12.4 A Lengten, hoeken en snelheden

• wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 5

12.4 A Lengten, hoeken en snelheden

5 minuutjes korter ivm examenbespreking

Uit 10.6

Plaatsvector: 

Snelheidsvector:

Baansnelheid: 

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x(t)=\sin (t)}{y(t)=\sin (2t)}\right)$$

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x^{\prime }(t)=\cos (t)}{y^{\prime }(t)=2cos(2t)}\right)$$

$$\sqrt{{\cos }^2(t)+4co{s}^2(2t)}$$

Berekeningen bij banen

met

Bereken de coördinaten van de 

snijpunten van de baan van P met de lijn 

$$x(t)=\sin (4t)$$

$$y(t)=\sin (t)$$

$$0\le t\le 2\pi$$

$$y=\frac{1}{2}$$

$$y(t)=\sin (t)=\frac{1}{2}$$

$$\sin (t)=\frac{1}{2}$$

$$y(t)=\sin (t)=\frac{1}{2}$$

$$\sin (t)=\frac{1}{2}$$

$$t=\frac{1}{6}\pi +k\cdot 2\pi \vee t=\frac{5}{6}\pi +k\cdot 2\pi$$

$$y(t)=\sin (t)=\frac{1}{2}$$

$$\sin (t)=\frac{1}{2}$$

$$t=\frac{1}{6}\pi +k\cdot 2\pi \vee t=\frac{5}{6}\pi +k\cdot 2\pi$$

$$0\le t\le 2\pi$$

Dus                                 

$$y(t)=\sin (t)=\frac{1}{2}$$

$$\sin (t)=\frac{1}{2}$$

$$t=\frac{1}{6}\pi +k\cdot 2\pi \vee t=\frac{5}{6}\pi +k\cdot 2\pi$$

$$0\le t\le 2\pi$$

$$t=\frac{1}{6}\pi \vee t=\frac{5}{6}\pi$$

Berekeningen bij banen

met

Bereken de coördinaten van de 

snijpunten van de baan van P met de lijn 

$$x(t)=\sin (4t)$$

$$y(t)=\sin (t)$$

$$0\le t\le 2\pi$$

$$y=\frac{1}{2}$$

Berekeningen bij banen

$$x(t)=\sin (4t)$$

$$y(t)=\sin (t)$$

$$t=\frac{1}{6}\pi \vee t=\frac{5}{6}\pi$$

Berekeningen bij banen

$$x(t)=\sin (4t)$$

$$y(t)=\sin (t)$$

$$t=\frac{1}{6}\pi \vee t=\frac{5}{6}\pi$$

$$A(-\frac{1}{2}\sqrt{3},\frac{1}{2})$$

$$B(\frac{1}{2}\sqrt{3},\frac{1}{2})$$

Berekeningen bij banen

Onder welke hoek snijdt de baan 

van P de lijn               in A?

$$x(t)=\sin (4t)$$

$$y(t)=\sin (t)$$

$$A(-\frac{1}{2}\sqrt{3},\frac{1}{2})$$

$$y=\frac{1}{2}$$

Berekeningen bij banen

Onder welke hoek snijdt de baan 

van P de lijn               in A?

$$x(t)=\sin (4t)$$

$$y(t)=\sin (t)$$

$$A(-\frac{1}{2}\sqrt{3},\frac{1}{2})$$

$$y=\frac{1}{2}$$

$$x^{\prime }(t)=4cos(4t)$$

$$y^{\prime }(t)=\cos (t)$$

Berekeningen bij banen

$$x^{\prime }(t)=4cos(4t)$$

$$y^{\prime }(t)=\cos (t)$$

$$t=\frac{5}{6}\pi$$

$$\overrightarrow{v_k}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x^{\prime }(\frac{5}{6}\pi )}{y^{\prime }(\frac{5}{6}\pi )}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4\cos (3\frac{1}{3}\pi )}{\cos (\frac{5}{6}\pi )}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4\cdot -\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}\sqrt{3}}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-2}{-\frac{1}{2}\sqrt{3}}\right)$$

Berekeningen bij banen

$$x^{\prime }(t)=4cos(4t)$$

$$y^{\prime }(t)=\cos (t)$$

$$t=\frac{5}{6}\pi$$

$$\overrightarrow{v_k}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x^{\prime }(\frac{5}{6}\pi )}{y^{\prime }(\frac{5}{6}\pi )}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4\cos (3\frac{1}{3}\pi )}{\cos (\frac{5}{6}\pi )}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4\cdot -\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}\sqrt{3}}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-2}{-\frac{1}{2}\sqrt{3}}\right)$$

$$r{c}_k=\frac{-\frac{1}{2}\sqrt{3}}{-2}$$

Berekeningen bij banen

$$x^{\prime }(t)=4cos(4t)$$

$$y^{\prime }(t)=\cos (t)$$

$$t=\frac{5}{6}\pi$$

$$r{c}_k=\frac{-\frac{1}{2}\sqrt{3}}{-2}$$

$$\angle \alpha ={\tan }^{-1}(\frac{1}{4}\sqrt{3})\approx 23,4°$$

Berekeningen bij banen

Met welke snelheid gaat het punt P 

door de lijn               in A?

$$x(t)=\sin (4t)$$

$$y(t)=\sin (t)$$

$$A(-\frac{1}{2}\sqrt{3},\frac{1}{2})$$

$$y=\frac{1}{2}$$

$$x^{\prime }(t)=4cos(4t)$$

$$y^{\prime }(t)=\cos (t)$$

Berekeningen bij banen

Met welke snelheid gaat het punt P 

door de lijn               in A?

$$y=\frac{1}{2}$$

$$t=\frac{5}{6}\pi$$

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x^{\prime }(\frac{5}{6}\pi )}{y^{\prime }(\frac{5}{6}\pi )}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4\cos (3\frac{1}{3}\pi )}{\cos (\frac{5}{6}\pi )}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4\cdot -\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}\sqrt{3}}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-2}{-\frac{1}{2}\sqrt{3}}\right)$$

Berekeningen bij banen

Met welke snelheid gaat het punt P 

door de lijn               in A?

$$y=\frac{1}{2}$$

$$t=\frac{5}{6}\pi$$

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x^{\prime }(\frac{5}{6}\pi )}{y^{\prime }(\frac{5}{6}\pi )}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4\cos (3\frac{1}{3}\pi )}{\cos (\frac{5}{6}\pi )}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4\cdot -\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}\sqrt{3}}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-2}{-\frac{1}{2}\sqrt{3}}\right)$$

$$|\overrightarrow{v_k}|=\sqrt{(-2{)}^2+(-\frac{1}{2}\sqrt{3}{)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{19}$$