H1.6 Telproblemen

• newEditor
• Wiskunde
• Middelbare school
• vmbo lwoo, k
• Leerjaar 4

Waarom staat bij een halve competitie de factor 0,5?

A

Voor thuisvoordeel

B

Voor extra rondes

C

Tegenstanders halveren

D

Dubbel tellen voorkomen

De kernreden is dat elk duel anders twee keer wordt meegeteld: bij beide teams.

Telproblemen slim aanpakken

De les opent vanuit de vraag: wanneer wil je alle mogelijkheden zien en wanneer alleen het aantal? Dat verbindt boomdiagram, wegendiagram en competitieschema's.

Leerdoel

Ik kan een boomdiagram maken, een wegendiagram maken en het aantal wedstrijden in een competitie berekenen.

Waar denk je aan bij telproblemen?

Gebruik de antwoorden om voorkennis op te halen rond keuzes, mogelijkheden, schema's, vermenigvuldigen en wedstrijden tellen.

Boomdiagram

Een boomdiagram gebruik je als je wilt weten welke mogelijkheden er zijn.

Je schrijft de keuzes stap voor stap uit.

Elke tak stelt één keuze voor.

Aan het einde van een pad staat één complete mogelijkheid.

Benadruk het verschil tussen uitschrijven en tellen: een boomdiagram laat concrete combinaties zien, niet alleen het totaal.

Voorbeeld met milkshakes

• Formaten: klein, middel, groot

• Smaken: vanille, aardbei, banaan, peer

• Vanuit elk formaat teken je 4 takken

• Zo ontstaan alle combinaties van formaat en smaak

Gebruik eventueel afkortingen zoals k-v en m-a om te laten zien dat boomdiagrammen overzichtelijk mogen blijven.

Een boomdiagram maken

Werk in vaste volgorde:

1. Kies waarmee je begint.

2. Teken voor elke eerste keuze een tak.

3. Teken vanaf elke tak de volgende keuzes.

4. Ga door tot alle stappen klaar zijn.

5. Lees elk pad als één uitkomst.

Wijs erop dat een vaste volgorde dubbeltellingen voorkomt. Dat is de belangrijkste structuurfout die leerlingen maken.

Wat lees je af?

In een boomdiagram kun je:

• alle mogelijkheden opschrijven

• controleren of je niets vergeten bent

• combinaties vergelijken

Het diagram is handig als de vraag gaat over welke uitkomsten mogelijk zijn.

Boomdiagram samenvatten

Een boomdiagram gebruik je als je wilt weten welke mogelijkheden er zijn. Je werkt stap voor stap en elke tak stelt één keuze voor. Aan het einde van een pad staat één complete mogelijkheid.

boomdiagram

tak

pad

boog

wegendiagram

kolom

route

De drie kernwoorden zijn expliciet op de voorafgaande slides behandeld.

Wegendiagram

Gebruik hier het woord 'onafhankelijk' eenvoudig: de keuze voor formaat verandert het aantal smaken niet.

Wegendiagram

Een wegendiagram gebruik je als je wilt weten hoeveel mogelijkheden er zijn.

Je zet per keuze-stap het aantal mogelijkheden neer.

Daarmee kun je snel het totaal berekenen.

Leg het contrast met het boomdiagram expliciet: hetzelfde telprobleem, maar een ander doel.

Autovoorbeeld

• 5 modellen

• 2 soorten: benzine of elektrisch

• 6 kleuren

Laat zien dat dit een driestaps-keuze is. Elk extra keuzeniveau komt als factor in de vermenigvuldiging.

Beperkte keuzes

Soms tellen niet alle paden mee.

Bij de aanbieding van alleen A2 en A4, alleen benzine, en nog steeds 6 kleuren geldt:

Belangrijk inzicht: je past de factoren aan de voorwaarden van de opgave aan. Niet automatisch alle oorspronkelijke aantallen gebruiken.

Maak een wegendiagram

Halve competitie

In een halve competitie spelen alle teams één keer tegen elkaar.

Elk duel komt dus precies één keer voor.

Daarom telt ieder team zijn tegenstanders maar voor één speelronde mee.

Maak duidelijk dat 'half' niet minder teams betekent, maar minder ontmoetingen per tweetal teams.

Aantal wedstrijden

Formule bij een halve competitie:

totaal aantal wedstrijden = 0,5 × aantal teams × aantal tegenstanders

Met 4 teams:

0,5 × 4 × 3 = 6

Leg uit waarom de factor 0,5 nodig is: zonder die factor tel je elke wedstrijd twee keer, één keer voor elk team.

Hele competitie

In een hele competitie spelen teams twee keer tegen elkaar:

• één keer thuis

• één keer uit

Daardoor telt elk tweetal teams twee wedstrijden.

Verbind dit met het competitieschema: in de tabel komen thuis- en uitwedstrijden apart terug.

Formule hele competitie

Formule:

totaal aantal wedstrijden = aantal teams × aantal tegenstanders

Met 4 teams:

4 × 3 = 12 wedstrijden

Hier is geen 0,5 nodig, omdat thuis en uit bewust twee verschillende wedstrijden zijn.

Halve of hele competitie?

Halve competitie

Teams spelen 1 keer tegen elkaar.

Formule: 0,5 × teams × tegenstanders

Hele competitie

Teams spelen 2 keer tegen elkaar.

Formule: teams × tegenstanders

Dit is het kerncontrast van dit deel van de les. Laat leerlingen verwoorden wat er verandert: één ontmoeting per tweetal of twee ontmoetingen per tweetal.

Afvalsysteem

Bij een afvalsysteem gaat de winnaar door en valt de verliezer af.

Dit heet ook een knock-outsysteem.

Je rekent het aantal wedstrijden hier niet met de competitieformules uit.

Benadruk dat dit een ander systeem is dan een halve of hele competitie. Het hoort bij dezelfde les als vergelijking van wedstrijdvormen.

Rondes in een toernooi

• 1e ronde

• 2e ronde

• finale

In het voorbeeld zijn er:

4 + 2 + 1 = 7 wedstrijden

De winnaar speelt in totaal 3 wedstrijden.

Laat zien hoe het schema smaller wordt per ronde: er blijven steeds minder spelers of teams over.

afvalsysteem

Wanneer gebruik je een boomdiagram?

A

Bij alle mogelijkheden

B

Bij alleen het totaal

C

Bij thuis en uit

D

Bij halve competitie

Toetst het kerndoel van deze eerste subtopic: een boomdiagram laat concrete uitkomsten zien, niet alleen het aantal.

Welk onderdeel vond je het lastigst vandaag?

Wat hielp jou om dit onderwerp te begrijpen?

Woordenlijst

boomdiagram - schema waarin je alle mogelijke uitkomsten stap voor stap uitschrijft.

wegendiagram - schema waarmee je snel het aantal mogelijkheden per keuze-stap kunt tellen.

mogelijkheid - één complete uitkomst van een reeks keuzes.

tak - lijn in een boomdiagram die één keuze weergeeft.

boog - verbinding in een wegendiagram die een mogelijke keuze aangeeft.

halve competitie - wedstrijdvorm waarin alle teams één keer tegen elkaar spelen.

hele competitie - wedstrijdvorm waarin alle teams twee keer tegen elkaar spelen.

Woordenlijst

afvalsysteem - toernooivorm waarbij de verliezer afvalt en de winnaar doorgaat.

knock-outsysteem - andere naam voor afvalsysteem.

tegenstanders - het aantal andere teams waartegen een team speelt.

thuiswedstrijd - wedstrijd die een team op eigen veld speelt.

uitwedstrijd - wedstrijd die een team op het veld van de tegenstander speelt.

Je gaat maken:

H1.6 Telproblemen