Verdieping Fibonacci

• wiskunde
• Secundair onderwijs

Fibonacci - Verdieping

Steffie Verboven en Jinthe Gys

Los volgende opgaven op en sleep het juiste antwoord ernaartoe.
Druk onderaan op controleer en verbeter  indien nodig. 

1/12 + 1/5 = ... 

1/2 + 1/4 = ...

1/7 + 1/3 = ...

1/14 + 1/7 = ...

3/4

17/60

10/21

3/14

Wat viel je op aan de vorige opgaven?

Wat viel je op aan de vorige opgaven? 

Bij alle breuken in de opgave is de teller gelijk aan 1. 

Hoe worden dit soort breuken genoemd?

1. Gelijkwaardige breuken
2. Onechte breuken
3. Stambreuken
4. Gelijknamige breuken

nl.wikipedia.org

Stambreuken

Jullie hebben nu even terug opgefrist wat stambreuken net zijn. Alle breuken zijn steeds te schrijven als som van stambreuken. 

Bekijk hiervoor het voorbeeld hiernaast eens. 

Probeer dit nu eens zelf. Druk hierna onderaan op 'controleer'. Heb je nog fouten? Verbeter ze dan!

2/19 = ... + ... 

9/16 = ... + ...

7/12 = ... + ...

11/30 = ... + ...

1/10

1/190

1/16

1/2

1/3

1/4

1/5

1/6

Egyptische splitsing

Wat jullie net in de vorige oefeningen hebben gedaan, wordt ook wel de 'Egyptische splitsing' genoemd. 

Vaak zijn er bij splitsing van een breuk ook meer dan twee stambreuken nodig. Kijk bijvoorbeeld naar dit verhaaltje.

Denk daarna zelf eens na over een soortgelijk, hedendaags, verhaaltje.

Fibonacci

Jullie kennen allemaal de rij van Fibonacci nog wel:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... 

Wat was hier ook alweer speciaal aan? 

Wat was hier ook alweer speciaal aan?
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Fibonacci 

Leonardo van Pisa (°1170), beter bekend onder de naam Fibonacci, is een Italiaanse wiskundige.

Hij schreef verschillende wiskundige boeken, waaronder het bekende 'Liber Abaci' (Boek van het telraam), waarmee hij het Arabisch-Indische cijferstelsel integreerde in Europa. 

Fibonacci en stambreuken

Fibonacci (her)ontdekte voorgaande rij, waardoor deze naar hem vernoemd is. Dit is echter niet het enige werk dat van hem  bekend is. 

Naast nog verschillende andere ontdekkingen vond Fibonacci een algoritme om een breuk te splitsen in stambreuken. Laat dat nu net zijn wat jullie daarnet ook aan het doen waren. 

Systematische splitsing - Fibonacci

Om een breuk in stambreuken te splitsen 

Neem een breuk       waarvan a en b natuurlijke getallen zijn, a < b en a niet deelbaar op b. 

Voorbeeld :      =

Neem een natuurlijk getal k, waarbij k > 1 en zodat (k-1).a < b < k.a

Voorbeeld : k = 2

OEFENING : Zoek zelf ook getallen a, b en k waarvoor bovenstaande geldt.

​20​​19​​

​b​​a​​

​b​​a​​

Systematische splitsing - Fibonacci

Neem nu     om     te splitsen in stambreuken. 

Voorbeeld :     =  

Ga hierna verder met      -

Voorbeeld :       -        =        -  

OEFENING : Pas het bovenstaande ook toe op jouw voorbeeldgetallen. 

​3​​1​​

​b​​a​​

​k​​1​​

​k​​1​​

​b​​a​​

​k​​1​​

​k​​1​​

​b​​a​​

​5​​2​​

​3​​1​​

Systematische splitsing - Fibonacci

We vinden       door de vorige bewerking      -         uit te voeren. 

Voorbeeld :        =       

 

Pas vervolgens hetzelfde toe op         

Hiervoor moet je dus een andere bijhorende k vinden waarvoor de regel 

 (k-1).a < b < k.a geldt. 

TIP: De nieuwe k is altijd een groter natuurlijk getal dan de vorige k die je gebruikt hebt. 

  

​20​​9​​

​B​​A​​

​k​​1​​

​b​​a​​

​B​​A​​

​B​​A​​

Systematische splitsing - Fibonacci

Voorbeeld :       =         en  k = 3

Als het vorige dan hierop toepassen krijgen we : 

-          =           

Ook op         kunnen we dit nog toepassen.  We komen dan uit op           doordat we k = 9 hebben gebruikt. Getallen kleiner dan 9 waren hier niet toepasbaar als k. Natuurlijk is dit eindig, het algoritme eindigt als de laatste breuk die je uitkomt een stambreuk is. 

Oefening: Pas het volledige algoritme toe op jouw voorbeeld. 

 

Door het algoritme steeds toe te passen op de uitgekomen breuken, kunnen we onze originele breuk schrijven aan de hand van de som van verschillende stambreuken. 

​20​​9​​

​B​​A​​

​3​​1​​

​180​​1​​

​60​​7​​

​20​​9​​

​60​​7​​

Systematische splitsing - Fibonacci

Als je op het einde van jouw algoritme een stambreuk hebt, kan je je originele breuk (       ) gaan schrijven als de som van verschillende stambreuken. Dit doe je door al de gevonden breuken           te gebruiken. 

Voorbeeld :           =           +            +           +                 

Oefening: Pas dit ook toe op jouw voorbeeld. 

--> IEDERE  ECHTE BREUK  IS DUS TE SPLITSEN IN VERSCHILLENDE STAMBREUKEN! <-- 

​20​​19​​

​b​​a​​

​k​​1​​

​180​​1​​

​2​​1​​

​3​​1​​

​9​​1​​

Het algoritme van Fibonacci-Sylvester

Deze Egyptische splitsing is altijd mogelijk, zolang a en b aan de juiste voorwaarden voldoen. 

Het aantal stambreuken hoeft nooit groter te  zijn dan de teller van de te splitsen breuken. Hierdoor kan een breuk met het cijfer twee in de teller (en uiteraard een oneven noemer) opgesplitst worden in maximaal twee stambreuken.  

OEFENING : Zoek zelf een breuk met teller 2  (en een oneven noemer) waarbij je de opsplitsing in stambreuken volgens het algoritme kan toepassen. 

Het algoritme van Fibonacci-Sylvester

Heb je een voorbeeld gevonden en deze kunnen opsplitsen in twee stambreuken? Heel goed gedaan!

OEFENING : Bekijk jouw voorbeeld. Kan je nu een algemene formule  achterhalen om de opsplitsing van zo'n breuk in stambreuken
makkelijk te vinden?

TIP: Zoek een getal 'n' waarmee je de formule kan vormen. 

Het algoritme van Fibonacci-Sylvester

Om een breuk met teller 2 en een oneven noemer makkelijk op te splitsen, kan je volgende formule gebruiken: 

Zo dadelijk  vinden jullie enkele oefeningen op het algoritme van
Fibonacci-Sylvester. 

VEEL SUCCES ! 

​2n+1​​2​​=​n+1​​1​​+​(n+1)(2n+1)​​1​​

Oefeningen:

Schrijf volgende breuken als som van stambreuken. Gebruik de methode die jullie net gezien hebben.  Upload een foto van  je gevonden oplossingen in de volgende tegel! 

1.                                             3. 

2.                                            4.  

​7​​5​​

​21​​19​​

​37​​2​​

​121​​97​​

Upload hier de foto van je oplossingen: