Transformaties (Wiskunde B havo), les 2: Examentraining

• newEditor
• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 4,5

Introductie

Examentraining transformaties en samengestelde functies voor havo wiskunde B: vier vraagtypen (beeld van een punt, voorschrift opstellen, som- en verschilfunctie, samengestelde functie) met acht vragen in examenstijl, een stappenplan en tips.

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · TRANSFORMATIES

Examentraining

Transformaties: zo pak je examenvragen aan

Les 2 van 3. Laat leerlingen in tweetallen overleggen bij de open vragen.

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · TRANSFORMATIES

Wat ga je kunnen?

Ik kan examenvragen over transformaties, som- en verschilfuncties en samengestelde functies stap voor stap uitwerken.

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · TRANSFORMATIES

Zo pak je een examenvraag aan

• 1. Lees het werkwoord: bereken, toon aan, exact? Bij exact en algebraïsch geen GR-optie.

• 2. Zet de transformaties op volgorde: wat gebeurt er eerst en wat daarna?

• 3. Pas het voorschrift aan en schrijf elke tussenstap op.

• 4. Controleer met een punt of waarde die je kent.

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · TRANSFORMATIES

Vraagtype 1: het beeld van een punt

• Translatie: (x, y) wordt (x + a, y + b).

• Vermenigvuldigen met c ten opzichte van de x-as: (x, y) wordt (x, c · y).

• Vermenigvuldigen met d ten opzichte van de y-as: (x, y) wordt (d · x, y).

• Doe de transformaties in de volgorde van de opgave.

Laat leerlingen bij elke stap het nieuwe punt opschrijven. Zo zien ze dat de volgorde uitmaakt: bij vermenigvuldigen na een translatie wordt de verschuiving ook vermenigvuldigd.

Het punt (3, −2) ligt op de grafiek van f. Eerst met 4 vermenigvuldigen ten opzichte van de x-as, dan 5 omhoog. Wat is de y-coördinaat van het beeldpunt?

Eerst ×4: (3, −8). Dan 5 omhoog: (3, −3). De y-coördinaat is −3. Verwachte fout: eerst 5 omhoog en dan ×4, dat geeft 4 · 3 = 12; of de x-coördinaat 3 als antwoord geven.

Het punt (6, 2) ligt op f. Eerst met ⅓ vermenigvuldigen ten opzichte van de y-as, dan 4 naar links. Welk punt ligt op het beeld?

A

(−2, 2)

B

(14, 2)

C

(6, 2)

D

(2, 2)

⅓ ten opzichte van de y-as: x wordt 6/3 = 2, dan 4 naar links: 2 − 4 = −2. Het punt is (−2, 2). (14, 2) kiest factor 3 in plaats van ⅓ (18 − 4); (6, 2) schuift 4 naar rechts (2 + 4); (2, 2) vergeet de translatie.

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · TRANSFORMATIES

Vraagtype 2: het voorschrift opstellen

• Schrijf de transformaties van x en van y apart op.

• Translatie: f(x − a) + b. Vermenigvuldigen met c ten opzichte van de x-as: c · f(x).

• Vermenigvuldigen met d ten opzichte van de y-as: f(x/d).

• Controleer met een punt dat je kent.

Bij een translatie naar links staat er in het voorschrift een plus. Laat leerlingen elke keer met een punt controleren.

De grafiek van f(x) = √x gaat 3 naar links en wordt daarna 2 keer zo hoog (ten opzichte van de x-as). Wat is g(x)?

A

g(x) = 2√(x − 3)

B

g(x) = 2√(x + 3)

C

g(x) = √(x + 3) + 2

D

g(x) = √(2x + 3)

Eerst translatie: √(x + 3). Dan ×2: 2√(x + 3). Controle: g(1) = 2 · √4 = 4. 2√(x − 3) schuift naar rechts; √(x + 3) + 2 schuift 2 omhoog in plaats van te vermenigvuldigen; √(2x + 3) vermenigvuldigt ten opzichte van de y-as.

Hieronder f(x) = √x (gestippeld) en het beeld g. Welk voorschrift hoort bij g?

A

g(x) = √(x − 2) − 1

B

g(x) = √(x + 2) + 1

C

g(x) = √(x − 2) + 1

D

g(x) = √(x + 2) − 1

Het beginpunt (0, 0) wordt (−2, −1): 2 naar links en 1 omlaag, dus g(x) = √(x + 2) − 1. Controle met (2, 1): √4 − 1 = 1 en met (7, 2): √9 − 1 = 2. De afleiders wisselen de richting van een of beide verschuivingen. Image credit: Eigen figuur

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · TRANSFORMATIES

Vraagtype 3: som- en verschilfunctie

• s(x) = f(x) + g(x) en v(x) = f(x) − g(x).

• v(x) = 0 geeft de snijpunten van de grafieken van f en g.

• v(x) > 0: de grafiek van f ligt boven die van g.

• Bij een winstfunctie: winst = opbrengst − kosten.

Bij verschilfuncties is de volgorde belangrijk: f − g is het tegengestelde van g − f. Bij winst is het altijd opbrengst min kosten.

Een bedrijf verkoopt q stuks. De winst is W(q) = R(q) − K(q). Bij welke grootste q is W(q) = 0?

W(q) = 8q − (q² + 2q + 5) = −q² + 6q − 5. Dan is W(q) = 0 als q² − 6q + 5 = 0, dus (q − 1)(q − 5) = 0 en q = 1 of q = 5. De grootste is 5. Verwachte fout: het minteken niet over alle termen van K(q) laten werken (dan krijg je 8q − q² + 2q + 5).

Voor welke x geldt f(x) − g(x) > 0?

A

⟨←, −2⟩ ∪ ⟨3, →⟩

B

⟨−2, 3⟩

C

⟨4, 9⟩

D

⟨←, −2] ∪ [3, →⟩

De snijpunten liggen bij x = −2 en x = 3. Buiten die punten ligt de parabool f boven de lijn g, dus is het verschil positief. ⟨−2, 3⟩ is het stuk waar g boven f ligt; ⟨4, 9⟩ zijn de y-coördinaten van de snijpunten; bij de gesloten haken zou f(x) − g(x) = 0 meetellen, maar de vraag is > 0. Image credit: Eigen figuur

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · TRANSFORMATIES

Vraagtype 4: samengestelde functie

• k(x) = g(f(x)): eerst f, dan g. De volgorde telt.

• Domein: x moet in f passen en f(x) moet in g passen.

• x uitdrukken in y: maak de ketting van buiten naar binnen ongedaan.

• Bij exact: geen afgeronde antwoorden en geen GR-optie.

Bij x uitdrukken in y: schrijf elke stap op en controleer met een getal. Vaak zit de lastigheid in het domein.

Wat is het kleinste getal in het domein van k? Geef exact.

k(x) = √(3x − 2). Onder de wortel moet 3x − 2 ≥ 0, dus x ≥ 2/3. Het kleinste getal is 2/3. Verwachte fout: 2 als antwoord (3x − 2 = 0 geeft x = 2/3, niet 2) of afronden op 0,67 terwijl exact gevraagd wordt.

Gegeven is y = 3/(x − 2) + 1. Welke formule geeft x uitgedrukt in y?

A

x = 3/(y + 1) + 2

B

x = 3/(y − 1) − 2

C

x = 3/(y − 1) + 2

D

x = 3(y − 1) + 2

y − 1 = 3/(x − 2). Dus x − 2 = 3/(y − 1) en x = 3/(y − 1) + 2. Controle met x = 5: y = 3/3 + 1 = 2 en x = 3/(2 − 1) + 2 = 5. 3/(y + 1) + 2 trekt 1 verkeerd af; 3/(y − 1) − 2 schuift de 2 de verkeerde kant op; 3(y − 1) + 2 zet de noemer in de teller.

Welk vraagtype vind jij het lastigst?

1

Het beeld van een punt

2

Het voorschrift opstellen

3

Som- en verschilfunctie

4

Samengestelde functie

EXAMENSTOF · WISKUNDE B · FUNCTIES · TRANSFORMATIES

Tips voor op het examen

• Schrijf bij meer transformaties de volgorde op en werk ze één voor één af.

• Naar rechts schuiven betekent x − a in het voorschrift, naar links x + a.

• Bij een verschilfunctie telt de volgorde: f − g is niet g − f.

• Controleer een voorschrift altijd met een punt van de grafiek.