Som-, verschil- en kettingfuncties

• newEditor
• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 5

Som-, verschil- en kettingfuncties

Open vanuit voorkennis: leerlingen kennen al functievoorschriften van lineaire, exponentiële en gebroken functies. Deze les gaat over het combineren van zulke functies en het correct herleiden van het resultaat.

Lesdoel

Ik kan functievoorschriften opstellen van de somfunctie s(x)=f(x)+g(x), de verschilfunctie v(x)=f(x)-g(x) en de kettingfunctie k(x)=f(g(x)).

Startopgave:

Maak opgave 27

basis: zonder 3 voor de wortel

5

minute

00

second

add30s

Welke woorden koppel jij aan som, verschil en kettingfuncties?

Gebruik de opbrengst om voorkennis op te halen. Verwachte woorden: optellen, aftrekken, invullen, haakjes, herleiden, binnenste functie, exponentieel, breuk.

Drie manieren om functies te combineren

Met twee functies `f` en `g` kun je nieuwe functies maken:

• somfunctie: `s(x)=f(x)+g(x)`

• verschilfunctie: `v(x)=f(x)-g(x)`

• kettingfunctie: `k(x)=f(g(x))`

Bij de eerste twee tel of trek je de uitkomsten af of op.

Bij de kettingfunctie vul je eerst `g(x)` in in `f`.

Benadruk het verschil tussen optellen van functiewaarden en samenstellen van functies. Veel leerlingen verwarren f(x)+g(x) met f(g(x)).

Wat is het grote verschil?

• Bij `s(x)` en `v(x)` blijven `f` en `g` naast elkaar staan.

• Bij `k(x)=f(g(x))` komt de ene functie in de andere.

• Reken daarom bij een kettingfunctie altijd van binnen naar buiten.

• Herleid pas op het eind zo ver mogelijk.

Gebruik eventueel een klein mondeling voorbeeld: als f(x)=x² en g(x)=x+1, dan is f(x)+g(x)=x²+x+1 maar f(g(x))=(x+1)². Dat laat meteen zien dat dit niet hetzelfde is.

Stappenplan bij opstellen

1. Schrijf `f(x)` en `g(x)` eerst duidelijk op.

2. Kies of je optelt, aftrekt of invult.

3. Zet haakjes correct neer, vooral bij `v(x)` en `k(x)`.

4. Werk nauwkeurig uit.

5. Herleid het functievoorschrift zo ver mogelijk.

Leg bij stap 3 uit dat juist de haakjes fouten voorkomen, bijvoorbeeld bij x-(2x-3).

Voorbeeld: som- en verschilfunctie

Gegeven:

`f(x)=2x-5`

`g(x)=x^2+3`

Dan geldt:

` s(x)=f(x)+g(x)=(2x-5)+(x^2+3)=x^2+2x-2`

` v(x)=f(x)-g(x)=(2x-5)-(x^2+3)=-x^2+2x-8`

Laat zien dat de verschilfunctie vooral foutgevoelig is door het minteken voor de tweede haakjes.

Opletten met haakjes

Vooral bij verschilfuncties moet je zorgvuldig werken:

`v(x)=f(x)-g(x)`

Als `g(x)=2x-7`, dan is

`f(x)-g(x)=f(x)-(2x-7)`

Het minteken verandert bij uitwerken alle tekens in de tweede haakjes.

Veelgemaakte fout: f(x)-2x-7 schrijven in plaats van f(x)-(2x-7).

Welke formule hoort bij een kettingfunctie?

A

f(x)-g(x)

B

f(g(x))

C

f(x)+g(x)

D

g(f)+x

Checkt het kernverschil tussen optellen/aftrekken en samenstellen.

Aanpak bij combineren van functies

Bij een somfunctie tel je de functiewaarden op. Bij een verschilfunctie moet je goed op haakjes letten. Bij een kettingfunctie werk je van binnen naar buiten en herleid je pas op het einde.

functiewaarden

haakjes

binnen

herleid

grafieken

mintekens

buiten

differentieer

noemers

Sluit aan op slides 2 t/m 6: definities, verschil in werkwijze en belang van haakjes.

Waarom zijn haakjes bij v(x)=f(x)-g(x) zo belangrijk?

Bespreek dat een verschilfunctie het minteken vóór de tweede functie over alle termen laat werken. Verwachte elementen: haakjes om g(x), alle tekens veranderen bij uitwerken, voorbeeld zoals x-(2x-7).

Kettingfunctie: van binnen naar buiten

Bij `k(x)=f(g(x))` doe je twee stappen:

• bereken eerst de binnenste functie `g(x)`;

• vul dat resultaat daarna in in `f`.

Dus niet optellen of aftrekken, maar substitueren.

Gebruik consequent de taal binnenste functie en buitenste functie. Dat helpt bij samengestelde functies met meerdere bewerkingen.

Voorbeeld: kettingfunctie

Gegeven:

`f(x)=3x+1`

`g(x)=x^2-4`

Dan:

`k(x)=f(g(x))=3(g(x))+1`

`=3(x^2-4)+1`

`=3x^2-12+1`

`=3x^2-11`

Benadruk dat je in f(x)=3x+1 overal waar x staat, g(x) invult.

Voorbeeld met exponentiële functie

Gegeven:

`f(x)=2^x`

`g(x)=2^(x+1)`

Somfunctie:

Kettingfunctie:

Hier zie je duidelijk dat som en ketting verschillende functies geven.

Laat eventueel grafisch vergelijken: 2^x + x - 1 en 2^(x-1) zien er totaal anders uit.

Exponentiële functies juist combineren

Als f(x)=2^x en g(x)=x-1, dan is de somfunctie gelijk aan 2^x+x-1. De kettingfunctie wordt dan 2^(x-1). Bij een exponentiële functie blijft de macht vaak staan en niet elke uitkomst is verder herleidbaar.

somfunctie

kettingfunctie

macht

herleidbaar

verschilfunctie

noemer

wegdeelbaar

coëfficiënt

lineair

Verwijst direct naar slides 9, 10 en 11.

Voorbeeld met gebroken functie

Gegeven:

`f(x)=1/x`

`g(x)=x+4`

Dan:

`k(x)=f(g(x))=1/(x+4)`

Je ziet: in `1/x` wordt de `x` vervangen door `x+4`.

Veelgemaakte fout: 1/x+4 schrijven in plaats van 1/(x+4). Benadruk het belang van haakjes in de noemer.

Herleiden van een verschil met breuken

Gegeven:

`f(x)=3/x`

`g(x)=1/x`

Dan:

`v(x)=f(x)-g(x)=3/x-1/x=2/x`

Bij gelijknamige breuken trek je alleen de tellers van elkaar af.

Als voorkennis van breuken zwak is, herinner aan de structuur a/x - b/x = (a-b)/x.

Gebroken functies combineren

Ook bij gebroken functies gebruik je dezelfde definities.

Voorbeelden:

• `f(x)=1/x`

• `g(x)=x+2`

• `h(x)=(2x-1)/(x+3)`

Werk netjes met haakjes en vereenvoudig breuken pas daarna.

Noem indien passend dat niet elke x-waarde is toegestaan, bijvoorbeeld x=0 bij 1/x. Houd de focus wel op functievoorschriften opstellen, niet op een volledige domeinbespreking.

Strategieën bij lastiger opgaven

• Schrijf eerst de gekozen formule op: `s(x)`, `v(x)` of `k(x)`.

• Zet elke invoer tussen haakjes.

• Werk stap voor stap uit, niet in één sprong.

• Kijk pas op het einde of herleiden mogelijk is.

• Controleer of je uitkomst nog past bij het type functie.

Met 'past bij het type functie' kun je bedoelen: lineair in lineair kan kwadratisch worden bij samenstelling, een gebroken functie blijft vaak een breukvorm, enzovoort.

Wat is k(x) als f(x)=1/x en g(x)=x+4?

A

1/(x+4)

B

1/x+4

C

x/(x+4)

D

1/(4x)

Plausibele misvatting: 1/x+4 schrijven zonder haakjes in de noemer.

Breuken combineren en herleiden

Bij f(x)=3/x en g(x)=1/x krijg je voor de verschilfunctie v(x)=2/x. Als f(x)=2x+1 en g(x)=1/x, dan is de kettingfunctie eerst 2/x+1. Die kun je eventueel herschrijven als één breuk, namelijk (2+x)/x, dus je herleidt pas na het opstellen.

verschilfunctie

kettingfunctie

breuk

herleidt

somfunctie

grafiek

macht

substitueert

noemer

Gebaseerd op slides 12 t/m 16, met nadruk op correcte volgorde: opstellen en daarna vereenvoudigen.

Welke opgavensoort vind jij nu nog het lastigst?

1

somfunctie

2

verschilfunctie

3

kettingfunctie

4

herleiden

Oefenen: opgave 34,35,36

Of doe mee als je de basisroute volgt

Stel het functievoorschrift op en herleid:

1. `f(x)=x+2`, `g(x)=3x-1` → `s(x)`

2. `f(x)=4x+5`, `g(x)=x^2` → `v(x)`

3. `f(x)=2x-3`, `g(x)=x+4` → `k(x)`

Houd de eerste opgaven laagdrempelig zodat alle leerlingen succeservaring hebben voordat exponentiële en gebroken functies volgen.

Oefenen: basisniveau

Stel het functievoorschrift op en herleid:

1. `f(x)=x+2`, `g(x)=3x-1` → `s(x)`

2. `f(x)=4x+5`, `g(x)=x^2` → `v(x)`

3. `f(x)=2x-3`, `g(x)=x+4` → `k(x)`

Houd de eerste opgaven laagdrempelig zodat alle leerlingen succeservaring hebben voordat exponentiële en gebroken functies volgen.

Oefenen: met exponentiële functies

Stel het functievoorschrift op en herleid:

1. `f(x)=2^x`, `g(x)=x+1` → `s(x)`

2. `f(x)=3x`, `g(x)=4^x` → `k(x)`

3. `f(x)=5^x`, `g(x)=2^x` → `v(x)`

Bij opgave 3 kunnen leerlingen ontdekken dat niet alles verder herleidbaar is. Dat is een belangrijk inzicht.

Oefenen: met gebroken functies

Stel het functievoorschrift op en herleid:

1. `f(x)=1/x`, `g(x)=x-2` → `k(x)`

2. `f(x)=2/x`, `g(x)=1/x` → `s(x)`

3. `f(x)=x+1`, `g(x)=1/x` → `k(x)`

Laat bij de eerste en derde opgave goed op haakjes letten: 1/(x-2) en 1/x + 1 of (x+1)/x afhankelijk van herleiding.

Extra uitdaging

Stel het functievoorschrift op en herleid:

1. `f(x)=2x-1`, `g(x)=(x+3)/x` → `k(x)`

2. `f(x)=1/x`, `g(x)=2^x+1` → `k(x)`

3. `f(x)=3^x`, `g(x)=1/x` → `s(x)`

Deze slide is bedoeld voor differentiatie naar boven. Opgave 1 vraagt zorgvuldig herleiden, opgave 2 en 3 vragen functioneel inzicht zonder altijd veel algebra.

Veelgemaakte fouten

• `f(x)+g(x)` verwarren met `f(g(x))`

• haakjes vergeten bij `v(x)=f(x)-g(x)`

• in een kettingfunctie niet overal `x` vervangen

• breuken onjuist samenvoegen

• denken dat elke uitkomst altijd verder herleidbaar is

Neem hier bewust foutvoorbeelden mondeling door. Juist het herkennen van fouten versterkt het procedurele begrip.

Samenvatting

• somfunctie: tel functiewaarden op

• verschilfunctie: trek functiewaarden af

• kettingfunctie: vul de ene functie in in de andere

• werk met haakjes

• herleid pas na het opstellen van het volledige functievoorschrift

Sluit af door terug te koppelen aan het lesdoel: leerlingen moeten nu zelf een functievoorschrift kunnen opstellen voor som, verschil en ketting.

Wat neem jij mee uit deze les?

Reflectie zonder goed/fout. Laat leerlingen concreet benoemen welk inzicht of welke fout ze voortaan onthouden.

Welk onderdeel vond jij het lastigst?

Reflectie op leerproces. Verwachte thema's: haakjes, van binnen naar buiten werken, verschil tussen som en ketting, breuken herleiden.

Begrippenlijst

functievoorschrift - formule die bij een functie hoort

somfunctie - nieuwe functie die ontstaat door twee functies op te tellen

verschilfunctie - nieuwe functie die ontstaat door twee functies van elkaar af te trekken

kettingfunctie - nieuwe functie waarbij de uitkomst van de ene functie wordt ingevuld in de andere

herleiden - een formule vereenvoudigen zonder de waarde te veranderen

exponentiële functie - functie waarbij de variabele in de macht staat

gebroken functie - functie met een breuk waarin de variabele in teller of noemer staat