Veranderingen (Wiskunde B havo), les 1: Uitleg

• newEditor
• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 4,5

Introductie

Uitleg over veranderingen voor havo wiskunde B: intervalnotatie, differentie en differentiequotiënt, toenamediagrammen bij grafiek, tabel en formule, en stijgen en dalen, toenemend en afnemend. Met eigen grafieken, toenamediagrammen en zes controlevragen.

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · VERANDERINGEN

Veranderingen

Examenstof wiskunde B havo

Les 1 van 3: uitleg. Les 2 is de examentraining, les 3 de terugblik met quiz. Syllabus: Subdomein D1 Veranderingen.

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · VERANDERINGEN

Wat ga je kunnen?

Ik kan een toenamediagram tekenen en lezen, een differentiequotiënt berekenen en interpreteren, en beschrijven of een functie toenemend of afnemend stijgt of daalt.

Waar denk je aan bij het woord verandering?

Verwacht: groeien, afnemen, sneller, langzamer, verschil, gemiddelde, stijgen, dalen, temperatuur, snelheid. Koppel aan het doel van de les: veranderingen van een functie beschrijven met intervallen, toenamediagrammen en differentiequotiënten. De afgeleide en de helling in één punt komen in de les Afgeleide functies.

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · VERANDERINGEN

Interval en intervalnotatie

• Een interval is een stuk van de x-as tussen twee grenzen.

• Gesloten grens [ ]: de grens hoort erbij. [1, 4] betekent 1 ≤ x ≤ 4.

• Open grens ⟨ ⟩: de grens hoort er niet bij. ⟨1, 4⟩ betekent 1 < x < 4.

• Zonder einde schrijf je een pijl: [3, →⟩ is x ≥ 3 en ⟨←, 2⟩ is x < 2.

Parate kennis uit D1: het begrip interval en de intervalnotaties. Methoden verschillen in notatie (sommige gebruiken ronde haken voor een open grens); hier staan open grenzen als ⟨ ⟩ en onbegrensde intervallen met een pijl. Een grens met een decimaal schrijf je liever als ongelijkheid, bijvoorbeeld 2 < x < 2,5. Veelgemaakte fout: de grens meenemen terwijl hij open is.

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · VERANDERINGEN

Differentie: Δy

• Een differentie is een verschil: de toename van de functiewaarde op een interval.

• Op het interval [a, b] is Δx = b − a en Δy = f(b) − f(a).

• Δy is positief als f groeit en negatief als f afneemt.

Op [2, 5] is Δx = 3 en Δy = 3, met f(2) = −2 en f(5) = 1. De Δ-notatie voor een differentie is parate kennis (D1). Veelgemaakte fouten: de volgorde omdraaien (f(a) − f(b), dan klopt het teken niet) of alleen f(b) nemen. Δy is de verandering van de functiewaarde, niet de functiewaarde zelf.

f(x) = x² − 6x + 6: koorde AB op het interval [2, 5]

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · VERANDERINGEN

Differentiequotiënt: gemiddelde verandering

• Het differentiequotiënt Δy/Δx is de gemiddelde verandering op een interval.

• Op [2, 5] bij f(x) = x² − 6x + 6: Δy/Δx = 3/3 = 1.

• Dat is de helling van de koorde AB, de lijn door A(2, −2) en B(5, 1).

• Gemiddeld stijgt f dus 1 per stap van 1 in x.

Het differentiequotiënt zegt niets over wat er tussen A en B gebeurt: f daalt eerst tot x = 3 (het dal) en stijgt daarna, gemiddeld is het 1. Veelgemaakte fouten: Δy/Δx omdraaien of vergeten door Δx te delen. Hier blijft het bij intervallen; de helling in één punt komt in Afgeleide functies. Image credit: Eigen figuur

Welk interval hoort bij 2 ≤ x < 7?

A

[2, 7⟩

B

⟨2, 7]

C

[2, 7]

D

⟨2, 7⟩

2 ≤ x betekent dat 2 meedoet: gesloten grens [ . x < 7 betekent dat 7 niet meedoet: open grens ⟩ . ⟨2, 7] zet de haken om; [2, 7] neemt ook 7 mee; ⟨2, 7⟩ laat beide grenzen weg.

Neem f(x) = x² − 6x + 6. Hoe groot is Δy op het interval [1, 4]?

A

3

B

−1

C

−3

D

−2

f(4) = 16 − 24 + 6 = −2 en f(1) = 1 − 6 + 6 = 1, dus Δy = −2 − 1 = −3. 3 draait de volgorde om (f(1) − f(4)); −1 is Δy/Δx = −3/3, dus het differentiequotiënt; −2 is alleen f(4).

f(x) = x² − 6x + 6 met de waarden bij x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 en 6

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · VERANDERINGEN

Toenamediagram bij een grafiek

• Verdeel het interval [0, 6] in stappen van Δx = 1.

• Bepaal per stap de toename: Δy = f(x + 1) − f(x).

• Lees af: f(0) = 6, f(1) = 1, f(2) = −2, f(3) = −3, f(4) = −2, f(5) = 1, f(6) = 6.

Eerste stap bij een toenamediagram: functiewaarden bij de grenzen van de intervallen. Bij een grafiek lees je ze af, hier staan ze als punten op de grafiek van f(x) = x² − 6x + 6. Kies de stapgrootte passend bij de vraag; in de opgave staat meestal welke. Image credit: Eigen figuur

Toenamediagram van f(x) = x² − 6x + 6, stap 1

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · VERANDERINGEN

Het toenamediagram tekenen

• Per interval één staafje met hoogte Δy: −5, −3, −1, 1, 3 en 5.

• Δy positief: staafje boven de as, f stijgt.

• Δy negatief: staafje onder de as, f daalt.

In het diagram lees je de verandering per stap, niet de functiewaarde zelf: het staafje bij [0, 1] is −5 omdat f van 6 naar 1 gaat. De staafjes worden eerst korter (f daalt steeds minder snel) en daarna steeds hoger (f stijgt steeds sneller). Het teken wisselt bij x = 3, waar het dal van f ligt. Image credit: Eigen figuur

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · VERANDERINGEN

Toenamediagram bij tabel of formule

• Tabel: trek opeenvolgende waarden van elkaar af, laatste min eerste.

• Tabel met f(0) = 1, f(1) = 4, f(2) = 6 en f(3) = 7: staafjes 3, 2 en 1.

• Formule: werk f(x + 1) − f(x) uit, of vul de grenzen een voor een in.

Bij f(x) = x² − 6x + 6 is de hoogte van het staafje op [x, x + 1] gelijk aan 2x − 5. Controle: op [3, 4] is dat 1, want f(4) − f(3) = −2 − (−3) = 1. De tabel met 1, 4, 6, 7 is een los voorbeeld. Veelgemaakte fout: de waarden van de tabel zelf als staafjes tekenen.

Toenamediagram van f, stap 1

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · VERANDERINGEN

Van toenamediagram naar grafiek

• Staafje boven de as: de grafiek gaat omhoog. Eronder: omlaag.

• Een hoger staafje betekent een grotere verandering in die stap.

• Je kent alleen de veranderingen: begin bij een gegeven waarde, bijvoorbeeld f(0) = 2.

• Dan is f(1) = 6, f(2) = 8, f(3) = 9, f(4) = 8 en f(5) = 5.

Parate vaardigheid 1: vanuit een toenamediagram het verloop van een grafiek schetsen. Zonder beginwaarde ligt de grafiek niet vast: alle grafieken die op dezelfde manier veranderen passen. Van deze waarden is f(3) = 9 het grootst: daar gaat het van stijgen (staafje 1) naar dalen (staafje −1). Laat leerlingen de punten (0, 2) tot (5, 5) tekenen en met een vloeiende lijn verbinden. Image credit: Eigen figuur

Hieronder het toenamediagram van f (stap 1). Er geldt f(0) = 3. Hoe groot is f(4)?

A

1

B

4

C

3

D

7

Tel de staafjes op [0, 1] tot en met [3, 4] bij f(0) op: 3 − 2 − 1 + 1 + 3 = 4. 1 vergeet f(0) (alleen de som van de staafjes); 3 is f(0) zelf; 7 vergeet f(0) en telt de staafjes als positief (2 + 1 + 1 + 3). Image credit: Eigen figuur

Neem f(x) = x² − 6x + 6. Hoe hoog is het staafje (stap 1) op [6, 7]?

f(7) = 49 − 42 + 6 = 13 en f(6) = 36 − 36 + 6 = 6, dus het staafje is 13 − 6 = 7 hoog. Controle met 2x − 5 voor x = 6: 7. Verwachte fouten: 13 (alleen f(7)) of 9 (de formule 2x − 5 met x = 7, het staafje op [7, 8]).

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · VERANDERINGEN

Gemiddelde verandering in een context

• Een kop koffie koelt af. De tabel geeft de temperatuur T (in °C) na t minuten.

• Op [0, 5] is Δy/Δx = −9,2: gemiddeld neemt T met 9,2 °C per minuut af.

• Zet de eenheid erbij: °C per minuut.

De meetwaarden zijn een verzonnen voorbeeld. Een negatief differentiequotiënt betekent afnemen. Op [1, 3] is het (54 − 75)/(3 − 1) = −10,5 °C per minuut: de koffie koelt in het begin sneller af dan later (per minuut −15 op [0, 1] en −4 op [4, 5]). Parate vaardigheid 4: een differentiequotiënt interpreteren als gemiddelde verandering op een interval. Een veelgemaakte fout is de eenheid vergeten.

f(x) = x² − 6x + 6 met de waarden bij x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 en 6

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · VERANDERINGEN

Stijgen en dalen

• f is stijgend op een interval als Δy overal positief is: de grafiek gaat omhoog.

• f is dalend als Δy overal negatief is: de grafiek gaat omlaag.

• Bij f(x) = x² − 6x + 6 is f dalend op [0, 3] en stijgend op [3, 6].

• In het dal bij x = 3 wisselt het teken van de staafjes van min naar plus.

Op [0, 3] zijn de staafjes van het toenamediagram −5, −3 en −1, op [3, 6] zijn ze 1, 3 en 5. Stijgend of dalend zegt alleen iets over het teken van Δy, niet over de ligging ten opzichte van de x-as: f(4) = −2 is negatief, toch stijgt f op [3, 4] al. Image credit: Eigen figuur

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · VERANDERINGEN

Toenemend en afnemend

• Toenemend stijgend: f stijgt steeds sneller, de staafjes boven de as worden hoger.

• Afnemend stijgend: f stijgt steeds langzamer, de staafjes boven de as worden lager.

• Toenemend dalend: f daalt steeds sneller, de staafjes onder de as worden langer.

• Afnemend dalend: f daalt steeds langzamer, de staafjes onder de as worden korter.

Let op de woorden: toenemend of afnemend gaat over de grootte van Δy per stap, stijgend of dalend over het teken. Bij dalen kiezen veel leerlingen verkeerd, omdat −1 groter is dan −3 maar de daling korter is. Praat in termen van steeds sneller of steeds langzamer. Op een toenamediagram: boven de as hogere staafjes is toenemend stijgend, onder de as langere staafjes is toenemend dalend.

Toenamediagram van f(x) = x² − 6x + 6, stap 1

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · VERANDERINGEN

Het verloop aflezen uit het diagram

• Op [0, 3] zijn de staafjes negatief en korter: afnemend dalend.

• Op [3, 6] zijn de staafjes positief en hoger: toenemend stijgend.

• Het teken wisselt bij x = 3: daar ligt het dal van f.

Parate vaardigheid 5 (productief): het veranderingsgedrag beschrijven met een toenamediagram. Laat leerlingen zo een beschrijving in woorden geven: eerst afnemend dalend tot x = 3, daarna toenemend stijgend. Image credit: Eigen figuur

Bereken met de tabel de gemiddelde verandering van T op [2, 4].

A

−15 °C per minuut

B

7,5 °C per minuut

C

−3,75 °C per minuut

D

−7,5 °C per minuut

T(2) = 63 en T(4) = 48, dus ΔT/Δt = (48 − 63)/(4 − 2) = −15/2 = −7,5 °C per minuut. −15 vergeet te delen door Δt; 7,5 draait de volgorde om (63 − 48); −3,75 deelt door 4, de rechtergrens, in plaats van Δt = 2.

Hieronder de grafiek van f. Op welk interval is f toenemend stijgend?

A

[−1, 0]

B

[0, 1]

C

[1, 2]

D

[2, 3]

Op [2, 3] stijgt f en wordt de grafiek steeds steiler: toenemend stijgend. [−1, 0] is stijgend maar steeds minder steil (afnemend stijgend). [0, 1] is dalend en steeds steiler (toenemend dalend). [1, 2] is dalend en steeds vlakker (afnemend dalend). De functie is f(x) = x³ − 3x² + 4. Image credit: Eigen figuur

Wat vind je nu het lastigst?

1

Intervalnotatie

2

Een toenamediagram tekenen

3

Het verloop schetsen bij een toenamediagram

4

Toenemend of afnemend

Gebruik de uitslag om te kiezen welk vraagtype je in les 2 als eerste bespreekt.

Leg uit wat een staafje onder de as in een toenamediagram betekent.

Een goed antwoord: op dat interval is Δy negatief, dus de functiewaarde neemt af en de grafiek daalt. Hoe langer het staafje, hoe sneller de daling. Verwachte fout: denken dat f zelf negatief is.

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · VERANDERINGEN

Begrippen (1/2)

• interval: een stuk van de x-as tussen twee grenzen, bijvoorbeeld [1, 4] of ⟨←, 2⟩

• differentie Δy: de toename van de functiewaarde: f(b) − f(a)

• differentiequotiënt: Δy/Δx: de gemiddelde verandering op een interval

• toenamediagram: diagram met per interval een staafje met hoogte Δy

• stijgend: Δy is positief: de grafiek gaat omhoog

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · ANALYSE · VERANDERINGEN

Begrippen (2/2)

• dalend: Δy is negatief: de grafiek gaat omlaag

• toenemend stijgend: f stijgt steeds sneller

• afnemend stijgend: f stijgt steeds langzamer

• toenemend dalend: f daalt steeds sneller

• afnemend dalend: f daalt steeds langzamer