Activiteit en halvering (Natuurkunde vwo), les 1: Uitleg

• newEditor
• Natuurkunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 4-6

Introductie

Uitleg over de activiteit als afgeleide -dN/dt, de raaklijn in een (N,t)-diagram, A = (ln2/t½)·N, halveringstijd met een niet-geheel aantal halveringstijden, rekenen met een logaritme, de logaritmische as, halveringsdikte, doorlaatkromme en de keuze van een tracer. Met woordweb, zes controlevragen, twee animaties, een poll en een open vraag. Dosis en soorten straling staan in de les over ioniserende straling.

Reageerbuisje met radioactieve vloeistof (foto: Sahehco, CC BY-SA 4.0)

EXAMENSTOF · B2 · ACTIVITEIT, HALVERING

Activiteit en halvering

Examenstof natuurkunde vwo

Les 1 van 3: uitleg. Les 2 is de examentraining, les 3 de terugblik met quiz. Syllabus: B2.2 (activiteit), B2.3. Image credit: Sahehco / Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0

EXAMENSTOF · B2 · ACTIVITEIT, HALVERING

Wat ga je kunnen?

Ik kan rekenen met activiteit, aantal kernen, halveringstijd en halveringsdikte, ook bij een niet-geheel aantal halveringstijden.

Wat komt er bij je op bij exponentiële afname?

Verwacht: halveren, verval, groei, koffie die afkoelt, logaritme, e-macht. Sorteer: gaat het over tijd (kernen, activiteit) of over dikte (afscherming)? Hier zitten twee halveringsmaten in. Syllabus B2.2 en B2.3.

Reageerbuisje met radioactieve vloeistof (foto: Sahehco, CC BY-SA 4.0)

EXAMENSTOF · B2 · ACTIVITEIT, HALVERING

Activiteit als afgeleide

• De activiteit A is het aantal kernen dat per seconde vervalt. Eenheid: de becquerel, 1 Bq = 1 s⁻¹.

• A = -dN/dt: de afgeleide van het aantal instabiele kernen N naar de tijd, met een minteken.

• N neemt af, dus dN/dt is negatief en A is positief.

• Agem = -ΔN/Δt: de gemiddelde activiteit tussen twee tijdstippen. Reken Δt om naar s.

Syllabus B2.2: de activiteit op een bepaald moment berekenen en bepalen uit een (N,t)-diagram; formule A = -dN/dt (syllabus en informatieboek); context nucleaire diagnostische geneeskunde. De notatie met dN/dt hoort bij vwo, havo rekent met ΔN/Δt. Veelgemaakte fouten: Δt in dagen of uren laten staan in plaats van seconden, en het minteken laten staan. Kijkvraag: waarom is A positief terwijl dN/dt negatief is? Image credit: Sahehco / Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0

Eigen figuur: (N,t)-diagram met raaklijn bij t = 3,5 d

EXAMENSTOF · B2 · ACTIVITEIT, HALVERING

Raaklijn in een (N,t)-diagram

• A op één moment is de helling van de raaklijn aan de kromme, zonder het minteken.

• De raaklijn bij t = 3,5 d gaat door (0 d; 56·10¹² kernen) en (7,1 d; 0).

• A = 56·10¹²/(7,1·86 400 s) = 9,1·10⁷ Bq. Reken de dagen eerst om naar seconden.

• Gemiddelde A tussen twee punten: ΔN/Δt, dus zonder raaklijn.

Syllabus B2.2 (activiteit bepalen uit een (N,t)-diagram) en A12 (helling met een raaklijn). Nagerekend: 56·10¹² / (7,1 · 86 400) = 56·10¹² / 6,134·10⁵ = 9,1·10⁷ Bq; vanuit de formule A = (ln2/t½)·N met N = 28,4·10¹² en t½ = 2,5 d komt dat uit op 9,12·10⁷ Bq. Veelgemaakte fouten: de raaklijn door de kromme heen trekken, of de gemiddelde activiteit nemen. Kijkvraag: waar is de kromme het steilst, en wat zegt dat over A? Image credit: LessonUp, eigen figuur

Eigen animatie: de raaklijn rolt langs de kromme, A volgt N

EXAMENSTOF · B2 · ACTIVITEIT, HALVERING

A is evenredig met N

• A = (ln2/t½)·N: bij dezelfde stof is A evenredig met N. Zet t½ om naar s (informatieboek).

• Halveert N, dan halveert A ook: in de animatie lopen beide gelijk op.

• Voorbeeld: N = 4,0·10¹² en t½ = 6,0 h = 2,16·10⁴ s geven A = 1,3·10⁸ Bq.

• Omgekeerd geeft N = A·t½/ln2 het aantal kernen dat nog niet vervallen is.

Syllabus B2.2 en B2.3: formule A = (ln2/t½)·N in syllabus en informatieboek. Nagerekend: ln2/2,16·10⁴ = 3,209·10⁻⁵ s⁻¹; keer 4,0·10¹² = 1,28·10⁸ Bq, afgerond op 2 significante cijfers 1,3·10⁸ Bq. De formule volgt uit A = -dN/dt bij een exponentiële afname; afleiden met exponentiële functies is geen syllabusstof, gebruiken wel. In de animatie staan N en A steeds in dezelfde procenten. Kijkvraag: hoeveel procent van A0 is er na 2·t½? (25 %). Veelgemaakte fout: t½ in uren laten staan terwijl A in Bq (s⁻¹) hoort. Image credit: Eigen animatie

Vul in

Je bepaalt de activiteit op één moment met de raaklijn aan het (N,t)-diagram; de eenheid is de becquerel, gelijk aan 1/s.

raaklijn

becquerel

gemiddelde

gray

Syllabus B2.2. Verwachte fout: de gemiddelde activiteit (twee punten) verwarren met de activiteit op één moment (raaklijn).

Bron X heeft evenveel kernen als bron Y, maar de t½ van X is 2 keer zo groot. AX : AY is…

A

2 : 1

B

1 : 1

C

1 : 2

D

1 : 4

A = (ln2/t½)·N: bij gelijke N is A omgekeerd evenredig met t½, dus AX : AY = 1 : 2. Verwachte fouten: 2 : 1 (evenredig in plaats van omgekeerd evenredig) en 1 : 4 (kwadraat). Syllabus B2.2, A12 (redeneren met evenredigheden).

Eerste technetium-99m-generator, Brookhaven 1958 (BNL, publiek domein)

EXAMENSTOF · B2 · ACTIVITEIT, HALVERING

Halveringstijd en formule

• De halveringstijd t½ is de tijd waarin N, en dus A, tot de helft daalt.

• A = A0·(½)^(t/t½): voor N geldt hetzelfde. Dit is exponentiële afname; staat in je informatieboek.

• De exponent t/t½ hoeft geen geheel getal te zijn: de formule geldt voor elk tijdstip.

• Tc-99m heeft t½ = 6,0 h: na 15 h is A = A0·(½)^2,5 = 18 % van A0.

Syllabus B2.3: problemen oplossen waarbij de halveringstijd een rol speelt; formules A = A0·(½)^(t/t½) en N = N0·(½)^(t/t½) (syllabus en informatieboek, geen beperking tot gehele aantallen; A12.2 noemt log en ln). Nagerekend: 15/6,0 = 2,5; (½)^2,5 = 0,177, dus 18 %. Technetium-99m is een veelgebruikte tracer in de nucleaire diagnostiek; t½ = 6,0 h. Veelgemaakte fout: denken dat je alleen met hele halveringstijden kunt rekenen, of lineair interpoleren tussen 50 % en 25 %. Kijkvraag: ligt 18 % tussen 25 % (na 2·t½) en 12,5 % (na 3·t½)? Ja. Image credit: Brookhaven National Laboratory / Wikimedia Commons, publiek domein

EXAMENSTOF · B2 · ACTIVITEIT, HALVERING

Tijd berekenen met een logaritme

• Gevraagd t bij een gegeven A of N: deel eerst, A/A0 = (½)^(t/t½), en neem links en rechts de logaritme.

• t = t½·log(A/A0)/log(½): met ln in plaats van log krijg je dezelfde uitkomst.

• Voorbeeld: t½ = 6,0 h en A daalt tot 30 % van A0: t = 6,0 · ln(0,30)/ln(0,5) = 10 h.

• Significante cijfers: de logaritme van een getal met 2 significante cijfers geeft 2 decimalen.

• Controle: 30 % ligt tussen 50 % (6,0 h) en 25 % (12 h), dus t ligt tussen 6,0 h en 12 h.

Syllabus A12.2 (toepassen van log x en ln x), A8.3 (logaritme en significante cijfers) en B2.3. Nagerekend: ln(0,30) = -1,204; ln(0,5) = -0,693; verhouding 1,737; maal 6,0 h = 10,4 h, in 2 significante cijfers 10 h. Tweede route met log2: 6,0 · log2(1/0,30) = 6,0 · 1,737 = 10,4 h. De formule voor t staat niet in het informatieboek: je leidt hem zelf af uit A = A0·(½)^(t/t½). Veelgemaakte fouten: de logaritmen delen in de verkeerde volgorde, of het minteken verliezen. Kijkvraag: waarom moet het antwoord tussen 6 en 12 h liggen?

Eigen animatie: dezelfde kromme op een lineaire en een logaritmische as

EXAMENSTOF · B2 · ACTIVITEIT, HALVERING

Logaritmische as

• Zet je N of A uit op een logaritmische as, dan wordt exponentiële afname een rechte lijn.

• Bij elke stap van 1·t½ naar rechts daalt de waarde met dezelfde factor ½.

• t½ lees je af als de tijd waarin de lijn een factor 2 daalt, waar je ook begint.

• Interpoleren en extrapoleren gaat nu langs de rechte lijn.

Syllabus A12.2: aflezen van logaritmische diagrammen, interpoleren en extrapoleren; B2.3 vervalkromme. In de animatie gaat dezelfde kromme over van een lineaire naar een logaritmische verticale as; de punten bij 1, 2, 3, ... halveringstijden liggen daarna op gelijke afstanden. Veelgemaakte fout: op een logaritmische as lineair interpoleren tussen twee rasterlijnen, of de rasterlijnen als gelijke stappen lezen. Kijkvraag: hoeveel t½ duurt het van 1/4 naar 1/32? (3). Image credit: Eigen animatie

Welke berekening geeft de tijd waarin A tot 20 % van A0 daalt?

A

t = t½·ln(0,20)·ln(0,5)

B

t = t½·0,20/0,5

C

t = t½·ln(0,20)/ln(0,5)

D

t = ln(0,20)/ln(0,5)

Uit 0,20 = (½)^(t/t½) volgt t/t½ = ln(0,20)/ln(0,5), dus t = t½·ln(0,20)/ln(0,5) (= 2,3·t½). Verwachte fouten: de logaritmen vermenigvuldigen, delen door 0,5 zonder logaritme, en vergeten met t½ te vermenigvuldigen. Syllabus A12.2, B2.3.

Zet de stappen goed om t uit A en A0 te halen

1

Deel door log(½) en maal t½

2

Deel A door A0 en vul A/A0 in

3

Neem links en rechts de logaritme

4

Haal de exponent voor de logaritme

Volgorde: (1) A/A0 = (½)^(t/t½); (2) log(A/A0) = log((½)^(t/t½)); (3) log(A/A0) = (t/t½)·log(½); (4) t = t½·log(A/A0)/log(½). Verwachte fout: eerst de logaritme nemen voordat je gedeeld hebt. Syllabus A12.2.

Loden afscherming voor een radioactief preparaat (foto: Miguel Calvo, CC BY-SA 4.0)

EXAMENSTOF · B2 · ACTIVITEIT, HALVERING

Halveringsdikte

• De halveringsdikte d½ is de dikte van een materiaal die de intensiteit I van straling halveert.

• I = I0·(½)^(d/d½): I0 zonder materiaal, I erachter. De exponent hoeft geen geheel getal te zijn.

• Voorbeeld: d½ = 0,80 cm en d = 2,0 cm geven I = I0·(½)^2,5 = 18 % van I0.

• d½ hangt af van het materiaal en van de straling.

Syllabus B2.3: problemen oplossen waarbij de halveringsdikte een rol speelt; formule I = I0·(½)^(d/d½) (syllabus en informatieboek). Nagerekend: 2,0/0,80 = 2,5; (½)^2,5 = 0,177 = 18 %. Op de foto een loden bus: lood is een veelgebruikt afschermmateriaal. Veelgemaakte fout: aannemen dat een plaat van 2·d½ alle straling tegenhoudt; er is dan nog een kwart over. Kijkvraag: hoeveel procent komt door een plaat van 1·d½? (50 %). Image credit: Miguel Calvo / Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0

Eigen figuur: doorlaatkromme met d½ = 1,5 cm

EXAMENSTOF · B2 · ACTIVITEIT, HALVERING

Doorlaatkromme

• Een doorlaatkromme geeft de doorgelaten intensiteit I als functie van de dikte d.

• Lees d½ af waar I tot 50 % van I0 is gedaald: hier d½ = 1,5 cm.

• Voor I = 30 %: d = d½·log(0,30)/log(½) = 1,5 · 1,74 = 2,6 cm, ook af te lezen in de figuur.

• Vervalkromme (N,t) en doorlaatkromme (I,d) hebben dezelfde vorm; alleen de x-as verschilt.

Syllabus B2.3: vakbegrippen doorlaatkromme en vervalkromme, context medische diagnostiek (absorptie in weefsel). Nagerekend: log(0,30)/log(0,5) = 1,737; maal 1,5 cm = 2,6 cm; controle in de figuur: de stippellijn bij 30 % snijdt de kromme bij 2,6 cm. Veelgemaakte fout: d½ aflezen bij I = 0 of bij de helft van de dikte-as. Kijkvraag: hoe lees je d½ af? Image credit: LessonUp, eigen figuur

Schildklierscans met een tracer (afbeelding: Petros Perros, CC BY-SA 3.0)

EXAMENSTOF · B2 · ACTIVITEIT, HALVERING

Tracer en halveringstijd

• Een tracer is een radioactieve stof die je toedient en waarvan je de straling buiten het lichaam meet.

• Een t½ van uren past: lang genoeg voor bereiding en scan, kort genoeg dat A daarna snel daalt.

• De straling moet het lichaam uit kunnen: γ-straling is doordringend, α-straling blijft in het weefsel.

• Duurt transport of wachten langer, dan gaat activiteit verloren: A = A0·(½)^(t/t½).

Syllabus B2.2 en B2.3: context nucleaire diagnostische geneeskunde en medische diagnostiek; het begrip tracer komt ook terug bij B2.4 (zie het onderwerp medische beeldvorming, hier alleen de keuze op grond van halveringstijd). Op de afbeelding zie je schildklierscans met een tracer. Veelgemaakte fout: denken dat een lange t½ goed is omdat de tracer dan langer bruikbaar blijft; de patiënt wordt dan langer belast. Kijkvraag: waarom is een t½ van enkele seconden onbruikbaar? Image credit: Petros Perros / Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0

Waarom schermt materiaal met een kleine d½ goed af?

Een goed antwoord: de intensiteit halveert al in een dunne laag, dus met weinig materiaal blijft er weinig straling over. Verwachte fout: d½ verwarren met de dikte waarbij alle straling is tegengehouden. Syllabus B2.3.

Hoeveel keer kleiner wordt I als de dikte met 3,0·d½ toeneemt?

A

8 keer

B

6 keer

C

3 keer

D

9 keer

(½)³ = 1/8, dus I wordt 8 keer zo klein. Verwachte fouten: 2·3 = 6 (optellen in plaats van machtsverheffen), 3 keer (evenredig) en 3² = 9. Syllabus B2.3.

Wat vond je vandaag het lastigst?

1

Raaklijn en activiteit

2

Rekenen met een logaritme

3

Een logaritmische as lezen

4

Halveringsdikte en tracers

Gebruik de uitslag om te kiezen welk onderdeel je nog eens met een voorbeeld op het bord doorloopt.

Welk begrip of welke berekening moet je nog oefenen?

Persoonlijke reflectie; geen goed of fout. Laat leerlingen het in een eigen zin uitleggen.

EXAMENSTOF · B2 · ACTIVITEIT, HALVERING

Begrippen (1/2)

• activiteit: Het aantal kernen dat per seconde vervalt, A = -dN/dt, in becquerel (Bq).

• becquerel: De eenheid van activiteit: 1 Bq = 1 verval per seconde.

• halveringstijd: De tijd waarin N en A tot de helft dalen, t½.

• vervalkromme: Grafiek van het aantal kernen N tegen de tijd t.

• exponentiële afname: Afname met bij gelijke tijdstappen dezelfde factor, zoals A = A0·(½)^(t/t½).

EXAMENSTOF · B2 · ACTIVITEIT, HALVERING

Begrippen (2/2)

• logaritmische as: Een as waarop gelijke afstanden gelijke factoren zijn; verval wordt een rechte lijn.

• halveringsdikte: De dikte van een materiaal die de intensiteit halveert, d½.

• doorlaatkromme: Grafiek van de doorgelaten intensiteit tegen de dikte van het materiaal.

• tracer: Een radioactieve stof die je toedient om in het lichaam te volgen.