§7.1 De stelling van Pythagoras (leerjaar 3)
7
Goniometrie
Paragraaf 7.1
De stelling van Pythagoras
Een kabel, een ladder, een tv-scherm: hoe vind je de lengte van een zijde die je niet kunt meten?
Gemaakt bij Getal & Ruimte, leerjaar 3, vmbo-kgt (mavo)
Introductie
Onderdelen in deze les
7
Goniometrie
Paragraaf 7.1
De stelling van Pythagoras
Een kabel, een ladder, een tv-scherm: hoe vind je de lengte van een zijde die je niet kunt meten?
Gemaakt bij Getal & Ruimte, leerjaar 3, vmbo-kgt (mavo)
Les bij Getal & Ruimte, leerjaar 3, hoofdstuk 7 Goniometrie, paragraaf 7.1 De stelling van Pythagoras. Ongeveer 40 minuten, mavo. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.1
7.1 De stelling van Pythagoras
Leerdoelen
7.1.1
Je kunt de schuine zijde van een rechthoekige driehoek berekenen met a² + b² = c².
7.1.2
Je kunt een rechthoekszijde berekenen als je de schuine zijde en een andere zijde kent.
7.1.3
Je kunt de stelling toepassen in situaties en afronden op 1 decimaal.
De leerdoelen staan in het boek bovenaan de paragraaf. Aan het eind van de les komen ze terug in de checklist. Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.1
Startvraag
De ladder tegen de muur
Een ladder van 5 m staat met de voet 3 m van de muur. Hoe hoog komt de top van de ladder tegen de muur?
5,8 m
4 m
2 m
8 m
Een schatting vooraf, daarna rekenen. De ladder is de schuine zijde: hoogte = √(5² − 3²) = √16 = 4 m. 5,8 m komt uit √(5² + 3²): de kwadraten opgeteld terwijl de ladder juist de schuine zijde is. 2 m is 5 − 3 en 8 m is 5 + 3: lengtes zonder kwadraat aftrekken of optellen. Doorvraag: hoe hoog komt de ladder als de voet 4 m van de muur staat?
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.1
De stelling in woorden
In een rechthoekige driehoek is de schuine zijde de zijde tegenover de rechte hoek, en die is altijd de langste. Noem de rechthoekszijden a en b en de schuine zijde c. Dan geldt: a² + b² = c². De kwadraten van de rechthoekszijden samen zijn gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde.
Laat leerlingen eerst de schuine zijde aanwijzen: tegenover de rechte hoek. Dat is het belangrijkste. Vraag: waarom kan de schuine zijde nooit korter zijn dan een rechthoekszijde? Voorbeeld ter controle: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.1
Voorbeeldopdracht 1
Een rechthoekige driehoek heeft rechthoekszijden van 7 cm en 4 cm. Bereken de schuine zijde.
gegeven
a = 7 cm
b = 4 cm
uitwerking
c² = 7² + 4² = 49 + 16 = 65
c = √65 ≈ 8,06
antwoord
De schuine zijde is ongeveer 8,1 cm
Eerst de kwadraten optellen, pas daarna de wortel nemen. Veelgemaakte fouten: 7 + 4 = 11 (de lengtes optellen) en √65 vergeten (c² = 65 als antwoord). Controle: 8,1 is langer dan 7 en korter dan 7 + 4, dat klopt voor een schuine zijde. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.1
Voorbeeldopdracht 2
De schuine zijde van een rechthoekige driehoek is 13 cm en een rechthoekszijde is 9 cm. Bereken de andere rechthoekszijde.
gegeven
c = 13 cm
a = 9 cm
uitwerking
b² = 13² − 9² = 169 − 81 = 88
b = √88 ≈ 9,38
antwoord
De andere rechthoekszijde is ongeveer 9,4 cm
Nu zoek je een rechthoekszijde, dus je trekt de kwadraten van elkaar af: schuin² − rechthoek². Het kwadraat van de schuine zijde komt altijd vooraan. Controle: 9,4 is korter dan 13, dat klopt. Wie 13 en 9 optelt, krijgt een zijde die langer is dan de schuine zijde: dat kan nooit. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.1
Optellen of aftrekken?
Eerst kijken welke zijde je zoekt, dan kies je de bewerking.
Schuine zijde zoeken
Kwadraten optellen, dan de wortel: c = √(a² + b²).
Rechthoekszijde zoeken
Kwadraten aftrekken, dan de wortel: b = √(c² − a²).
Controleren
De schuine zijde is de langste. Rond pas aan het eind af.
Laat leerlingen bij elke volgende opgave eerst hardop zeggen: zoek ik de schuine zijde of een rechthoekszijde? Dat voorkomt de meeste fouten. Afronden pas aan het eind: tussenuitkomsten met het hele getal op de rekenmachine laten staan. Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.1
Opdrachten Kennis
1
Welke zijde is de schuine zijde van een rechthoekige driehoek?
De zijde tegenover de rechte hoek
De zijde onderaan
De kortste zijde
De zijde naast de rechte hoek
De schuine zijde ligt tegenover de rechte hoek en is de langste zijde. Onderaan staan is een kwestie van hoe de driehoek getekend is: het kan een rechthoekszijde zijn. De kortste zijde is juist nooit de schuine. De zijden naast de rechte hoek zijn de rechthoekszijden.
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.1
Opdrachten Toepassing
2
Bereken de diagonaal van het scherm in cm, op 1 decimaal.
De diagonaal is de schuine zijde: c² = 70² + 40² = 4900 + 1600 = 6500, dus c = √6500 ≈ 80,6 cm. Wie 110 antwoordt, heeft 70 + 40 opgeteld. Wie 6500 antwoordt, is de wortel vergeten. Doorvraag: een scherm van 32 inch is ongeveer 81 cm diagonaal: klopt dat met dit scherm? Image credit: Eigen figuur, LessonUp
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.1
Opdrachten Toepassing
3
Een kabel van 9 m loopt van de top van een mast (5 m) naar de grond. Hoe ver staat het einde van de mast?
10,3 m
7,5 m
4 m
56 m
De kabel is de schuine zijde, de mast een rechthoekszijde. Afstand = √(9² − 5²) = √56 ≈ 7,5 m. 10,3 m is √(9² + 5²): opgeteld in plaats van afgetrokken. 4 m is 9 − 5: de lengtes afgetrokken. 56 m is vergeten de wortel te nemen. Image credit: Eigen figuur, LessonUp
Vul de ontbrekende woorden in.
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.1
Opdrachten Toepassing
4
De schuine zijde ligt tegenover de rechte hoek.
Schuine zijde zoeken: kwadraten optellen, dan de wortel.
Rechthoekszijde zoeken: kwadraten aftrekken, dan de wortel.
Dit zijn de drie kernzinnen van de les. Afleider 'kortste' past niet: de schuine zijde is juist de langste. 'Vermenigvuldigen' is geen stap in de stelling. Laat leerlingen de drie zinnen in eigen woorden zeggen.
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.1
Opdrachten Toepassing
★ 5
Een veld is 25 m bij 12 m. Hoeveel m korter is de diagonaal dan langs twee zijden lopen? (1 decimaal)
Langs twee zijden: 25 + 12 = 37 m. Diagonaal: √(25² + 12²) = √769 ≈ 27,7 m. Het verschil is 37 − 27,7 = 9,3 m. Wie alleen de diagonaal geeft (27,7), heeft de vraag niet afgemaakt. Wie 13 geeft, heeft 25 − 12 gedaan. Mooie bijvraag: waarom is de weg langs de diagonaal altijd korter?
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.1
V E R D E R K I J K E R
Gehele drietallen
Sommige driehoeken hebben alleen gehele zijden, zoals 3, 4, 5 en 5, 12, 13. Timmerlui gebruiken dat: een touw met knopen op 3, 4 en 5 meter geeft een precieze rechte hoek. Controle: 3² + 4² = 25 = 5². Klopt 6, 8, 10 ook? En 7, 24, 25?
Controle: 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10² en 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25². Beide kloppen. 6, 8, 10 is gewoon 3, 4, 5 verdubbeld. Leuke opdracht: zoek zelf nog een drietal. De figuur laat 5, 12, 13 zien. Image credit: Eigen figuur, LessonUp Image credit: LessonUp
Hoofdstuk 7
Paragraaf 7.1
Checklist leerdoelen
Welk leerdoel vind je nog het lastigst?
7.1.1 Schuine zijde berekenen
7.1.2 Rechthoekszijde berekenen
7.1.3 Toepassen en afronden
Ik kan ze allemaal
In het boek sluit elke paragraaf af met de checklist leerdoelen. Gebruik de uitslag om te kiezen wat je de volgende les herhaalt.
Image credit: LessonUp
