10.4 Cirkels en raaklijnen

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 5

Maak 42 + 47

Cirkels en raaklijnen

d(M, k) = r

raaklijnproblemen

1. Stel een vergelijking op van een lijn k als gegeven zijn                - een cirkel                                                                                                         - een punt op de cirkel waarin k de cirkel raakt.
2. Stel een vergelijking op van de cirkel c als gegeven zijn             - het middelpunt van c                                                                                - een lijn waaraan c raakt.

probleem 1

Werkschema: een vergelijking opstellen van een raaklijn k aan een cirkel c met middelpunt M in een gegeven punt A op c

1. Bereken de richtingscoëfficiënt rc_l van de lijn l door M en A.
2. Gebruik k ⊥ l, dus rc_k * rc_l = -1, om de richtingscoëfficiënt rc_k van k te berekenen.
3. Gebruik rc_k en de coördinaten van A om een vergelijking van k op te stellen. 

raaklijnprobleem 1

• Gegeven: de lijn k raakt de cirkel c: (x + 2)² + (y + 1)² = 17 in het punt A(2,0). Stel de formule op van k.

raaklijnprobleem 2

Stel een vergelijking op van de cirkel c met middelpunt M(3,-2) die de lijn k: x + 3y = 7 raakt.

De ligging van een lijn ten opzichte van een cirkel

• Voor de ligging van een lijn ten opzichte van een cirkel zijn er drie mogelijkheden.
• invullen van een lijn y = ax + b in een cirkelvergelijking geeft een tweedegraadsvergelijking waarvan de discriminant
• groter is dan 0, dan zijn er twee snijpunten
• gelijk is aan 0, dan raakt de lijn de cirkel
• kleiner is dan 0, dan zijn er geen snijpunten. 

De ligging van een lijn ten opzichte van een cirkel

De ligging van een lijn ten opzichte van een cirkel

• Om te bewijzen dat de lijn k: y = 2x -3 de cirkel                             c: x² + y² -4x + 2y = 20 in twee punten snijdt, ga je als volgt te werk.
• Substitutie van y = 2x -3 in x² + y² - 4x + 2y =20 geeft
• x² + (2x - 3)² - 4x + 2(2x - 3) = 20
• x² + 4x² - 12x + 9 - 4x + 4x - 6 = 20 

De ligging van een lijn ten opzichte van een cirkel

• 5x² - 12x - 17 = 0 
• D = (-12)² - 4*5*-17 = 484
• D > 0, dus lijn k snijdt cirkel c in twee punten.

Voorbeeld

Gegeven is de cirkel c: x² + y² - 2x - 4y = 0.

Er zijn twee lijnen met richtingscoëfficiënt 2 die c raken.

Stel van elk van deze lijnen een vergelijking op.

• Stel de lijnen aan y = 2x + b
• Substitutie van y = 2x + b in x² + y² - 2x - 4y = 0 geeft
• x² + (2x + b)² - 2x - 4(2x + b) = 0
• x² + 4x² + 4bx + b² - 2x - 8x - 4b = 0
• 5x² + (4b - 10)x + b² - 4b = 0 
• D = (4b - 10)² - 4 * 5 * (b² -4b)

• D = (4b - 10)2 - 4 * 5 * (b2 -4b)
• D = 16b² - 80b + 100 - 20b² + 80b
• D = -4b² + 100
• D = 0 (de lijn raakt de cirkel) geeft
• -4b² + 100 = 0
• -4b² = -100

• -4b² = -100
  
• b² = 25
• b = 5 v b = -5
• dus de vergelijkingen van de lijnen zijn
• y = 2x + 5 en
• y = 2x - 5

Huiswerk

vierkant: 43, 44, 45, 46, 49, 50, 51, 52, 53 + nakijken

cirkel: 44, 45, 46, 49, 50, 51, 52, 53 + nakijken

ster: 44, 45, 46, 51, 52, 53, 54 + nakijken