§7.2 Hoek berekenen met goniometrie (leerjaar 3)
7
Goniometrie
Paragraaf 7.2
Hoek berekenen met goniometrie
Sinus, cosinus of tangens? Welke je nodig hebt, hangt af van de twee zijden die je kent.
Gemaakt bij Getal & Ruimte, leerjaar 3, vmbo-kgt (mavo)
Introductie
Onderdelen in deze les
7
Goniometrie
Paragraaf 7.2
Hoek berekenen met goniometrie
Sinus, cosinus of tangens? Welke je nodig hebt, hangt af van de twee zijden die je kent.
Gemaakt bij Getal & Ruimte, leerjaar 3, vmbo-kgt (mavo)
Les bij Getal & Ruimte, leerjaar 3, hoofdstuk 7 Goniometrie, paragraaf 7.2 Hoek berekenen met goniometrie. Ongeveer 40 minuten, mavo. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.2
7.2 Hoek berekenen met goniometrie
Leerdoelen
7.2.1
Je kunt bij een hoek de overstaande, aanliggende en schuine zijde aanwijzen.
7.2.2
Je kunt kiezen tussen sin, cos en tan op basis van de zijden die je kent.
7.2.3
Je kunt een hoek berekenen met sin⁻¹, cos⁻¹ of tan⁻¹ en afronden op 1 decimaal.
De leerdoelen staan in het boek bovenaan de paragraaf. Aan het eind van de les komen ze terug in de checklist. Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.2
Startvraag
Welke weg naar de hoek?
Je kent van een rechthoekige driehoek de overstaande en de aanliggende zijde van hoek A. Hoe vind je hoek A?
sin⁻¹(overstaand : aanliggend)
cos⁻¹(overstaand : aanliggend)
tan⁻¹(overstaand : aanliggend)
tan⁻¹(aanliggend : overstaand)
Bij overstaand en aanliggend hoort de tangens: tan(A) = overstaand : aanliggend, dus A = tan⁻¹(overstaand : aanliggend). De sinus gebruikt overstaand en schuin, de cosinus aanliggend en schuin. De laatste optie draait de verhouding om: dan krijg je de andere scherpe hoek. Laat leerlingen eerst zelf kiezen voordat de uitleg komt.
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.2
Drie zijden bij een hoek
Bij hoek A heeft elke zijde een naam. De overstaande zijde ligt tegenover A, de aanliggende zijde ligt naast A en is geen schuine zijde, en de schuine zijde ligt tegenover de rechte hoek. Met die namen maak je de drie verhoudingen sin, cos en tan.
Wijs de namen aan in de figuur en wissel daarna de hoek: bij hoek C zijn overstaand en aanliggend verwisseld, de schuine zijde blijft hetzelfde. Dat is een veelgemaakte fout: de namen horen bij de hoek die je bekijkt, niet bij de zijde. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.2
Kiezen met SOS CAS TOA
Kies op basis van twee bekende zijden
sin⁻¹, cos⁻¹ of tan⁻¹
Naam
Verhouding
Je kent
sinus
O : S
O en S
cosinus
A : S
A en S
tangens
O : A
O en A
O is overstaand, A is aanliggend en S is schuin. Kijk eerst welke twee zijden je kent.
SOS CAS TOA is de geheugensteun: Sin = Overstaand : Schuin, Cos = Aanliggend : Schuin, Tan = Overstaand : Aanliggend. Laat leerlingen een eigen geheugensteun maken als dit niet bevalt. Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.2
Voorbeeldopdracht 1
In een rechthoekige driehoek is de aanliggende zijde van hoek A 6 cm en de schuine zijde 9 cm. Bereken hoek A.
gegeven
aanliggend = 6 cm
schuin = 9 cm
uitwerking
cos(A) = 6 : 9 ≈ 0,667
A = cos⁻¹(6 : 9)
A ≈ 48,2°
antwoord
Hoek A is ongeveer 48,2°
Aanliggend en schuin: dus de cosinus. Stap voor stap: zijden benoemen, formule kiezen, met cos⁻¹ terug naar de hoek. Wie sin⁻¹(6 : 9) intoetst, krijgt 41,8°: dat is de andere scherpe hoek. Controle: 48,2° + 41,8° = 90°. De overstaande zijde (√45 ≈ 6,7 cm) hoef je niet te gebruiken. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.2
Het stappenplan
Zo pak je elke hoekvraag in een rechthoekige driehoek aan.
Zijden benoemen
Zoek de hoek en schrijf O, A en S bij de zijden.
Formule kiezen
Welke twee zijden ken je? Kies sin, cos of tan.
Terugrekenen
Deel, toets de ⁻¹-knop in en rond af. Staat je rekenmachine op DEG?
Dit is de kern van de les. Laat leerlingen bij elke volgende vraag de drie stappen noemen. De meeste fouten ontstaan doordat ze meteen gaan rekenen met een verkeerde formule, of doordat de rekenmachine op radialen staat. Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.2
Opdrachten Kennis
1
Je kent de aanliggende en de schuine zijde van een hoek. Welke formule gebruik je?
sinus
cosinus
tangens
de stelling van Pythagoras
Aanliggend en schuin horen bij de cosinus (CAS: Cos = Aanliggend : Schuin). De sinus gebruikt overstaand en schuin, de tangens overstaand en aanliggend. Pythagoras berekent een zijde, geen hoek.
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.2
Opdrachten Toepassing
2
Bereken de hoek van het dak, op 1 decimaal.
Overstaand (2,4 m) en aanliggend (5,0 m): de tangens. tan(A) = 2,4 : 5 = 0,48, dus A = tan⁻¹(0,48) ≈ 25,6°. Wie 0,48 of 48° noteert, is bij de verhouding gebleven. Wie 64,4° vindt, heeft de verhouding omgedraaid (tan⁻¹(5 : 2,4)): dat is de andere scherpe hoek. Image credit: Eigen figuur, LessonUp
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.2
Opdrachten Toepassing
3
Bereken hoek A, afgerond op 1 decimaal.
35,7°
54,3°
30,3°
58,3°
Overstaand (7 cm) en schuin (12 cm): de sinus. sin⁻¹(7 : 12) ≈ 35,7°. 54,3° is cos⁻¹(7 : 12): de verkeerde formule, het is ook de andere scherpe hoek. 30,3° komt uit tan⁻¹(7 : 12). 58,3° is 7 : 12 = 0,583 als 58,3 gelezen: de verhouding is nog geen hoek. Image credit: Eigen figuur, LessonUp
Welke formule past bij welke zijden?
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.2
Opdrachten Toepassing
4
Overstaand en schuin bekend: gebruik de sinus.
Aanliggend en schuin bekend: gebruik de cosinus.
Overstaand en aanliggend bekend: gebruik de tangens.
Dit is SOS CAS TOA in drie regels. De afleiders zijn rekenwoorden van eerder: Pythagoras berekent een zijde en een wortel is geen goniometrische functie. Laat leerlingen elke regel afkorten tot sin, cos of tan.
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.2
Opdrachten Toepassing
★ 5
Een helling is 6 m lang en eindigt 0,5 m boven de grond. Bereken de hoek met de grond (1 decimaal).
De helling is de schuine zijde (6 m), de hoogte is overstaand (0,5 m). sin(A) = 0,5 : 6 ≈ 0,083, dus A = sin⁻¹(0,083) ≈ 4,8°. Wie 4,8 niet vindt maar 85,2° (cos⁻¹), heeft de verkeerde formule gekozen. Wie 0,083 noteert, is bij de verhouding gebleven. Doorvraag: is dit een steile helling voor een rolstoel?
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.2
V E R D E R K I J K E R
Hellingspercentage
Een helling van 10% betekent: 10 m omhoog op 100 m horizontaal. Dat is tan α = 0,10, dus α = tan⁻¹(0,10) ≈ 5,7°. Een helling van 100% is dus geen 90° maar 45°, want tan 45° = 1. Welke hoek hoort bij 50%?
Antwoord op de vraag: tan⁻¹(0,5) ≈ 26,6°. Het percentage is dus de tangens, niet de hoek zelf. Handig voor wie fietst of skateboardt: 10% voelt steil, maar is maar 5,7°. Een rotonde van 100% bestaat niet, een muur wel. Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.2
Checklist leerdoelen
Welk leerdoel vind je nog het lastigst?
7.2.1 Zijden benoemen
7.2.2 Sin, cos of tan kiezen
7.2.3 Hoek berekenen
Ik kan ze allemaal
In het boek sluit elke paragraaf af met de checklist leerdoelen. Gebruik de uitslag om te kiezen wat je de volgende les herhaalt.
Image credit: LessonUp
