K=27,5+\frac{15}{2}=35$$

$$2000\cdot 35=70000$$

Bespreken huiswerk, opgave 50

50b)

oppervlakte = 

De school betaalt  € 81 000,- aan schoonmaakkosten per jaar.

$$K=27,5+\frac{15}{2,4}=33,75$$

$$2400\cdot 33,75=81000$$

$$20\cdot 40\cdot 3=2400$$

$$x=2,4$$

Bespreken huiswerk, opgave 50

50c)

oplossen:

De oppervlakte van het bedrijf is groter of gelijk aan 7500 m².

$$K=27,5+\frac{15}{x}=29,5$$

$$7,5\cdot 1000=7500$$

$$\frac{15}{x}=29,5-27,5=2$$

$$2x=15$$

$$x=7,5$$

$$Y1=27,5+\frac{15}{x}$$

$$Y2=29,5$$

De optie snijpunt geeft X = 7,5

De oppervlakte die daarbij hoort is

$$7,5\cdot 1000=7500$$

Bespreken huiswerk, opgave 50

50d)

de kosten zijn                     per m², dus als x heel groot wordt zal            en wordt

Dus de kosten zullen per m² met minstens €27,50 blijven toenemen.

50e)

Zie de herhalingsopdracht!

$$27,5+\frac{15}{x}$$

$$\frac{15}{x}\approx 0$$

$$27,5+\frac{15}{x}\approx 27,50$$

Afsluiting les

Afsluiting les

Jullie krijgen allemaal een blaadje met een exit-ticket.

Daarop vul je de antwoorden in van de vragen die op de volgende slides staan.

Het ingevulde exit-ticket lever je in bij de docent en wordt nagekeken voor de volgende les.

ZET DE TAFELS UIT ELKAAR

grenswaarde

$$N=300-\frac{57}{t+10}$$

stijgen of dalen

$$N=300-\frac{57}{t+10}$$

Ik heb nog een vraag over de les van vandaag, zet op het exit-ticket je vraag.

1. Ja
2. Nee

grenswaarde

$$N=300-\frac{57}{t+10}$$

stijgen of dalen

$$N=300-\frac{57}{t+10}$$

Ik heb nog een vraag over de les van vandaag, zet op het exit-ticket je vraag.

1. Ja
2. Nee