§3.2 Hoeken in vlakke figuren (leerjaar 4)
3
Drie dimensies, afstanden en hoeken
Paragraaf 3.2
Hoeken in vlakke figuren
Een honingraat bestaat uit zeshoeken die precies op elkaar passen. Hoe groot zijn hun hoeken?
Gemaakt bij Getal & Ruimte, leerjaar 4, vmbo-kgt (mavo)
Introductie
Onderdelen in deze les
3
Drie dimensies, afstanden en hoeken
Paragraaf 3.2
Hoeken in vlakke figuren
Een honingraat bestaat uit zeshoeken die precies op elkaar passen. Hoe groot zijn hun hoeken?
Gemaakt bij Getal & Ruimte, leerjaar 4, vmbo-kgt (mavo)
Les bij Getal & Ruimte, leerjaar 4, hoofdstuk 3 Drie dimensies, afstanden en hoeken, paragraaf 3.2 Hoeken in vlakke figuren. Ongeveer 40 minuten, mavo. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 3
Paragraaf 3.2
3.2 Hoeken in vlakke figuren
Leerdoelen
3.2.1
Je kunt hoeken berekenen met de hoekensom en met F-hoeken en Z-hoeken.
3.2.2
Je kunt hoeken berekenen in gelijkbenige en gelijkzijdige driehoeken.
3.2.3
Je kunt de hoeken van een regelmatige veelhoek berekenen.
De leerdoelen staan in het boek bovenaan de paragraaf. Aan het eind van de les komen ze terug in de checklist. Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 3
Paragraaf 3.2
Startvraag
Het driehoekige zeil
Een driehoekig zeil heeft twee hoeken van 48° en 75°. Hoe groot is de derde hoek?
123°
57°
27°
105°
De hoekensom van een driehoek is 180°, dus 180° − 48° − 75° = 57°. Wie 123° kiest, telt alleen 48° en 75° op en stopt daar. Wie 27° kiest, trekt de twee hoeken van elkaar af. Wie 105° kiest, trekt alleen 75° van 180° af. Vraag leerlingen eerst te verwoorden welke regel ze gebruiken: dat is de basis voor de rest van deze les.
Hoofdstuk 3
Paragraaf 3.2
Evenwijdige lijnen en hoeken
Snijdt een lijn twee evenwijdige lijnen, dan zijn er hoeken die even groot zijn.
F-hoeken liggen op dezelfde plek bij elk snijpunt.
Z-hoeken liggen binnen de lijnen, aan weerszijden van de snijlijn.
In de figuur zijn 65°, α en β dus alle drie even groot.
Laat leerlingen met hun vinger de F en de Z in de figuur volgen. Een veelgemaakte fout is een hoek F-hoek noemen die aan de andere kant van de snijlijn ligt: dat is geen F-hoek. Benadruk ook dat dit alleen werkt als de lijnen evenwijdig zijn (de pijltjes in de figuur). Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 3
Paragraaf 3.2
Hoeken bij evenwijdige lijnen
Drie regels waarmee je bijna elke hoek in zo'n figuur vindt.
F-hoeken
Zelfde plek bij elk snijpunt: even groot.
Z-hoeken
Binnen de lijnen, aan weerszijden van de snijlijn: even groot.
Rechte lijn
Naast elkaar op een rechte lijn: samen 180°.
Laat leerlingen een eigen figuur tekenen en één hoek invullen. Daarna ruilen ze met hun buurman, die alle andere hoeken berekent. Overstaande hoeken zijn ook gelijk: dat kan als extra vierde regel erbij. Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 3
Paragraaf 3.2
Voorbeeldopdracht 1
De lijnen l en m zijn evenwijdig. Bereken hoek x.
gegeven
l ∥ m
de hoek bij l is 110°
uitwerking
Rechte lijn: 180° − 110° = 70°
F-hoeken zijn gelijk, dus x = 70°
antwoord
Hoek x is 70°
Twee stappen: eerst de hoek naast 110° op de rechte lijn (180° − 110° = 70°), daarna naar de andere lijn met de F-hoek. Je kunt ook eerst de F-hoek nemen (110°) en dan 180° − 110° = 70°. Beide volgordes kloppen. Veelgemaakte fout: x = 110° noemen omdat 'het een F-hoek is', terwijl x aan de andere kant van de snijlijn ligt. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 3
Paragraaf 3.2
Opdrachten Kennis
1
De lijnen zijn evenwijdig en hoek a is 58°. Hoe groot is hoek b?
122°
32°
58°
29°
Hoek a en hoek b zijn Z-hoeken, dus even groot: 58°. Wie 122° kiest, rekent 180° − 58° uit en gebruikt de rechte lijn terwijl dat hier niet hoeft. Wie 32° kiest, trekt af van 90°. Wie 29° kiest, halveert de hoek omdat hij 'het midden' zoekt. Vraag: hoe zie je dat het Z-hoeken zijn? Image credit: Eigen figuur, LessonUp
Hoofdstuk 3
Paragraaf 3.2
Gelijkbenige driehoek
Een gelijkbenige driehoek heeft twee gelijke zijden en dus twee gelijke basishoeken. Is de tophoek 40°, dan zijn de basishoeken samen 140°, dus elk 70°.
In een gelijkzijdige driehoek zijn alle zijden gelijk en alle hoeken 60°.
Rekenvolgorde: eerst 180° − 40° = 140°, dan delen door 2. Veelgemaakte fout: 140° als basishoek noemen. De streepjes in de figuur geven aan welke zijden gelijk zijn. Doorvraag: wat is de tophoek als de basishoeken 50° zijn? (180° − 100° = 80°.) Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 3
Paragraaf 3.2
Hoeken in een regelmatige veelhoek
hoekensom van een n-hoek
(n − 2) · 180°
In een regelmatige n-hoek zijn alle hoeken even groot: één hoek is (n − 2) · 180° : n. De hoek bij het middelpunt tussen twee hoekpunten is 360° : n.
Laat zien waar (n − 2) vandaan komt: vanuit één hoekpunt kun je de veelhoek in n − 2 driehoeken verdelen, elk met hoekensom 180°. Bij een vierhoek: 2 driehoeken, 360°. Bij een zeshoek: 4 driehoeken, 720°. Image credit: LessonUp
Vul in voor de regelmatige zeshoek.
De hoekensom is (6 − 2) · 180° = 720°.
Hoek α is 720° : 6 = 120°.
Hoek β bij M is 360° : 6 = 60°.
Hoofdstuk 3
Paragraaf 3.2
Opdrachten Toepassing
2
Controle: driehoek ABM is gelijkzijdig (β = 60° en de basishoeken zijn ook 60°), dus hoek α is 60° + 60° = 120°. De afleider 540 is de hoekensom van een vijfhoek, 108 is één hoek van een regelmatige vijfhoek en 90 is een gokje. Vraag welke twee manieren ze kennen om α te vinden. Image credit: Eigen figuur, LessonUp
Hoofdstuk 3
Paragraaf 3.2
Opdrachten Toepassing
3
Hoe groot is één hoek van een regelmatige achthoek?
108°
150°
45°
135°
Hoekensom: (8 − 2) · 180° = 1080°. Eén hoek: 1080° : 8 = 135°. Wie 45° kiest, heeft 360° : 8 berekend: dat is de hoek bij het middelpunt, niet de hoek van de achthoek. Wie 108° kiest, gebruikt de vijfhoek. Wie 150° kiest, gebruikt de twaalfhoek of rekent 1200° : 8. Image credit: Eigen figuur, LessonUp
Hoofdstuk 3
Paragraaf 3.2
Opdrachten Toepassing
★ 4
ABCDE is een regelmatige vijfhoek. Bereken hoek BAC in graden.
Stap 1: hoek ABC = (5 − 2) · 180° : 5 = 108°. Stap 2: AB = BC, dus driehoek ABC is gelijkbenig met tophoek 108°. Stap 3: hoek BAC = (180° − 108°) : 2 = 36°. Wie 72° antwoordt, vergeet te delen door 2. Wie 108° antwoordt, noemt de hoek van de vijfhoek. Examenstijl: vraag leerlingen ook om 'laat zien dat hoek BAC 36° is' met de stappen erbij. Image credit: Eigen figuur, LessonUp
Hoofdstuk 3
Paragraaf 3.2
V E R D E R K I J K E R
Waarom een honingraat zeshoeken heeft
Zeshoeken passen zonder gaten tegen elkaar: drie hoeken van 120° geven samen precies 360°. Met vijfhoeken lukt dat niet, want 3 · 108° = 324° en dat laat een kier. Bijen bouwen daarom zeshoeken: zo gebruiken ze de minste was voor de meeste cellen.
Laat leerlingen onderzoeken welke regelmatige veelhoeken een vlak zonder gaten kunnen bedekken: driehoek (6 · 60°), vierkant (4 · 90°) en zeshoek (3 · 120°). Check bij elke veelhoek of de hoek een deler van 360° is. Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 3
Paragraaf 3.2
Checklist leerdoelen
Welk leerdoel vind je nog het lastigst?
3.2.1 Hoeken berekenen met F- en Z-hoeken
3.2.2 Hoeken in gelijkbenige driehoeken
3.2.3 Hoeken in regelmatige veelhoeken
Ik kan ze allemaal
In het boek sluit elke paragraaf af met de checklist leerdoelen. Gebruik de uitslag om te kiezen wat je de volgende les herhaalt.
Image credit: LessonUp
