§7.3 Zijden berekenen met goniometrie (leerjaar 3)

• newEditor
• Wiskunde
• Middelbare school
• vmbo t

Introductie

Leerlingen berekenen een zijde van een rechthoekige driehoek met sin, cos of tan als ze een hoek en een zijde kennen, ook als de gezochte zijde onder de streep staat. Les bij Getal & Ruimte vmbo-kgt (mavo) leerjaar 3, hoofdstuk 7 Goniometrie, paragraaf 7.3. Met startvraag, theorie, opdrachten Kennis en Toepassing, een Verderkijker en de checklist leerdoelen.

7

Goniometrie

Paragraaf 7.3

Zijden berekenen met goniometrie

Je weet de hoek en één zijde. Hoe reken je dan uit hoe hoog, hoe breed of hoe lang iets is?

Gemaakt bij Getal & Ruimte, leerjaar 3, vmbo-kgt (mavo)

Les bij Getal & Ruimte, leerjaar 3, hoofdstuk 7 Goniometrie, paragraaf 7.3 Zijden berekenen met goniometrie. Ongeveer 40 minuten, mavo. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 7

Paragraaf 7.3

7.3  Zijden berekenen met goniometrie

Leerdoelen

7.3.1

Je kunt een zijde berekenen als je een hoek en een andere zijde kent.

7.3.2

Je kunt de juiste formule opschrijven, zoals sin 35° = overstaand : schuin.

7.3.3

Je kunt vermenigvuldigen of delen, afhankelijk van waar de gezochte zijde staat.

De leerdoelen staan in het boek bovenaan de paragraaf. Aan het eind van de les komen ze terug in de checklist. Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 7

Paragraaf 7.3

Startvraag

De glijbaan

Een glijbaan is 6 m lang en maakt een hoek van 30° met de grond. Hoe hoog is het bovenste punt boven de grond?

A

2 m

B

3 m

C

4 m

D

5,2 m

Eerst schatten, dan rekenen. Hoogte = 6 · sin 30° = 6 · 0,5 = 3 m. 2 m en 4 m zijn gokjes. 5,2 m is 6 · cos 30°: de aanliggende zijde, dus hoe ver de glijbaan over de grond reikt, niet hoe hoog hij is. Doorvraag: wat verandert er als de hoek 45° wordt? Image credit: Eigen figuur, LessonUp

Hoofdstuk 7

Paragraaf 7.3

Een zijde uit een hoek

Ken je een hoek en één zijde, dan reken je een andere zijde uit. Hier geldt sin 35° = overstaand : schuin, dus sin 35° = ? : 8. Je vermenigvuldigt met 8: overstaand = 8 · sin 35° ≈ 4,6 cm. Controle: de overstaande zijde moet korter zijn dan de schuine zijde.

Het is dezelfde formule als bij het berekenen van een hoek, maar nu is de hoek bekend en de zijde onbekend. Laat leerlingen eerst de formule opschrijven met een vraagteken, dan pas rekenen. Doorvraag: wat is de aanliggende zijde in deze driehoek? (8 · cos 35° ≈ 6,6 cm) Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 7

Paragraaf 7.3

Zijde = verhouding · zijde

zijde = verhouding · bekende zijde

x = sin α · S, cos α · S of tan α · A

Je zoekt

Je kent

Formule

O

α en S

sin α · S

A

α en S

cos α · S

O

α en A

tan α · A

Staat de gezochte zijde onder de streep, dan deel je: S = O : sin α.

Laat leerlingen de formule uit de verhouding halen: sin α = O : S geeft O = sin α · S. Het gaat erom dat ze zien waar de onbekende staat. Staat de onbekende onderaan de breuk, dan deel je. Dat komt in het tweede voorbeeld. Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 7

Paragraaf 7.3

Voorbeeldopdracht 1

In een rechthoekige driehoek is hoek A = 28° en de aanliggende zijde 6 cm. Bereken de overstaande zijde.

gegeven

hoek A = 28°

aanliggend = 6 cm

uitwerking

tan 28° = overstaand : 6

overstaand = 6 · tan 28°

overstaand ≈ 3,19

antwoord

De overstaande zijde is ongeveer 3,2 cm

Aanliggend en overstaand: de tangens. De gezochte zijde staat boven de streep, dus je vermenigvuldigt: 6 · 0,5317 ≈ 3,19. Veelgemaakte fout: 6 : tan 28° ≈ 11,3 (delen in plaats van vermenigvuldigen). Controle: bij 28° is de overstaande zijde ongeveer half zo lang als de aanliggende. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 7

Paragraaf 7.3

Voorbeeldopdracht 2

In een rechthoekige driehoek is hoek A = 40° en de aanliggende zijde 5 cm. Bereken de schuine zijde.

gegeven

hoek A = 40°

aanliggend = 5 cm

uitwerking

cos 40° = 5 : schuin

schuin = 5 : cos 40°

schuin ≈ 6,53

antwoord

De schuine zijde is ongeveer 6,5 cm

Hier staat de onbekende onder de streep: cos 40° = 5 : schuin. Dan deel je 5 door cos 40°. Wie 5 · cos 40° ≈ 3,8 doet, krijgt een schuine zijde die korter is dan een rechthoekszijde: dat kan niet. Dat is een goede zelfcontrole: de schuine zijde is altijd de langste. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 7

Paragraaf 7.3

Opdrachten Kennis

1

Je kent hoek A en de schuine zijde en zoekt de aanliggende zijde. Welke berekening hoort erbij?

A

schuin · cos A

B

schuin · sin A

C

schuin : cos A

D

schuin · tan A

cos A = aanliggend : schuin, dus aanliggend = schuin · cos A. De sinus zou de overstaande zijde geven. Delen door cos A geeft een zijde die groter is dan de schuine zijde: dat kan niet voor een rechthoekszijde. Met tan hoort een andere combinatie van zijden.

Hoofdstuk 7

Paragraaf 7.3

Opdrachten Toepassing

2

Bereken de aanliggende zijde, op 1 decimaal.

Aanliggend en schuin: de cosinus. cos 62° = aanliggend : 7, dus aanliggend = 7 · cos 62° ≈ 3,3 cm. Wie sin 62° gebruikt, krijgt 6,2 cm: dat is de overstaande zijde. Wie 7 : cos 62° doet, krijgt 14,9 cm: langer dan de schuine zijde, dus onmogelijk. Image credit: Eigen figuur, LessonUp

Hoofdstuk 7

Paragraaf 7.3

Opdrachten Toepassing

3

Bereken de schuine zijde, afgerond op 1 decimaal.

A

1,7 cm

B

4,4 cm

C

8,6 cm

D

9,5 cm

Overstaand en schuin: de sinus. sin 25° = 4 : schuin, dus schuin = 4 : sin 25° ≈ 9,5 cm. 1,7 cm komt uit 4 · sin 25°: vermenigvuldigd in plaats van gedeeld. 4,4 cm is 4 : cos 25°: de verkeerde formule. 8,6 cm is 4 : tan 25°: ook de verkeerde formule. Image credit: Eigen figuur, LessonUp

Vermenigvuldigen of delen?

Hoofdstuk 7

Paragraaf 7.3

Opdrachten Toepassing

4

Zoek je een zijde bij een gegeven hoek, dan gebruik je sin, cos of tan.

Staat de gezochte zijde boven de streep, dan vermenigvuldig je.

Staat de gezochte zijde onder de streep, dan deel je.

tan

vermenigvuldig

deel

tel je op

trek je af

Leerlingen verwarren vaak vermenigvuldigen en delen. Laat ze de formule altijd eerst opschrijven met het vraagteken op de plek van de onbekende zijde. De afleiders passen niet bij een verhouding: optellen en aftrekken horen niet bij sin, cos of tan.

Hoofdstuk 7

Paragraaf 7.3

Opdrachten Toepassing

★ 5

Een ladder van 6 m maakt een hoek van 72° met de grond. Hoe hoog tegen de muur komt hij? (1 decimaal)

De ladder is de schuine zijde, de hoogte is overstaand aan de hoek bij de grond. Hoogte = 6 · sin 72° ≈ 5,7 m. Wie 6 · cos 72° ≈ 1,9 m vindt, heeft de afstand tot de muur berekend in plaats van de hoogte. Wie 6 : sin 72° ≈ 6,3 m vindt, heeft gedeeld terwijl de onbekende boven de streep stond.

Hoofdstuk 7

Paragraaf 7.3

V E R D E R K I J K E R

Sinus en cosinus zijn elkaars spiegel

Er geldt: sin 35° = cos 55°. De overstaande zijde van de ene scherpe hoek is de aanliggende zijde van de andere. Probeer op je rekenmachine sin 20° en cos 70°. Wat valt op? Past dat bij elk paar hoeken dat samen 90° is?

sin 20° = cos 70° ≈ 0,342 en sin 35° = cos 55° ≈ 0,574. Het werkt voor elk paar dat optelt tot 90°. In één driehoek is de overstaande zijde van A de aanliggende zijde van B. Een mooie ontdekking voor snelle leerlingen. Image credit: LessonUp

Hoofdstuk 7

Paragraaf 7.3

Checklist leerdoelen

Welk leerdoel vind je nog het lastigst?

1

7.3.1 Zijde berekenen met een hoek

2

7.3.2 Formule opschrijven

3

7.3.3 Vermenigvuldigen of delen

4

Ik kan ze allemaal

In het boek sluit elke paragraaf af met de checklist leerdoelen. Gebruik de uitslag om te kiezen wat je de volgende les herhaalt.

7.3

Klik hier

voor meer kant-en-klare themalessen

Image credit: LessonUp